2024届高考数学一轮复习第5章第2节平面向量基本定理及坐标表示学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第5章第2节平面向量基本定理及坐标表示学案，共19页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第二节　平面向量基本定理及坐标表示
考试要求：1．理解平面向量基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
3．能用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

一、教材概念·结论·性质重现
1．平面向量基本定理与基底
平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．

理解基底应注意以下两点
(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
对于一组基底e1，e2，若a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则λ1=μ1，λ2=μ2.
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x12+y12．
(2)向量坐标的求法
①一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2-x12+y2-y12．

1．向量坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．
2．要区分点的坐标与向量坐标，尽管在形式上它们类似，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息，也有大小的信息.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2.因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
4．常用结论
(1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为x1+x22，y1+y22.
(3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为x1+x2+x33，y1+y2+y33.
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． (　×　)
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. (　√　)
(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示． (　√　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1x2＝y1y2. (　×　)
(5)当向量的起点在坐标原点时，该向量的坐标等于向量终点的坐标． (　√　)
2．如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：

①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.其中可作为该平面内其他向量的基底的是(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
B　解析：①中AD，AB不共线；③中CA，DC不共线，故①③能作为基底．
3．如图，AB＝2CA，OA＝a，OB＝b，OC＝c，下列等式中成立的是(　　)

A．c＝32b－12a B．c＝32a－12b
C．c＝2a－b D．c＝2b－a
B　解析：因为AB＝2CA，OA＝a，OB＝b，OC＝c，所以OB-OA＝2(OA-OC)，所以OC＝32OA-12OB，即c＝32a－12b.
4．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－23 B．43
C．12 D．13
A　解析：AB＝OB-OA＝(4－k，－7)，AC＝OC-OA＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以AB，AC共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.
5．若向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则用a，b表示c为___________．
c＝12a－32b　解析：设c＝x1a＋x2b，因为向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，所以(－1，2)＝(x1＋x2，x1－x2)．
由x1+x2=-1，x1-x2=2，解得x1=12 ，x2=-32 ，
所以c＝12a－32b.


考点1　平面向量基本定理及坐标运算——基础性

1．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
D　解析：a－b＝(4，－3)，故|a－b|＝42+-32＝5.
2．(多选题)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，下列四组向量中能作为基底的是(　　)
A．e2和e1＋e2
B．2e1－4e2和－e1＋2e2
C．e1和e1－e2
D．e1＋2e2和2e1＋e2
ACD　解析：由于e2和e1＋e2，e1 和e1－e2，e1＋2e2 和2e1＋e2这三组向量均不共线，故可以作为基底； 2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，故2e1－4e2和－e1＋2e2共线，不可以作为基底．故选ACD.
3．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC|＝2|AC|，则向量OB的坐标是_________．
(4，7)　解析：因为点C是线段AB上一点，且|BC|＝2|AC|，所以BC＝－2AC.设点B(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)．所以2-x=-2，3-y=-4，解得x=4，y=7.所以向量OB的坐标是(4，7)．

解答有关平面向量的坐标运算时要注意：
(1)掌握好向量加、减、数乘运算法则，否则易出错．
(2)运用 “向量相等，则坐标相同”这一结论，建立方程(组)求解，要特别注意运算的准确性．
(3)建立坐标系将线性运算转化为坐标运算将使解题更便捷，如第3题．
利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

考点2　平面向量共线的表示——应用性

考向1　利用向量共线求参数
已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝_________．
12　解析：因为2a＋b＝(4，2)，c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，解得λ＝12.

利用两向量共线求参数
已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便.
考向2　利用向量共线求向量或点的坐标
已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_________．
(3，3)　解析：方法一：由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝OP-OA＝(4λ－4，4λ)．又AC＝OC-OA＝(－2，6)，由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP＝34OB＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)．
方法二：设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4，4)，且OP与OB共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且AP与AC共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3)．

一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程组，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

1．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为_________．
－54　解析：AB＝(a－1，3)，AC＝(－3，4)，因为点A，B，C共线，所以AB∥AC，所以4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，所以a＝－54.
2．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_________．
(－4，－2)　解析：因为a与b的方向相反，所以可设a＝λb(λ<0)，所以a＝λ(2，1)＝(2λ，λ)．由|a|＝5λ2＝25，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a＝(－4，－2)．

考点3　平面向量基本定理及应用——综合性

考向1　用已知基底表示向量
如图，以向量OA＝a，OB＝b为邻边作平行四边形OADB，BM＝13BC，CN＝13CD，用a，b表示OM，ON，MN.

解：因为BA＝OA-OB＝a－b，BM＝13BC＝16BA＝16a－16b，所以OM＝OB+BM＝b＋16a-16b＝16a＋56b.
因为OD＝a＋b，所以ON＝OC+CN＝OC+13CD＝12OD+16OD＝23OD＝23a＋23b，
所以MN＝ON-OM＝23a＋23b－16a－56b＝12a－16b.
综上，OM＝16a＋56b，ON＝23a＋23b，MN＝12a－16b.

用已知基底表示向量的关注点
(1)理论依据：平面向量基本定理．
(2)方法：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
考向2　解析法(几何法)在向量中的应用
已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设AD＝λAB＋μAC (λ，μ∈R)，则λμ＝(　　)
A．233 B．33
C．3 D．23
A　解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)．因为∠DAB＝60°，所以设点D的坐标为(m，3m)(m≠0)．
AD＝(m，3m)＝λAB＋μAC＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝32m，所以λμ＝233.

应用平面向量基本定理解题的两种思路
(1)基向量法．(2)坐标法．
能用坐标法解决的问题，一般不用基向量法．
考向3　利用平面向量基本定理求参数或参数范围问题
(2021·江苏苏北模拟)在△ABC中，AB＝2，BC＝33，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高．若AD＝λAB＋μAC，则λ－μ＝_________．
13　解析：根据题意画出图象，如图，

因为AD为BC边上的高，所以AD⊥BC.因为AB＝2，∠ABC＝30°，则BD＝3，所以BD＝13BC，
所以AD＝AB+BD＝AB+13BC＝AB+13(AC-AB)＝23AB+13AC.又因为AD＝λAB＋μAC，所以λ＝23，μ＝13，故λ－μ＝13.

用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．

四边形ABCD是等腰梯形，E，F分别是腰AD，BC的中点，点P是EF(靠近点F)的一个三等分点，AB＝2DC.若AP＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝(　　)
A．14 B．54
C．34 D．12
B　解析：AP＝AE+EP＝12AD+23EF＝12(AB+BC+CD)＋23×34AB＝12AB+BC-12AB+12AB＝34AB+12BC，所以λ＝34，μ＝12，故λ＋μ＝54.

拓展考点　极化恒等式
a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2].
(1)极化恒等式的几何意义是：设点D是△ABC中边BC的中点，则AB·AC＝|AD|2－14|BC|2＝AD2－BD2，即向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．
(2)具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
(3)遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决．

在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1.若CM·CN的最小值为34，则cos ∠ACB＝_________．
1-358　解析：取MN的中点P，则由极化恒等式得CM·CN＝|CP|2－14|MN|2＝|CP|2－14.
因为CM·CN的最小值为34，所以|CP|min＝1.由平面几何知识知，当CP⊥AB时，CP最小，作CH⊥AB(图略)，H为垂足，则CH＝1.又AC＝2BC＝4，所以∠B＝30°，sin A＝14，所以cos ∠ACB＝cos (150°－A)＝1-358.

由于极化恒等式建立了向量与几何长度(数量)之间的关系，作为代数与几何的桥梁，具有化动(动点)为定(定点)、化动(动态)为静(静态)、化曲(曲线)为直(直线)、化普通为特殊之功效，应用十分灵活，例题取MN的中点P，由极化恒等式将“CM·CN的最小值为34”转化为AB边上的高CH＝1，然后利用两角差的余弦公式结合已知条件，构建创造运用极化恒等式的条件，运用极化恒等式解决问题.

1．已知平面向量a，b，c满足|a|＝1，a·b＝12，a·c＝2，|2b－c|＝2，那么b·c的最小值为_________．
58　解析：由a·b＝12，a·c＝2，得2a·b＋a·c＝3，
即a·(2b＋c)＝3，又a·(2b＋c)＝|a||2b＋c|cos θ(其中θ为向量a与2b＋c的夹角)．
所以|2b＋c|＝3cosθ，
所以b·c＝18[(2b＋c)2－(2b－c)2]＝189cos2θ≥58.
2．如图，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，以点C为圆心，CB长为半径的圆与CD交于点E.若点P是圆弧EB(含端点B，E)上的一点，则PA·PB的取值范围是_________．

[8－82，0]　解析：取AB的中点设为O，则PA·PB＝|PO|2－14|AB|2＝|PO|2－4，当O，P，C共线时，PO取得最小值为PO＝22－2；当P与B(或E)重合时，PO取得最大值为PO＝2，所以PA·PB的取值范围是[8－82，0].
课时质量评价(二十七)
A组　全考点巩固练
1．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为(　　)
A．(2，0) B．(－3，6)
C．(6，2) D．(－2，0)
A　解析：因为ON＝OM+MN＝OM－3a＝(5，－6)－3(1，－2)＝(2，0)，所以点N的坐标为(2，0)．
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6.当m＝－6时，a＋b＝(2，－4)＝－2(－1，2)，可得a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．
3．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是边BE的中点．若AB＝a，AC＝b，则AO＝(　　)

A．12a＋12b B．12a＋14b
C．14a＋12b D．14a＋14b
B　解析：因为在△ABC中，BE是AC边上的中线，所以AE＝12AC.因为O是BE边的中点，所以AO＝12(AB+AE)，所以AO＝12AB+14AC.又因为AB＝a，AC＝b，所以AO＝12a＋14b.
4．如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ＝(　　)

A．43 B．53
C．158 D．2
B　解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设正方形边长为1，由此，AC＝(1，1)，AM＝1，12，BD＝(－1，1)，故1＝λ－μ，1＝12λ＋μ，解得λ＝43，μ＝13，λ＋μ＝53.
5．(多选题)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)
A．－2 B．12
C．1 D．－1
ABD　解析：各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为AB＝OB-OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC＝OC-OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形，故选ABD.
6．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝12，1+sinθ.若a∥b，则锐角θ＝(　　)
A．π6 B．π4
C．π3 D．5π12
B　解析：因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得sin2θ＝12，所以sinθ＝±22，故锐角θ＝π4.
7．(2022·菏泽模拟)已知a＝(－2，m)，b＝(1，2)，a∥(2a＋b)，则实数m的值为_________．
－4　解析：因为向量a＝(－2，m)，b＝(1，2)，所以2a＋b＝(－3，2＋2m)．因为a∥(2a＋b)，所以－2(2＋2m)＝－3m，解得m＝－4.
8．(2021·福建三明模拟)如图，在△ABC中，已知43BN-BA＝13BC，点P在线段BN上．若AP＝λAB+316AC，则实数λ的值为_________．

14　解析：43BN-BA＝13BC可化为AN＝13NC，即AN＝14AC.因为AP＝λAB+316AC，所以AP＝λAB+34AN.由B，P，N三点共线可得λ＝14.
9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝13BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设BA＝a，BC＝b，试以a，b为基底表示向量EF，DF，CD.

解：因为AD∥BC，AD＝13BC，E，F分别为线段AD，BC的中点，所以AE＝ED＝16BC，BF＝FC＝12BC，所以EF＝EA+AB+BF＝－16b－a＋12b＝13b－a，
DF＝DE+EF＝－16b＋13b-a＝16b－a，
CD＝CF+FD＝－12b－16b-a＝a－23b.
B组　新高考培优练
10．(2023·济宁模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC且AB＝2DC，点E为线段BC的靠近点C的一个四等分点，点F为线段AD的中点，AE与BF交于点O，且AO＝xAB＋yBC，则x＋y的值为(　　)

A．1 B．57
C．1417 D．56
C　解析：根据向量的线性运算，
AO＝xAB－yAB＋yAC
＝(x－y)AB＋y(AD+DC)
＝(x－y)AB＋y2AF+12AB
＝(x－y)AB＋2yAF+12yAB
＝x-y2AB＋2yAF，由于B，O，F三点共线，所以x－y2＋2y＝1，整理得2x＋3y－2＝0；
又由BO＝BA+AO＝BA＋xAB＋yBC
＝BA－xBA＋y·43BE＝(1－x)BA+43yBE；
由于A，O，E三点共线，
所以1－x＋4y3＝1，整理得3x－4y＝0；
故2x+3y-2=0，3x-4y=0， 解得x=817，y=617，
所以x＋y＝1417.
11．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．若E为AF的中点，EG＝λAB＋μAD，则λ＋μ＝(　　)

A．12 B．35
C．23 D．45
D　解析：以E为坐标原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，

设|EF|＝1，又E为AF的中点，
所以E(0，0)，G(1，1)，A(－1，0)，B(1，－1)，D(0，2)，则EG＝(1，1)，AB＝(2，－1)，AD＝(1，2)．
由EG＝λAB＋μAD，得(1，1)＝λ(2，－1)＋μ(1，2)．
所以2λ+μ=1，-λ+2μ=1，解得λ=15，μ=35，则λ＋μ＝45.故选D.
12．(多选题)已知向量e1，e2是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当OP＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若平面α内的点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则下列命题正确的是(　　)
A．线段AB的中点的广义坐标为x1+x22，y1+y22
B．A，B两点间的距离为x1-x22+y1-y22
C．向量OA平行于向量OB的充要条件是x1y2＝x2y1
D．向量OA垂直于向量OB的充要条件是x1y2＋x2y1＝0
AC　解析：设线段AB的中点为M，则OM＝12(OA+OB)＝12(x1＋x2)e1＋12(y1＋y2)e2，所以点M的广义坐标为x1+x22，y1+y22，知A正确；由于该坐标系不一定是平面直角坐标系，因此B错误；由向量平行得OA＝λOB，即(x1，y1)＝λ(x2，y2)，所以x1y2＝x2y1，得C正确；OA与OB垂直，即OA·OB＝0，所以x1x2e12+x1y2+x2y1e1·e2+y1y2e22＝0，即x1y2＋x2y1＝0不是OA与OB垂直的充要条件，因此D错误．故选AC.
13．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝___________．
3＋1　3－1　解析：因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1.所以a，b，a－b可构成等边三角形，且|a＋b|＝3.因为|a＋b－c|＝1，所以如图所示，c的终点在以a＋b的终点为圆心、半径为1的圆上，故M＝3＋1，m＝3－1.

14．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，P为矩形内一点，且AP＝52.若AP＝λAB＋μAD(λ，μ∈R)，则5λ＋3μ的最大值为_________．
102　解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，B(5，0)，C(5，3)，D(0，3)．

因为AP＝52，所以x2＋y2＝54，点P满足的约束条件为0≤x≤5，0≤y≤3，x2+y2=54 .因为AP＝λAB＋μAD(λ，μ∈R)，所以(x，y)＝λ(5，0)＋μ(0，3)．所以x=5λ，y=3μ，所以x＋y＝5λ＋3μ.因为x＋y≤2x2+y2＝2×54＝102，当且仅当x＝y时取等号，所以5λ＋3μ的最大值为102.
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若PA+PB+PC＝0，求|OP|；
(2)设OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，用x，y表示m－n.
解：(1)因为PA+PB+PC＝0，PA+PB+PC＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
所以6-3x=0，6-3y=0，解得x=2，y=2，即OP＝(2，2)，
故|OP|＝22.
(2)因为OP＝mAB＋nAC，AB＝(1，2)，AC＝(2，1)，
所以(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，即x=m+2n，y=2m+n，
两式相减，得m－n＝y－x.
16．经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q.设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n∈(0，＋∞)，求m＋n的最小值．
解：设OA＝a，OB＝b，由题意知OG＝23×12(OA+OB)＝13(a＋b)，
PQ＝OQ-OP＝nb－ma，PG＝OG-OP＝13-ma＋13b.
由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得PQ＝λPG，即nb－ma＝λ13-ma＋13λb，
从而-m=λ13-m，n=13λ， 消去λ得1n+1m＝3，于是m＋n＝131m+1n(m＋n)＝132+nm+mn≥13(2＋2)＝43.当且仅当m＝n＝23时，m＋n取得最小值43.