初中数学北师大版九年级上册1 成比例线段课时练习

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1.下列各组数中，成比例的是（ ）.
A．1，-2，-3，-6B．1，4，2，-8
C．5，6，2，3D．2，6，1，3
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、1−2≠−3−6，不符合题意；
B、14≠2−8，不符合题意；
C、56≠23，不符合题意；
D、26=13，符合题意.
故答案为：D.
2.已知ba=513，则a+ba−b的值是（ ）
A．23B．32C．94D．49
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ba=513，
设b=5k，a=13k，
则：a+ba−b=13k+5k13k−5k=188=94；
故答案为：C.
3.已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a=1，b=2，c=3，那么d的值是（ ）
A．8B．6C．4D．1
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：根据题意得：a：b=c：d，
即1：2=3：d，
解得d=6．
故答案为：B．
4.若，则下列不正确是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据比例设x＝2k，y＝3k，然后对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
解：∵，
∴设x＝2k，y＝3k，
A、，故本选项结论正确；
B、，故本选项结论正确；
C、，故本选项结论错误；
D、，故本选项结论正确．
故选：C．
5.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．
A．4.14B．2.56C．6.70D．3.82
【答案】A
【分析】
设整个车身长为AB，点C表示倒车镜位置，根据题意，确定BC的长，继而确定车身长，对照选项判断即可．
【详解】
如图，设整个车身长为AB，点C表示倒车镜位置，
根据题意，AC=1.58米,
∴BC=1.58÷0.618=2.56米，
故车长为1.58+2.56=4.14米，
故选:A．
6.在比例尺是1﹕10000的贺州市城区地图上，向阳路的长度约为10cm，它的实际长度约为（ ）．
A．1000mB．1000cmC．100mD．100cm
【答案】A
【分析】
根据比例尺的定义可求得实际长度．
【详解】
解：根据题意可知，
所以，
解得，实际长度=100000cm=1000m，
故选：A．
7．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】
根据比例的性值计算即可；
【详解】
∵，
∴；
故答案选B．
8．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出CD的长度，利用三角形面积公式即可解题．
【详解】
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt，AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
∴==，
故选：A．
9．若三条线段a、b、c的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连（ ）
A．能围成锐角三角形B．能围成直角三角形
C．能围成钝角三角形D．不能围成三角形
【答案】D
【分析】
根据比例线段和三角形三边关系解答即可．
【详解】
解：∵三条线段a、b、c的长满足，
∴设，，则
∵
∴不能围成三角形，
10．著名画家达·芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中，，连结，得到4个全等的四边形，四边形，四边形，四边形．分别交，于点M，N，若，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
过点C作CP⊥DE于点P，交AB于点K，设BC=a，AC=b，进而可得，则有，然后可得，则有，最后可得，则问题可求解．
【详解】
解：过点C作CP⊥DE于点P，交AB于点K，如图所示：
∵四边形，四边形，四边形，四边形都是全等的，
∴，
∵，，，
∴，
易得CM=NJ，
∵，
∴，
∵AB∥ED，
∴，
∵，
∴，
∴，
设BC=a，AC=b，则，
∴，
由等积法可得，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
∴；
故选D．
填空题（共24分）
11.已知x+yx−y=43，则xy= .
【答案】7
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵x+yx−y=43 ，
∴3x+3y=4x-4y，
∴x=7y，
∴xy=7yy=7.
故答案为：7
12.若ab=cd=ef=34，则a−2c+3eb−2d+3f= .
【答案】34
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【解答】解：∵ab=cd=ef=34，
∴a=34b，c=34d，e=34f，
∴a−2c+3eb−2d+3f=34b−2×34d+3×34fb−2d+3f=34×b−2d+3fb−2d+3f=34.
故答案为：34.
13.已知点C是线段的黄金分割点，且，则_______．
【答案】
【分析】
利用黄金分割点的概念进行解答即可．
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分制点，且AC>BC
∴
∴BC=AB-AC=2-()=．
故填：．
.c
114.“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是_____．
【答案】﹣2
解：过A作AH⊥BC于H，如图所示：
∵D、E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝CD＝BC，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣BC＝BC，
∴DE＝BE﹣BD＝BC﹣BC＝(﹣2)AB，
∴△ADE与△ABC的面积之比＝＝＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15.已知a、b、c、满足 ba+c=ac+b=ca+b=k ，从下列四点：①(1，12) ；②(2，1)；③(1，−12) ；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是 .
【答案】34
【知识点】比例的性质；正比例函数的定义；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵a、b、c、满足 ba+c=ac+b=ca+b=k ，
∴当a+b+c=0时，k=﹣1，
此时正比例函数的表达式为y＝-x，
将四个点代入，点④（1，﹣1）在正比例函数y＝﹣x的图象上；
当a+b+c≠0时，
k= b+a+ca+c+c+b+a+b = b+a+c2(a+b+c) = 12 ，
∴正比例函数的表达式为y＝ 12 x，
将四个点代入，点①(1，12) 和点②(2，1)在正比例函数y＝ 12 x的图象上，
∴任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是 34 ，
故答案为： 34 .
16.若ab=cd=ef=34，则a−2c+3eb−2d+3f= .
【答案】34
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【解答】解：∵ab=cd=ef=34，
∴a=34b，c=34d，e=34f，
∴a−2c+3eb−2d+3f=34b−2×34d+3×34fb−2d+3f=34×b−2d+3fb−2d+3f=34.
故答案为：34.
解答题（共46分）
17.已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a-2b+c=9，求△ABC的周长．
【答案】解：根据题意可设a=5k，则b=7k，c=8k，
代入3a-2b+c=9，得：3×5k−2×7k+8k=9，
解得：k=1，
∴a=5，b=7，c=8，
∴△ABC的周长=a+b+c=5+7+8=20．
18.已知a2=b5=c7，且2a−3b+c=28，求代数式2a+b−c的值．
【答案】解：设a2=b5=c7=k，
则a=2k，b=5k，c=7k，
∵2a−3b+c=28，
∴4k−15k+7k=28，
解得k=−7，
∴2a+b−c=4k+5k−7k=2k=−14．
19.（1）已知a6=b5=c4，且a+b−2c=6，求a值．
（2）已知线段a=4cm，线段b=9cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
【答案】（1）解：设a6=b5=c4=k
∴a=6k，b=5k，c=4k
∵a+b−2c=6，
∴6k+5k−8k=6，
∴k=2，
∴a=6k=12，
∴a的值为12；
（2）解：∵线段c是线段a，b的比例中项，
∴c2=ab，
∵a=4cm，b=9cm，c>0，
∴c=6cm，
故线段c的长为6cm．
20.已知，且，求的值
【答案】，，．
【分析】
根据比的性质，可得a，b，c用k表示，根据解方程，可得k的值，即可得答案．
【详解】
∵，，
∴设，，，
∴，整理得：，
解得：，
∴，，
21.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．
【答案】是，证明见解析
【分析】
设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AM的长，二者相比即可得到黄金比．
【详解】
解：M是AB的黄金分割点，理由如下：
∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，
∴BE＝1
∴AE，
∵EF＝BE＝1，
∴AF＝AE﹣EF1，
∴AM＝AF1，
∴AM：AB＝（1）：2，
∴点M是线段AB的黄金分割点．
22.如图，在中，是的中点，是边延长线上的点，连结交于点．求证：．
【答案】见解析
【分析】
过点作交于，根据平行线分线段成比例定理和中点的性质得到，，利用等量代换得到答案．
【详解】
证明：过点作交于，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23.已知，且．
（1）求的值．
（2）若，是方程的两根，求的值．
【答案】（1）3；（2）7
【分析】
（1）根据比例线段的性质得出，，，再代入要求的式子，然后进行解答即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求得，，利用完全平方公式变形，再代入计算即可求解．
【详解】
（1），
∴，，，
∴；
（2）∵，
∴一元二次方程为，
∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根式，
∵，是方程的两根，
∴，，
∴．