2024届高考数学一轮复习第4章第5节三角恒等变换学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第4章第5节三角恒等变换学案，共30页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第五节　三角恒等变换
考试要求：1．经历用单位圆推导出两角差的余弦公式的过程．
2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．

一、教材概念·结论·性质重现
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；
tan (α－β)＝tanα-tanβ1+tanαtanβ(T(α－β))；
tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ(T(α＋β))．

1．形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数，可视为和角公式的逆用，化为f(x)＝a2+b2·sin (x＋φ)或f(x)＝a2+b2·cos(x－φ)的形式．
2．tan α±tan β＝tan (α±β)(1±tan αtan β)．
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝2tanα1-tan2α.

1．二倍角公式中的角是任意的．
2．1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
cos2α＝1+cos2α2，sin2α＝1-cos2α2
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (　√　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　√　)
(3)公式tan(α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立． (　×　)
(4)当α是第一象限角时，sin α2＝1-cosα2. (　×　)
(5)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立． (　√　)
2．tan1°+tan44°1-tan1°tan44°＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
A　解析：因为tan1°+tan44°1-tan1°tan44°＝tan (1°＋44°)＝tan 45°＝1.
3．已知sin α＋cos α＝13，则sin2π4-α等于(　　)
A．118 B．1718
C．89 D．29
B　解析：由sinα＋cos α＝13，两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，
所以sin2π4-α＝1-cosπ2-2α2＝1-sin2α2＝1+892＝1718.
4．sin47°-sin17°cos30°cos17°＝_________．
12　解析：原式＝sin30°+17°-sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°+cos30°sin17°-sin17°cos30°cos17°
＝sin30°cos17°cos17°＝sin 30°＝12.
5．化简：2sinπ-α+sin2αcos2α2＝_________．
4sinα　解析：2sinπ-α+sin2αcos2α2
＝2sinα+2sinαcosα121+cosα＝4sin α(1+cos α)1+cos α＝4sin α.



考点1　公式的简单应用——基础性

1．sin (－260°)cos 35°－sin 10°sin 145°＝(　　)
A．22 B．－22
C．12 D．－32
A　解析：sin (－260°)cos 35°－sin 10°sin 145°＝－sin (180°＋80°)cos 35°－sin (90°－80°)sin (180°－35°)＝sin 80°cos 35°－cos 80°sin 35°＝sin (80°－35°)＝sin 45°＝22.
2．(2021 ·全国乙卷)cos2π12－cos25π12＝(　　)
A．12 B．33
C．22 D．32
D　解析：由题意，cos2π12－cos25π12＝cos2π12－cos2π2-π12＝cos2π12－sin2π12＝cos π6＝32.
3．(2022·云南模拟)tan 87°－tan 27°－3tan 27°·tan 87°＝(　　)
A．2 B．3
C．－2 D．－5
B　解析：因为tan87°-tan27°1+tan87°tan27°＝tan (87°－27°)＝tan 60°＝3，
所以tan 87°－tan 27°＝3+3tan 27°tan 87°，
所以tan 87°－tan 27°－3tan 27°tan 87°＝3.

应用三角恒等变换公式化简求值的关注点
(1)记清公式及其变形形式是关键．
(2)注意对公式的整体把握，要熟悉公式的逆用及变形，T1是公式的逆用，T3是公式的变形应用．
(3)注意与诱导公式的综合应用，T1，T2都是先应用诱导公式，再进行化简求值．

考点2　三角函数的化简求值问题——综合性

考向1　给值求值问题
(1)若sin 3π8+α＝13，则cos 3π4+2α的值为(　　)
A．1718 B．－1718
C．79 D．－79
C　解析：因为sin 3π8+α＝13，
所以cos 3π4+2α＝cos 23π8+α＝1－2sin23π8+α＝1－29＝79.
(2)已知θ∈0，π2，且cos2θsinθ-π4=-725，则tan 2θ＝(　　)
A．724 B．247
C．±724 D．±247
D　解析：因为cos2θsinθ-π4＝cos2θ-sin2θ22sinθ-cosθ2(cos θ＋sin θ)＝－725，
所以cos θ＋sin θ＝75.
又因为θ∈0，π2，且cos2θ＋sin2θ＝1，
所以cosθ＝35，sin θ＝45或cos θ＝45，sin θ＝35，则tan θ＝43或34，
故tan 2θ＝2tanθ1-tan2θ＝±247.

本例(1)中，若把已知条件改为cos3π8+α＝13，求cos 7π4+2α的值．
解：因为cos 3π8+α＝13，所以cos 7π4+2α
＝cos π+3π4+2α＝－cos 23π8+α
＝－2cos23π8 +α-1＝－2×19-1＝79.


给值求值问题的一般步骤
(1)化简条件式或待求式．
(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手．
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
考向2　给值求角问题
(1)设α，β为钝角，且sinα＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为(　　)
A．3π4 B．5π4
C．7π4 D．5π4或7π4
C　解析：因为α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010，所以cos α＝－255，sin β＝1010，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0.
又α＋β∈(π，2π)，所以α＋β∈3π2，2π，所以α＋β＝7π4.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝22cos α+π4sin β，则(　　)
A．tan (α－β)＝1
B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1
D．tan (α＋β)＝－1
C　解析：因为sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝22cos α+π4sin β，
所以2sin α+β+π4＝22cos α+π4sin β，即sin α+β+π4＝2cos α+π4sin β，
所以sin α+π4cos β＋sin βcos α+π4＝2cos α+π4sin β，
所以sin α+π4cos β－sin βcos α+π4＝0，所以sin α+π4-β＝0，
所以α＋π4－β＝kπ，k∈Z，所以α－β＝kπ－π4，所以tan (α－β)＝－1.

本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝_________．
π4　解析：因为α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，
所以cos α＝255，sin β＝1010，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010-55×1010＝22.
又0