2024届高考数学一轮复习第5章第5节解三角形的实际应用学案
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这是一份2024届高考数学一轮复习第5章第5节解三角形的实际应用学案,共21页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现,基本技能·思想·活动经验等内容,欢迎下载使用。
第五节 解三角形的实际应用
考试要求:能用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题.
一、教材概念·结论·性质重现
1.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图(1)).
2.方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图(2)).
3.方向角:相对于某一正方向的水平角.
(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图(3)).
(2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向.
(3)南偏西等其他方向角类似.
区分方位角与方向角
(1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角.
(2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.
4.坡角与坡度
(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图(4),角θ为坡角).
(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图(4),i为坡度).坡度又称为坡比.
5.解三角形应用题的步骤
二、基本技能·思想·活动经验
1.判断下列说法的正误,对的画“√”,错的画“×”.
(1)若从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α=β. ( √ )
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为0,π2. ( × )
(3)若点P在点Q的北偏东44°,则点Q在点P的东偏北46°. ( × )
(4)方位角大小的范围是[0,π),方向角大小的范围是0,π2. ( × )
2.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
D 解析:由条件及图可知,∠A=∠CBA=40°,
又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
3.如图,设点A,B在河的两岸,一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出A,C两点间的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为( )
A.2522 m B.252 m
C.502 m D.503 m
C 解析:在△ABC中,∠ABC=30°,由正弦定理得ACsin30°=ABsin45°,即5012=AB22,所以AB=502(m).故选C.
4.如图,D,C,B三点在地面的同一条直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别为60°,30°,则点A离地面的高度AB=___________.
32a 解析:由已知得∠DAC=30°,△ADC为等腰三角形,AD=3a,所以在Rt△ADB中,AB=12AD=32a.
5.如图,要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在点C处测得塔顶A的仰角是45°,在点D处测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为_________.
40 m 解析:设电视塔的高度为x m,则BC=x,BD=3x.在△BCD中,由余弦定理得3x2=x2+402-2×40x×cos 120°,即x2-20x-800=0,解得x=40或x=-20(舍去).故电视塔的高度为40 m.
考点1 解三角形的实际应用——应用性
考向1 测量距离问题
若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图中海洋蓝洞的口径为_________.
805 解析:由已知得,在△ADC中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°.
由正弦定理得AC=80sin150°sin15°=406-24=40(6+2).
在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,
所以∠DBC=30°.
由正弦定理CDsin∠CBD=BCsin∠BDC,
得BC=CDsin∠BDCsin∠CBD=80×sin1512=160sin 15°=40(6-2).
在△ABC中,由余弦定理,得AB2=1 600×(8+43)+1 600×(8-43)+2×1 600×(6+2)×(6-2)×12=1 600×16+1 600×4=1 600×20=32 000,
解得AB=805,故图中海洋蓝洞的口径为805.
测量距离问题的2个策略
(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
考向2 测量高度问题
如图,为了测量河对岸电视塔CD的高度,小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°,塔底C与A的连线同河岸成15°角.小王沿河岸向前走了1 200 m到达M处,测得塔底C与M的连线同河岸成60°角,则电视塔CD的高度为________m.
6002 解析:在△ACM中,∠MCA=60°-15°=45°,∠AMC=180°-60°=120°,由正弦定理得AMsin∠MCA=ACsin∠AMC,即1 20022=AC32,解得AC=6006(m).在△ACD中,因为tan ∠DAC=DCAC=33,所以DC=6006×33=6002(m).
求解高度问题的基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入一个可解的三角形中,使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.
考向3 测量角度问题
如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行(23-2)n mile到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C.
(1)求AC的长;
(2)如果下次航行直接从A出发到达C,求∠CAB的大小.
解:(1)由题意,在△ABC中,∠ABC=180°-75°+15°=120°,AB=23-2,BC=4.
根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=(23-2)2+42+(23-2)×4=24,
所以AC=26.
即AC的长为26 n mile.
(2)根据正弦定理得,sin ∠CAB=BC·sin∠ABCAC=4×3226=22,所以∠CAB=45°.
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
[提醒]方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
1.如图,甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,相距a海里的B处,且乙船正向北行驶.若甲船的速度是乙船的3 倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东________(填角度)的方向前进.
30° 解析:设两船在C处相遇,则由题意∠ABC=180°-60°=120°,且ACBC=3.由正弦定理,得ACBC=sin120°sin∠BAC=3,所以sin ∠BAC=12.因为0°