2024届高考数学一轮复习第5章第4节正弦定理、余弦定理及应用学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第5章第4节正弦定理、余弦定理及应用学案，共24页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第四节　正弦定理、余弦定理及应用
考试要求：1．掌握正弦定理、余弦定理．
2．能用正弦定理、余弦定理解三角形．

一、教材概念·结论·性质重现
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA＝bsinB＝csinC＝2R
a2＝b2＋c2－2bc cos A；
b2＝c2＋a2－2ca cos B；
c2＝a2＋b2－2ab cos C
变形
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．
(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．
(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A
cos A＝b2+c2-a22bc；
cos B＝c2+a2-b22ac；
cos C＝a2+b2-c22ab


若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
2．三角形解的个数

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝b sin A
b sin A a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解


表中A为锐角时，a 3．三角形的面积公式
(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝12bc sin A＝12ac sin B＝12ab sin C．
(3)S＝2R2·sin A·sin B·sin C(R为△ABC的外接圆半径)．
(4)S＝abc4R(R为△ABC的外接圆半径)．
(5)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC的内切圆半径)．
(6)S＝pp-ap-bp-c，p＝12(a＋b＋c)．
4．常用结论
在△ABC中，常用以下结论：
(1)A＋B＋C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；tan (A＋B)＝－tan C；sin A+B2＝cos C2；cos A+B2＝sin C2.
(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
(6)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A (7)射影定理：a＝b·cos C＋c·cos B；
b＝a·cos C＋c·cos A；
c＝a·cos B＋b·cos A.
(8)在任意△ABC中，任意两个内角的余弦值的和大于零．
(9)在锐角△ABC中，任意一个内角的正弦值都大于其他两个内角的余弦值．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形． (　√　)
(2)在△ABC中，asinA＝a+b+csinA+sinB+sinC. (　√　)
(3)在△ABC中，“a2＋b2>c2”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．
(　√　)
(4)在△ABC中，若sin A sin B 2．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若c－a cos B＝(2a－b)·cos A，则下列结论可能正确的有(　　)
A．A＝π2　　　　 B．B＝A
C．B＝π2 D．B＝C
AB　解析：在△ABC中，由c－a cos B＝(2a－b)·cos A，
则sin C－sin A cos B＝(2sin A－sin B)cos A.
即sin (A＋B)－sin A cos B＝(2sin A－sin B)·cos A⇒x cos Asin B＝2sin A cos A－sin B cos A⇒sin B cos A＝sin Acos A⇒cos A(sin B－sin A)＝0，
则cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝π2或B＝A.
3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝(　　)
A．15 B．59
C．53 D．1
B　解析：根据正弦定理asinA＝bsinB，有313＝5sinB，得sin B＝59.故选B.
4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积为_________．
23　解析：因为23sin60°＝4sinB，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝12×2×23＝23.
5．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝45°.若三角形有两解，则边b的取值范围是_________．
(2，22)　解析：如图，△ABC有两解的充要条件是b sin 45°<2


考点1　正弦定理、余弦定理的基本应用——基础性

1．在△ABC中，cos C＝23，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　)
A．19　 B．13
C．12　 D．23
A　解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB＝3，所以cos B＝AB2+BC2-AC22AB·BC＝9+9-162×3×3＝19.
2．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，则BC＝(　　)
A．1　 B．2
C．5　　 D．3
D　解析：由余弦定理，得cos 120°＝22+BC2-1922×2BC.化简得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D.
3．若△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则△ABC外接圆的半径为_________．
928　解析：不妨设b＝2，c＝3，cos A＝13，
则a2＝b2＋c2－2b2·cos A＝9，∴a＝3.
又∵sin A＝1-cos2A＝223，
∴外接圆半径为R＝a2sinA＝32×223＝928.
4．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝_________．
22　解析：由题意，得S△ABC＝12ac sin B＝3，即12ac·32＝3，解得ac＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝3ac－2ac·12＝8，解得b＝22(负值舍去)．

1．解答T3时易忽略b 2．正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
3．正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．

考点2　判断三角形的形状——应用性

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
B　解析：因为b cos C＋c cos B＝a sin A，由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，所以sin A＝1，所以A＝π2，故△ABC为直角三角形．

判断三角形形状的方法
(1)化边：根据正余弦定理将角转化为边，然后通过因式分解、配方等得出边的相应关系．
(2)化角：根据正、余弦定理将边转化为角，通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

(多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下结论中正确的有(　　)
A．若sin A>sin B，则A>B
B．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC一定为等腰三角形
C．若cos2A＋cos2B－cos2C＝1，则△ABC为直角三角形
D．若△ABC为锐角三角形，则sinA AC　解析：对于A，根据正弦定理asinA＝bsinB，由sin A>sin B，可推出a>b，则A>B，即A正确；对于B，取A＝15°，B＝75°，则sin 2A＝sin 2B，而△ABC不是等腰三角形，即B错误；对于C，cos2A＋cos2B－cos2C＝(1－sin2A)＋(1－sin2B)－(1－sin2C)＝1，则sin2A＋sin2B＝sin2C，由正弦定理可得a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形，即C正确；对于D，若△ABC为锐角三角形，取A＝80°，B＝40°，此时sin80°>cos 40°＝sin 50°，即sin A>cos B，故D错误．故选AC.

考点3　解三角形的综合问题——综合性

考向1　三角形的边、角计算问题
在①3b cos A＝2c sin C－3a cos B，②cos2π2+C＋cosC＝54这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_________．
(1)求角C；
(2)若AB＝3，AC＝2，内角C的平分线CE交边AB于点E，求CE的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)若选条件①：因为3b cos A＝2c sin C－3a cos B，
由正弦定理可得3(sin B cos A＋sin A cos B)＝2sin2C，所以3sin(A＋B)＝2sin2C.
因为A＋B＋C＝π，可得A＋B＝π－C，
所以3sinC＝2sin2C.
因为sinC≠0，所以sin C＝32.
又因为△ABC为锐角三角形，所以C＝π3.
若选条件②：因为cos2π2+C＋cosC＝54，
所以(－sin C)2＋cos C－54＝0，
即1－cos2C＋cosC－54＝0，
所以cos2C－cosC＋14＝0，解得cos C＝12.
因为△ABC为锐角三角形，所以C＝π3.
(2)因为AB＝3，AC＝2，由正弦定理得sin B＝AC·sinCAB＝22.
因为△ABC为锐角三角形，
所以B＝π4，则A＝5π12.
因为CE是角C的平分线，所以∠ACE＝π6，
故∠CEA＝π－π6-5π12＝5π12，所以∠A＝∠CEA，
则△AEC为等腰三角形，所以AC＝CE＝2，故CE的长为2.

正、余弦定理的一般用法原则
(1)“已知两角和一边”采用正弦定理(只有一解)．
(2)“已知两边和其中一边的对角”既可以采用正弦定理，又可以采用余弦定理．
(3)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”采用余弦定理．
考向2　与面积有关的问题
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A+C2＝b sin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A+C2＝sin B sin A.
因为sin A≠0，所以sin A+C2＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin A+C2＝cos B2，故cos B2＝2sin B2cos B2.
因为cos B2≠0，所以sin B2＝12，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.
由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°-CsinC＝32tanC+12.
由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.
由(1)知A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，所以12＜a＜2，从而38＜S△ABC＜32.
因此，△ABC面积的取值范围是38，32.

三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．

(2022·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a＝5c，cos C＝35.
(1)求sin A的值；
(2)若b＝11，求△ABC的面积．
解：(1)因为cos C＝35＞0，所以C∈0，π2，且sin C＝1-cos2C＝45，
由正弦定理可得：asinA＝csinC，
即有sin A＝asinCc＝acsin C＝54×45＝55.
(2)因为4a＝5c⇒a＝54c＜c，
所以A＜C，故A∈0，π2，
又因为sin A＝55，所以cos A＝255，
所以sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)＝sin A·cos C＋cos A sin C＝11525.
由正弦定理可得：asinA＝csinC＝bsinB＝55，
所以a＝55sin A＝5，
所以S△ABC＝12ab sin C＝12×5×11×45＝22.


已知△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积的最大值为(　　)
A．55 B．255
C．355 D．53
[四字程序]
读
想
算
思
△ABC面积的最大值
1．面积的表达式．
2．以谁为变量
用适当的变量表示S
转化与化归
a2＋b2＋2c2＝8
1．S＝12ah.
2．S＝12ab sin C．
3．边作变量．
4．角作变量．
5．海伦公式
S2＝14a2b2·(1－cos2C)
S≤2sinC3-2cosC
1．基本不等式．
2．函数最值．
3．三角函数的性质


思路参考：余弦定理＋角化边＋二次函数的最值．
B　解析：因为a2＋b2＋2c2＝8，即a2＋b2＝8－2c2，
所以S2＝14a2b2sin2C＝14a2b2(1－cos2C)＝14a2b21-a2+b2-c22ab2
＝14a2b2－8-3c2216≤14a2+b222－8-3c2216
＝－5c416＋c2＝－516c2-852＋45，
故当a2＝b2＝125，c2＝85时，S2有最大值45，
所以△ABC面积的最大值为255.

思路参考：设高转化，利用基本不等式．
B　解析：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
设AD＝m，BD＝n，CD＝h.
因为a2＋b2＋2c2＝8，所以m2＋n2＋2h2＋2c2＝8.
因为m2＋n2≥m+n22＝c22，当且仅当m＝n时取等号．

故m2＋n2＋2h2＋2c2≥c22＋2h2＋2c2＝5c22＋2h2≥25ch＝45S，
所以S≤255，当且仅当m＝n，c＝255h时取等号．
所以△ABC面积的最大值为255.

思路参考：利用海伦公式S＝pp-ap-bp-c＋基本不等式．
B　解析：p＝12(a＋b＋c)，则p－a＝12(b＋c－a)，p－b＝12(a＋c－b)，p－c＝12(a＋b－c)，
所以S＝pp-ap-bp-c
＝14a+b2-c2c2-b-a2
＝144a2b2-a2+b2-c22.
因为a2＋b2＋2c2＝8，
所以S＝144a2b2-8-3c22，
4a2b2≤(a2＋b2)2＝(8－2c2)2，
所以S≤148-2c22-8-3c22＝1416c2-5c4.
当c2＝85时，S2有最大值45.
所以△ABC面积的最大值为255.

思路参考：建系设点．
B　解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．

不妨令x1>0，y2>0，设A(－x1，0)，
B(x1，0)，C(x2，y2)．
因为a2＋b2＋2c2＝8，
所以x1-x22+y22+x1+x22+y22+8x12＝8，
所以5x12+x22+y22＝4.
因为S＝x1y2，所以25S≤5x12+y22＝4-x22≤4，
所以S≤255，当且仅当x2＝0，5x12＝y22＝2时取等号．
所以△ABC面积的最大值为255.

1．本题考查三角形的面积的最值问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助三角形的相关知识将目标函数转化为边之间的代数关系，借助三角函数的性质求最值．对于此类多元最值问题要注意合理转化或消元．
2．基于课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力．本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力．
3．基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型．本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了灵活性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．

已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为_________．
9　解析：因为a2＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－a2，所以cosA＝b2+c2-a22bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3.
方法一：因为a＝3，所以由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC＝332＝23，所以b＝23sin B，c＝23sin C，
则a＋b＋c＝3＋23sin B＋23sin C＝3＋23sin B＋23sin 2π3-B＝3＋33sin B＋3cos B＝3＋6sin B+π6.
因为B∈0，2π3，所以当B＝π3时，周长取得最大值9.
方法二：因为a＝3，所以由余弦定理得9＝b2＋c2－bc，所以(b＋c)2－3bc＝9，所以(b＋c)2－9＝3bc≤3·b+c22，所以(b＋c)2≤36.
因为b＋c>0，所以0 课时质量评价(二十九)
A组　全考点巩固练
1．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角之和为(　　)
A．90° B．120°
C．135° D．150°
B　解析：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5.设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°－θ，由余弦定理可得，cos θ＝25+64-492×5×8＝12，易得θ＝60°，则最大角与最小角的和是180°－θ＝120°，故选B.
2．在△ABC中，已知A＝π3，2a－2c＝b，那么ca＝(　　)
A．38 B．37
C．715 D．815
B　解析：根据余弦定理得cos 60°＝c2+2a-2c2-a222a-2cc＝12，化简得3a2－10ac＋7c2＝0，则(3a－7c)(a－c)＝0.又因为2a－2c＝b>0，有a>c，所以ca＝37，故选B.
3．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)
A．3π4 B．π3
C．π4 D．π6
C　解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A＝2b2(1－cos A)．因为a2＝2b2(1－sin A)，所以cos A＝sin A．因为cos A≠0，所以tan A＝1.因为A∈(0，π)，所以A＝π4.故选C.
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若23a cos C－3b cos C＝3c cos B，则角C的大小为(　　)
A．π6 B．π4
C．π3 D．2π3
A　解析：因为23a cos C－3b cos C＝3c cos B，所以23sin A cos C－3sin B cos C＝3sin C cos B，所以23sin A·cos C＝3sin (C＋B)＝3sin A．因为A，C∈(0，π)，所以sin A≠0，cos C＝32.又C∈(0，π)，所以C＝π6.故选A.
5．(多选题)在△ABC中，下列说法正确的是(　　)
A．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解
C．若△ABC是锐角三角形，则sin A＞cos B
D．若cos 2A＋cos 2B－cos 2C＜1，则△ABC为锐角三角形
BC　解析：对于A，由正弦定理可得sin A cos A＝sin B cos B，所以sin 2A＝sin 2B，所以A＝B或A＋B＝90°，所以△ABC为等腰或直角三角形，故A错误；对于B，a sin B＝40sin 25°＜40sin 30°＝40×12＝20，即a sin B＜b＜a，所以△ABC必有两解，故B正确；对于C，因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B＞π2，即π2＞A＞π2－B＞0，由正弦函数性质结合诱导公式得sin A＞sin π2-B＝cos B，故C正确；对于D，利用二倍角的余弦公式可得1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C＜1，即sin2A＋sin2B－sin2C＞0，即a2＋b2－c2＞0，所以cosC＞0，即C为锐角，不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误.
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足1a+b+1b+c＝3a+b+c，则角B＝_________．
π3　解析：因为 1a+b+1b+c＝3a+b+c，所以 b2＝a2＋c2－ac.又由余弦定理得 cos B＝a2+c2-b22ac＝12，且B∈(0，π)，解得 B＝π3.
7．在△ABC中，设BC＝a，AB＝c，∠ABC为锐角且满足lg a－lg c＝lg sin B＝－lg 2，则△ABC的形状是_________．
等腰直角三角形　解析：由题可知lg a－lg c＝lg sin B＝－lg 2.
因为lg a－lg c＝lg ac，－lg 2＝lg (2)-1＝lg 22，
所以lg ac＝lg sin B＝lg 22，得到ac＝sin B＝22.
因为∠B是锐角，所以∠B＝45°，cos B＝22.
因为ac＝22，
所以a2＝12c2，
b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝12c2＋c2－2·22c2·22＝12c2＋c2－c2＝12c2，
所以a2＝b2＝12c2，所以a2＋b2＝c2.
因此三角形ABC的形状是等腰直角三角形．
8．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当a＝________时，满足条件“b＝2，A＝30°”的△ABC有两个．(写出一个a的具体数值即可)
(1，2)内任一数　解析：由正弦定理得asinA＝bsinB，所以sin B＝sinAa＝1a.若满足条件的△ABC有两个，则1a<1且a 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2π2+A＋cosA＝54.
(1)求A；
(2)若b－c＝33a，证明：△ABC是直角三角形．
(1)解：由已知得sin2A＋cosA＝54，
即cos2A－cosA＋14＝0.
所以cosA-122＝0，cos A＝12.
由于0＜A＜π，故A＝π3.
(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝33sin A.
由(1)知B＋C＝2π3，所以sin B－sin 2π3-B＝33sin π3，即12sin B－32cos B＝12，
所以sin B-π3＝12.
由于0＜B＜2π3，B－π3＝π6，故B＝π2.
从而△ABC是直角三角形．
10．(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝3sin C.
(1)求∠C；
(2)若b＝6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长．
解：(1)因为sin 2C＝3sin C，
所以2sin C cos C＝3sin C，
又sin C≠0，所以2cos C＝3，
所以cos C＝32，因为0＜C＜π，
所以C＝π6.
(2)因为△ABC的面积为63，
所以12ab sin C＝63，
又b＝6，C＝π6，
所以12×a×6×12＝63，
所以a＝43，
又cos C＝a2+b2-c22ab，
所以32＝432+62-c22×43×6，
所以c＝23，
所以a＋b＋c＝6＋63，
所以△ABC的周长为6＋63.
B组　新高考培优练
11．(多选题)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(　　)
A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝33，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°
BC　解析：对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝sinCc＝7×123＝76＞1，无解；对于B，因为b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sin C＝csinBb＝4×225＝225＜1，且c＜b，有一解；对于C，因为a＝6，b＝33，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝asinBb＝6×3233＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；对于D，因为a＝20，b＝30，A＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝sinAa＝30×1220＝34＜1，且b＞a，所以B有两个值，有两解．
12．(多选题)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是(　　)
A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若A＞B，则sin A＞sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形
ABD　解析：对于A，若cosA＝cos B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故正确；对于B，若A＞B，则a＞b，由正弦定理asinA＝bsinB＝2R，得2R sin A＞2R sin B，即sin A＞sin B成立，故正确；对于C，由余弦定理可得b＝82+102-2×8×10×12＝84，只有一解，故错误；对于D，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则根据正弦定理得a2＋b2＜c2，cosC＝a2+b2-c22ab<0，所以C为钝角，所以△ABC是钝角三角形，故正确．
13．(多选题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝22，b＝2，则角B可以是(　　)
A．15° B．30°
C．45° D．75°
AB　解析：cos B＝a2+c2-b22ac＝8+c2-22×22c＝6+c242c＝2c8+324c≥2324c·2c8＝32，当且仅当324c＝2c8，c＝6时等号成立，所以cos B∈32，1，B∈(0°，30°]，所以AB选项正确，CD选项错误．故选AB.
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B－c－b2＝0，a2＝72bc，b＞c，则bc＝_________．
2　解析：由a cos B－c－b2＝0及正弦定理可得sin A cos B－sin C－sinB2＝0.因为sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos Asin B，所以－sinB2－cos A sin B＝0.因为sin B≠0，所以cos A＝－12，即A＝2π3.由余弦定理得a2＝72bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b＞c，所以bc＝2.
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B＝54sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sin C，则c＝________，cos C＝_________．
4　－14　解析：因为sin A＋sin B＝54sin C，所以由正弦定理得a＋b＝5c4.
因为△ABC的周长为9，所以a＋b＋c＝c＋5c4＝9，解得c＝4.因为△ABC的面积等于3sin C，所以12ab sin C＝3sin C，整理得ab＝6.由于a＋b＝5c4＝5，故a+b=5，ab=6， 　解得a=2，b=3 或a=3，b=2，所以cos C＝a2+b2-c22ab＝－14.
16．(2022·聊城三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin C＝c cos B-π6.
(1)求角B；
(2)若b＝4，求△ABC周长的最大值．
解：(1)由正弦定理及b sin C＝c cos B-π6，知sin B sin C＝sin C cos B-π6，
因为sin C≠0，所以sin B＝cos B-π6＝32cos B＋12sin B，即sin B-π3＝0，
因为B∈(0，π)，所以B＝π3.
(2)由余弦定理知，b2＝a2＋c2－2ac cos B，
所以16＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3·14(a＋c)2≥14(a＋c)2，
所以(a＋c)2≤64，即a＋c≤8，当且仅当a＝c＝4时，等号成立，
所以△ABC周长为a＋b＋c≤8＋4＝12，
故△ABC周长的最大值为12.
17．(2022·烟台三模)在①(2b－c)cos A＝a cos C，②a sin B＝3b cos A，③a cos C＋3c sin A＝b＋c，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足________，且c＝4，b＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若D为BC的中点，求∠ADC的余弦值.
注：若选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
解：(1)若选①：因为(2b－c)cos A＝a cos C，
由正弦定理得(2sin B－sin C)cos A＝sin A cos C，即2sin B cos A＝sin C cos A＋sin A cos C，
所以2sin B cos A＝sin B.
因为0＜B＜π，
所以sin B≠0，
可得cos A＝12，
因为0＜A＜π，故A＝π3.
若选②，
a sin B＝3b cos A，
由正弦定理可得sin A sin B＝3sin B cos A，
因为sin B≠0，可得sin A＝3cos A，
可得tan A＝3，
因为A∈(0，π)，可得A＝π3.
若选③，a cos C＋3c sin A＝b＋c，
由正弦定理可得sin A cos C＋3sin A sin C＝sin B＋sin C，
又因为sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，
可得3sin A＝cos A＋1，可得sin A-π6＝12，
因为A∈(0，π)，可得A－π6∈-π6，5π6，可得A－π6＝π6，可得A＝π3.
所以S△ABC＝12bc sin A＝12×4×3×sin π3＝33.
(2)在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋16－2×3×4×12＝13，故a＝13，
在△ABD中，2AD·BD cos ∠ADB＝AD2＋BD2－16，
在△ACD中，2AD·CD cos ∠ADC＝AD2＋CD2－9，
又BD＝CD＝132，∠ADC＋∠ADB＝π，两式相加可得，AD2＝374，即AD＝372，
在△ACD中，由余弦定理得cos ∠ADC＝AD2+CD2-AC22AD·CD＝374+134-92×372×132＝7481481.