2024届高考数学一轮复习第8章第2节两直线的位置关系、距离公式学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第8章第2节两直线的位置关系、距离公式学案，共16页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第二节　两直线的位置关系、距离公式
考试要求：1．能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理)．
2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(数学运算)．

一、教材概念·结论·性质重现
1．两条直线的位置关系
(1)利用斜率关系判断
对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2.
l1∥l2
k1＝k2
l1⊥l2
k1·k2＝－1
特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2；
当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)利用方程判断
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，
l1∥l2
A1A2＝B1B2≠C1C2
l1⊥l2
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2重合
A1A2＝B1B2＝C1C2
特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断．
(3)两直线相交
交点——直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的解一一对应．
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解．

(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.
(2)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线可设为Ax＋By＋n＝0.
2．三种距离
(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝x2-x12+y2-y12．
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝Ax0+By0+CA2+B2．
(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中A2＋B2≠0，C1≠C2)间的距离d＝C1-C2A2+B2．

应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：
(1)将方程化为最简的一般形式．
(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两直线方程中x，y的系数分别对应相等．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2. (　×　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1. (　×　)
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为kx0+b1+k2. (　×　)
(4)两平行直线2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0间的距离为0. (　×　)
2．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为(　　)
A．0　　　B．－8　　　C．2　　　D．10
B　解析：由题意知4-mm--2＝－2，解得m＝－8.故选B．
3．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为(　　)
A．x－y＋1＝0
B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0
D．x＋y－1＝0
A　解析：因为直线AB的斜率为a+1-aa-1-a＝－1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过线段AB的中点2a-12，2a+12，所以2a+12＝2a-12＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选A．
4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为－9．
5．已知两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2之间的距离为________．
52　解析：两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，即两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，它们之间的距离d＝-3-242+22＝52.


考点1　两直线平行与垂直判定及应用——基础性

1．“m＝1”是“直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行⇔m2＝1⇔m＝±1，“m＝1”是“m＝±1”的充分不必要条件．故选A．
2．若直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，则a2＋b2的最小值为(　　)
A．3 B．3
C．5 D．5
C　解析：因为直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，
所以2b＋2(2a－5)＝0，化简得b＝5－2a，
所以a2＋b2＝a2＋(5－2a)2＝5a2－20a＋25＝5a-22＋5≥5，当且仅当a＝2时取“＝”，
所以a2＋b2的最小值为5.
3．已知直线l1：mx＋y－1＝0，l2：(2m＋3)x＋my－1＝0，m∈R，若l1⊥l2，则m＝________．
0或－2　解析：若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，
即l1⊥l2⇔m＝0或m＝－2.

1．当方程的系数含有字母时，应考虑斜率不存在的特殊情况，否则容易漏解．
2．利用平行、垂直等条件求出参数值后，应将求出的参数值回代，验证是否符合题意．如当两直线平行时，利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合，应该代入验证是否舍去其中一个值．

考点2　两直线的交点、距离问题——综合性

(1)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)
A．4 B．132
C．21313 D．71326
B　解析：由直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋72＝0.它们之间的距离是72+332+22＝132.故选B．
(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　)
A．－24 B．24
C．6 D．±6
A　解析：直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为(a，0)，则2a-k=0，a+12=0，即a=-12，k=-24.故选A．

本例1(1)中，条件“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行”改为“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相垂直”，求两直线的交点坐标．
解：因为两直线垂直，则18＋2m＝0，则m＝－9.
由3x+2y-3=0，6x-9y+7=0，解得x=13，y=1.所以交点坐标为13，1.

1．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
2．利用距离公式应注意
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．

1．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为(　　)
A．(1，2)
B．(2，1)
C．(1，2)或(2，－1) 　
D．(2，1)或(－1，2)
C　解析：设P(x，5－3x)，则d＝x-5+3x-112+-12＝2，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1，2)或(2，－1)．故选C．
2．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点Q，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
C　解析：由x-2y+3=0，2x+3y-8=0，得x=1，y=2，即直线l过点Q(1，2)．
因为|PQ|＝1-02+2-42＝5>2，
所以满足条件的直线l有2条．故选C．

考点3　对称问题——应用性

考向1　点关于点对称
过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
x＋4y－4＝0　解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.

中心对称问题的解法
(1)若点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(x′，y′)，则x'=2a-x，y'=2b-y.
(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决．
考向2　点关于直线的对称点
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．
-3313，413　解析：设A′(x，y)，
由已知得y+2x+1×23=-1， 2×x-12-3×y-22+1=0，
解得x=-3313，y=413. 故A′-3313，413.

轴对称问题的解法
(1)若点P(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为P′(m，n)，
则有n-bm-a×-AB=-1， A·a+m2+B·b+n2+C=0.
(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．
考向3　直线关于直线的对称
已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(　　)
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
B　解析：由x-y-1=0，2x-y-2=0，得交点(1，0)，取l1上的点(0，－2)，其关于直线l的对称点为(－1，－1)，故直线l2的方程为y-0-1-0＝x-1-1-1，即x－2y－1＝0.

直线与直线对称问题的解法
(1)先求出两条直线的交点，再在其中一条直线上取一个异于交点的点，求出该点关于直线的对称点，由两点式可写出直线的方程．
(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．

1．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　)
A．2x＋3y＋5＝0 　　
B．3x－2y＋5＝0
C．3x＋2y＋5＝0 　　
D．2x－3y＋5＝0
B　解析：易知A(－1，1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－1kA＝32，所以直线l2的方程为y－1＝32(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.故选B．
2．若函数y＝ax＋8与y＝－12x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝(　　)
A．12 B．－12
C．2 D．－2
C　解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－12x＋b为同一直线，则a=-2，b=4. 所以a＋b＝2.故选C．
课时质量评价(四十四)
A组　全考点巩固练
1．(2023·聊城模拟)d为点P(1，0)到直线x－2y＋1＝0的距离，则d＝(　　)
A．55 B．255
C．355 D．455
B　解析：d＝1-0+11+4＝255.故选B．
2．已知直线l：ax＋y＋a＝0，直线m：x＋ay＋a＝0，则l∥m的充要条件是(　　)
A．a＝－1 B．a＝1
C．a＝±1 D．a＝0
A　解析：因为直线l：ax＋y＋a＝0，直线m：x＋ay＋a＝0，易知a＝0时，两直线垂直，所以l∥m的充要条件是a1＝1a≠aa，即a＝－1.故选A．
3．(2023·泰安质检)过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　)
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
A　解析：由题意可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A(2，3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.故选A．
4．(多选题)直线l经过点M(2，1)，若点P(4，2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　　)
A．3x－2y－4＝0 B．x＝2
C．x－2y＝0 D．3x－2y－8＝0
AB　解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0.因为P(4，2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得k＝32，则直线l的方程为3x－2y－4＝0.故选AB．
5．已知A(1，63)，B(0，53)，作直线l，使得点A，B到直线l的距离均为d，且这样的直线l恰有4条，则d的取值范围是(　　)
A．d≥1 B．0＜d＜1
C．0＜d≤1 D．0＜d＜2
B　解析：A，B两点到直线l的距离相等，这样的直线有两类，第一类是过线段AB的中点的直线；第二类是与直线AB平行的直线．而|AB|＝1-02+63-532＝2，要使满足条件的直线l有4条，只需要0＜d＜12|AB|＝1.
6．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
D　解析：设所求直线上任一点为(x，y)，则它关于x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.
7．已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．
6x－y－6＝0　解析：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以b-4a--3·1=-1， -3+a2-b+42+3=0，解得a=1，b=0.
又反射光线经过点N(2，6)，
所以所求直线的方程为y-06-0＝x-12-1，即6x－y－6＝0.
8．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
x＋2y－3＝0　解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝-1-10-1＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－12，所以直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.
9．正方形的中心为点C(－1，0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝-1-51+9＝3105.
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离
d＝-1+m1+9＝3105，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离
d＝-3+n1+9＝3105，
解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.
B组　新高考培优练
10．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k的值为(　　)
A．18 B．12
C．14 D．2
A　解析：直线l1，l2恒过点P(2，4)，直线l1在y轴上的截距为4－k，直线l2在x轴上的截距为2k2＋2.因为0＜k＜4，所以4－k＞0，2k2＋2＞0，所以四边形的面积S＝12×2×(4－k)＋12×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故当k＝18时，面积最小．
11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(3，4)，若将军从点A(－2，0)处出发，河岸线所在直线方程为y＝x，则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
A．5 B．35
C．45 D．53
B　解析：因为点A(－2，0)关于直线y＝x的对称点为A′(0，－2)，所以|A′B|即为“将军饮马”的最短总路程，则“将军饮马”的最短总路程为|A′B|＝9+36＝35.故选B．
12．已知A(－2，1)，B(1，2)，点C为直线y＝13x上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为(　　)
A．22 B．23
C．25 D．27
C　解析：设B关于直线y＝13x的对称点为B′(x0，y0)，则y0-2x0-1=-3， y0+22=13×x0+12，解得x0=2，y0=-1.
所以B′(2，－1)．
由平面几何知识得|AC|＋|BC|的最小值即是|B′A|＝2+22+-1-12＝25.故选C．
13．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1，3)到直线l的距离为2，则直线l的方程为____________________．
y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0　解析：当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，由点A(1，3)到直线l的距离为2，得k-31+k2＝2，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x.当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，由点A(1，3)到直线l的距离为2，得4-a2＝2，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.综上所述，直线l的方程为y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
14．已知直线y＝2x是△ABC中∠ACB的平分线所在的直线．若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标是________．
(2，4)　解析：设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，
则y-2x+4×2=-1，y+22=2×-4+x2，解得x=4，y=-2，
所以BC所在直线方程为y－1＝-2-14-3(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3，1)关于直线y＝2x的对称点为(－1，3)，所以AC所在直线方程为y－2＝3-2-1--4·(x＋4)，即x－3y＋10＝0.联立得3x+y-10=0，x-3y+10=0，解得x=2，y=4，则C(2，4)．
15．已知直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，其中m∈R.
(1)求证：直线恒过定点；
(2)当m变化时，求点Q(3，4)到直线的距离的最大值及此时的直线方程；
(3)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．
(1)证明：直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，
可化为(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0对任意m都成立，
所以-x+2y+3=0，2x+y+4=0，解得x=-1，y=-2，
所以直线恒过定点(－1，－2)．
(2)解：设定点为P(－1，－2)．
当m变化时，PQ⊥直线l时，
点Q(3，4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值，
即3+12+4+22＝213.
此时直线过点P(－1，－2)且与PQ垂直，
所以－2-m2m+1·-2-4-1-3＝－1，解得m＝47.
故直线的方程为2x＋3y＋8＝0.
(3)解：由于直线经过定点P(－1，－2)，直线的斜率k存在且k≠0，
因此可设直线的方程为y＋2＝k(x＋1)，
可得与x轴、y轴的负半轴分别交于A2-kk，0，B(0，k－2)两点，
2-kk＜0，k－2＜0，解得k＜0.
所以S△AOB＝12×k-2k×(2－k)＝124+-k+4-k≥2＋12×2-k·4-k＝4，
当且仅当k＝－2时取等号．
此时直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，可化为2x＋y＋4＝0.