2024届高考数学一轮复习第5章第3节平面向量的数量积及综合应用学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第5章第3节平面向量的数量积及综合应用学案，共21页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第三节　平面向量的数量积及综合应用
考试要求：1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义．
2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及其他一些实际问题．

一、教材概念·结论·性质重现
1．向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角

设θ为a与b的夹角，则θ的取值范围是0≤θ≤π
θ＝0或θ＝π⇔a∥b，θ＝π2⇔a⊥b
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b.

(1)在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现．
(2)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

(1)要准确理解数量积的运算律，例如，由a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．
(2)平面向量数量积运算的常用公式．
①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
4．平面向量数量积的性质
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2．
性质
几何表示
坐标表示
模
|a|＝a·a
|a|＝x12+y12
夹角
cos θ＝a·bab
cos θ＝x1x2+y1y2x12+y12x22+y22
a⊥b的
充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与
|a||b|的关系
|a·b|≤
|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
x12+y12x22+y22
5.常用结论：(1)|a＋b|＝|a－b|⇔a⊥b.
(2)|a|＝|b|⇔(a＋b)⊥(a－b)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．
(　√　)
(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0. (　×　)
(3)(a·b)c＝a(b·c)． (　×　)
(4)两个向量的夹角的范围是0，π2. (　×　)
2．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　解析：根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.
3．已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为(　　)
A．12　　　　　　 B．6
C．33　　　 D．3
B　解析：a·b＝|a||b|cos 135°＝－122，所以|b|＝-1224×-22＝6.
4．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝_________．
85　解析：因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝85.
5．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝_________．
12　解析：因为2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
6．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_________．
23　解析：方法一：|a＋2b|＝a+2b2＝a2+4a·b+4b2＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12＝23.
方法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC|.

又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.


考点1　平面向量数量积的运算——基础性

1．已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝(　　)
A．－3 B．－2
C．2　 D．3
C　解析：因为BC＝AC-AB＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，|BC|＝1，所以12+t-32＝1，解得t＝3，所以BC＝(1，0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2.
2．已知向量a与向量m＝(4，6)平行，b＝(－5，1)，且a·b＝14，则a＝(　　)
A．(4，6)
B．(－4，－6)
C．21313，31313
D．-21313，-31313
B　解析：因为向量a与向量m＝(4，6)平行，可设a＝k，32k.由a·b＝14可得－5k＋32k＝14，解得k＝－4，所以a＝(－4，－6)．
3．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为13，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝_________．
11　解析：由题意可得a·b＝1×3×13＝1，b2＝9，则(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2＋9＝11.
4．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4.若AB·AC＝2AB·AD，则AD·AC＝_________．

12　解析：方法一：(几何法)因为AB·AC＝2AB·AD，所以AB·AC-AB·AD＝AB·AD，所以AB·DC＝AB·AD.因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，所以2|AB|＝|AB|·|AD|cos π4，化简得|AD|＝22.故AD·AC＝AD·(AD+DC)＝|AD|2＋AD·DC＝(22)2＋22×2cos π4＝12.
方法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy.

依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，则由AB·AC＝2AB·AD，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故AD·AC＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.

当已知向量模和夹角时，可利用定义法求解，此时需注意向量夹角的取值．当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，运用坐标法求解，如第4题；对于数量积与线性运算的综合问题，可先运用数量积的运算律、几何意义等化简，再运算．

考点2　向量数量积性质的应用——应用性

考向1　平面向量的垂直问题
(1)(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝___________．
－34　解析：因为向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)．因为a⊥b，所以a·b＝m＋3(m＋1)＝0，
则m＝－34.
(2)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB+AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为_________．
712　解析：由AP⊥BC，知AP·BC＝0，即AP·BC＝(λAB+AC)·(AC-AB)＝(λ－1) AB·AC－λAB2＋AC2＝(λ－1)×3×2×-12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.

1．设a，b为两个非零向量，则有a⊥b⇔a·b＝0，所以解决向量垂直问题时要利用向量的数量积公式．
2．向量垂直问题主要表现为利用垂直关系求问题中参数的值．
考向2　平面向量的夹角问题
(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
C　解析：因为向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，所以c＝(3＋t，4)，
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以a·cac＝b·cbc，所以25+3t5＝3+t1，解得t＝5.
(2)已知单位向量e1与e2的夹角为π3，向量e1＋2e2与2e1＋λe2的夹角为2π3，则λ等于(　　)
A．－23 B．－3
C．－23或－3 D．－1
B　解析：依题意可得|e1＋2e2|＝e12+4e1·e2+2e22＝7，同理，|2e1＋λe2|＝4+2λ+λ2，而(e1＋2e2)·(2e1＋λe2)＝4＋52λ.又向量e1＋2e2与2e1＋λe2的夹角为2π3，可知e1+2e2·2e1+λe2e1+2e22e1+λe2＝4+52λ7×4+2λ+λ2＝－12，由此解得λ＝－23或－3，又4＋52λ0，又a与b不共线，即a与b的夹角为锐角，即选项D正确．
7．已知向量a＝(sin θ，3)，b＝(1，cos θ)，|θ|≤π3，则|a－b|的最大值为(　　)
A．2　 B．5　
C．3 　 D．5
B　解析：由已知可得|a－b|2＝(sin θ－1)2＋(3－cos θ)2＝5－4sin θ+π3.因为|θ|≤π3，所以0≤θ＋π3≤2π3，所以当θ＝－π3时，|a－b|2的最大值为5－0＝5，故|a－b|的最大值为5.
8．已知a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，则(a＋b)·c＝________；a·b＝_________．
0　3　解析：计算可得(a＋b)·c＝(4，0)·(0，1)＝0，a·b＝4－1＝3.
9．已知向量a＝(m，2)，b＝(1，－3)．若a⊥b，则|a|＝_________．
210　解析：因为a⊥b，a＝(m，2)，b＝(1，－3)，所以a·b＝m－6＝0，解得m＝6，所以|a|＝62+22＝210.
10．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)．若(a－λb)⊥b，则实数λ＝_________．
35　解析：由题意，得a－λb＝(1－3λ，3－4λ)．因为(a－λb)⊥b，所以3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝35.
11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
解：由已知得，a·b＝4×8×-12＝－16.
(1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a＋b|＝43.
②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，所以|4a－2b|＝163.
(2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，
所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，所以k＝－7.
当k＝－7时，(a＋2b)⊥(ka－b)．
12．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．
解：(1)由题设知AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，则AB+AC＝(2，6)，AB-AC＝(4，4)．
所以|AB+AC|＝210，|AB-AC|＝42，故所求的两条对角线的长分别为210，42.
(2)由题设知，OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋t)，
由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－115.
B组　新高考培优练
13．(多选题)已知平面向量a＝(3，4)，b＝(7，1)，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋b＝(10，5) B．|b|＝10|a|
C．a∥(a－b) D．a与b的夹角为45°
AD　解析：根据向量的坐标运算易知A选项正确；因为|b|＝52，|a|＝5，所以B选项错误；因为a－b＝(－4，3)，3×3≠4×(－4)，所以C选项错误；因为cos 〈a，b〉＝a·bab＝255×52＝22，所以a与b的夹角为45°，D选项正确．
14．(多选题)如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θθ≠π2角的两条数轴，e1，e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若OM＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量OM的仿射坐标，记为OM＝(x，y)．在θ＝2π3的仿射坐标系中，a＝(1，2)，b＝(2，－1)，则下列结论正确的是(　　)

A．a－b＝(－1，3)
B．|a|＝3
C．a⊥b
D．a在b上的投影向量的坐标为-37，314
ABD　解析：对于A，∵a－b＝(e1＋2e2)－(2e1－e2)＝-e1＋3e2，∴a－b＝(－1，3)，A正确；
对于B，∵|a|＝e1+2e22＝1+4+2×1×2×-12＝3，∴B正确；
对于C，∵a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－e2)＝2e12+3e1·e2-2e22＝2＋3×-12－2＝－32≠0，∴C错误；对于D，设a在b上的投影向量为λb, 则a·b＝λb·b＝λb2，因为|b|＝2e1-e22＝4e12+e22-4cos2π3＝5+2＝7，
所以 －32＝λ×7, 则λ＝－314，
所以a在b上的投影向量的坐标为-37，314，所以D正确．
15．(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则PA·PB的取值范围是(　　)
A．[－5，3] B．[－3，5]
C．[－6，4] D．[－4，6]
D　解析：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∠C＝90°，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：

则A(3，0)，B(0，4)，C(0，0)，
设P(x，y)，因为PC＝1，所以x2＋y2＝1，
又PA＝(3－x，－y)，PB＝(－x，4－y)，
所以PA·PB＝－x(3－x)－y(4－y)＝x2＋y2－3x－4y＝－3x－4y＋1，
设x＝cos θ，y＝sin θ，
所以PA·PB＝－(3cos θ＋4sin θ)＋1＝－5sin (θ＋φ)＋1，其中tan φ＝34，
当sin (θ＋φ)＝1时，PA·PB有最小值为－4，
当sin (θ＋φ)＝－1时，PA·PB有最大值为6，
所以PA·PB∈[－4，6].
16．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，若函数f(x)＝13x3＋12|a|x2＋a·bx＋1在R上存在极值，则a和b夹角的取值范围为_________．
π3，π　解析： f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b，设a和b的夹角为θ，因为f(x)有极值，所以Δ＝|a|2－4a·b>0，即Δ＝|a|2－4|a|·|b|·cos θ>0，即cos θ