2024届高考数学一轮复习第8章第8节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第8章第8节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案，共19页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第八节　直线与圆锥曲线的位置关系
考试要求：1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
2．了解椭圆、双曲线和抛物线的简单应用．
第1课时　直线与圆锥曲线的位置关系

一、教材概念·结论·性质重现
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
方程ax2＋bx＋c＝0的解
l与C的交
点个数
a＝0
b＝0
无解(含l是双曲线的渐近线)
0
b≠0
有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)
1
a≠0
Δ＞0
两个不相等的解
2
Δ＝0
两个相等的解
1
Δ＜0
无实数解
0
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．

(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线一定相切．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线也相交于一点．
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行或重合时也与抛物线相交于一点的情况．
2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝1+k2|x1－x2|＝1+k2x1+x22-4x1x2＝1+1k2|y1－y2|
＝1+1k2y1+y22-4y1y2.

解决直线与圆锥曲线的弦长问题的规律：联立方程求交点，由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2，代入弦长公式求弦长．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(　√　)
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．
(　×　)
(3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点． (　×　)
(4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点． (　√　)
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29+y24＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
A　解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)．又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
3．直线y＝bax＋3与双曲线x2a2-y2b2＝1的交点个数是(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．0
A　解析：因为直线y＝bax＋3与双曲线的渐近线y＝bax平行，所以它与双曲线只有1个交点．
4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为103，则|AB|＝(　　)
A．133 B．143
C．5 D．163
D　解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2.因为p＝2，所以|AB|＝2＋103＝163.
5．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
C　解析：过(0，1)与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．


考点1　直线与圆锥曲线的位置关系——基础性

1．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3，0)
D．(－2，0)
A　解析：因为直线与圆相切，所以t+11+k2＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，解得t>0或t0， x1+x2>0，x1x2>0， 即2k2+201-k2>0，-2k1-k2>0， -51-k2>0，
整理得4k20，k2>1， 整理10，b0，b0，y1＋y2＝23p，
所以y1+y22＝3p＝23，解得p＝2.故选C．
方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝43，且y1-y2x1-x2＝tan π6＝33，由y12=2px1，y22=2px2，
得(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)，由题意知x1≠x2，所以(y1＋y2)·y1-y2x1-x2＝2p，即43×33＝2p，得p＝2.故选C．
课时质量评价(五十)
A组　全考点巩固练
1．若直线y＝x＋2与椭圆x2m+y23＝1有两个公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)
B　解析：由y=x+2，x2m+y23=1，得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
由Δ＝16m2－4m(m＋3)>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.
2．(2023·济南模拟)直线y＝kx＋1与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k＝(　　)
A．－2 B．－1
C．－12 D．1
C　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋1代入x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，x1＋x2＝－8k1+4k2，因为AB中点的横坐标为1，所以－4k1+4k2＝1，解得k＝－12. 故选C．
3．已知直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，且AB，AF，BF成等差数列，则直线l的斜率k＝(　　)
A．±1 B．±2
C．±2 D．±22
D　解析：根据题意可得直线l的斜率存在．因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，所以直线l的方程可设为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立得：y=kx-1，y2=4x ⇒k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.设(A(x1 ，y1)，B(x2，y2)，Δ＝[－2(k2＋2)]2－4k4>0.
因此x1＋x2＝2k2+2k2，x1x2＝1.
因为AB，AF，BF成等差数列，
所以2AF＝AB+BF，
于是有2(x1＋1)＝x1＋1＋x2＋1＋x2＋1，化简得：x1＝2x2＋1，而x1x2＝1，
所以解得x2=12 ，x1=2 或x2=-1，x1=-1 (舍去)．
因为x1＋x2＝2k2+2k2，所以52＝2k2+2k2，
解得k2＝8⇒k＝±22.
4．已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3，且双曲线过点P(2，3)，双曲线的两条渐近线与过右焦点F且垂直于x轴的直线交于A，B两点，则△AOB的面积为(　　)
A．43 B．23
C．8 D．12
A　解析：由题意得，双曲线的渐近线方程为y＝±3x，可得双曲线的方程为x2－y23＝λ(λ>0)，把点(2，3)代入可得4－3＝λ，得λ＝1，所以双曲线的方程为x2－y23＝1，c2＝1＋3＝4，c＝2，F(2，0)，可得A(2，23)，B(2，－23)，可得S△AOB＝12×2×43＝43.故选A．
5．(多选题)设椭圆的方程为x22+y24＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是(　　)
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为(1，1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为13，43
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝423
BD　解析：对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－42＝－2≠－1，所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点M13，43，则kAB·kOM＝1·4＝4≠－2，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程x22+y24＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得：3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－43，所以|AB|＝1+12·-43-0＝423，所以D项正确．
6．已知F为椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点，直线y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点．若AF⊥BF，则实数k的值为________．
－12　解析：依题意联立直线与椭圆方程得y=kx+1，x22+y2=1，消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4kx＝0，解得x＝0或x＝-4k2k2+1，不妨取xA＝0，则yA＝1，xB＝-4k2k2+1，yB＝k·-4k2k2+1＋1＝1-2k22k2+1，所以A(0，1)，B-4k2k2+1，1-2k22k2+1.又F(1，0)，所以kAF＝－1.因为AF⊥BF，所以kBF＝1，即1-2k22k2+1-4k2k2+1-1＝1，即1-2k22k2+1＝-4k2k2+1－1，所以1－2k2＝－4k－(2k2＋1)，解得k＝－12.
7．已知双曲线C：x2－4y2＝1，过点P(2，0)的直线l与双曲线C有唯一公共点，则直线l的方程为____________．
y＝±12(x－2)　解析：由题意知，点P(2，0)在双曲线内，故满足条件的直线l只能是与双曲线的两条渐近线y＝±12x平行的直线．又该直线过点P(2，0)，因此该直线l的方程为y＝±12(x－2)．
8．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的左焦点F1到双曲线x22－y2＝1的渐近线的距离为33.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(k＜0)与椭圆C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线l的距离为255，求直线l的方程．
解：(1)因为椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，所以ca＝22.
又双曲线x22－y2＝1的其中一条渐近线方程为x－2y＝0，椭圆C的左焦点F1(－c，0)，
所以由题意知，-c1+2＝33，解得c＝1，所以a＝2，b＝1，
所以椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1.
(2)由(1)知F2(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由原点O到直线l：y＝kx＋m(k＜0)的距离为255，得m1+k2＝255，
即m2＝45(1＋k2). ①
将y＝kx＋m代入x22＋y2＝1中，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
所以Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)＞0，x1＋x2＝－4km1+2k2，x1x2＝2m2-21+2k2.
又以线段AB为直径的圆经过点F2，所以F2A·F2B＝0，
即(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
即(1＋k2)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0，
所以(1＋k2)·2m2-21+2k2＋(km－1)·-4km1+2k2＋m2＋1＝0，
化简得3m2＋4km－1＝0.②
由①②，得11m4－10m2－1＝0，所以m2＝1.
又k＜0，所以m=1，k=-12，满足Δ＝8(2k2－m2＋1)＞0，所以直线l的方程为y＝－12x＋1.
B组　新高考培优练
9．若直线y＝kx＋2与椭圆x27+y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1
B．m>0
C．0b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝(　　)
A．60° B．90°
C．120° D．150°
B　解析：由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立y=kx+a，x2a2+y2b2=1，消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0.
由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，
得k＝ca，从而y＝cax＋a，交x轴于点A-a2c，0，
又F(c，0)，易知BA·BF＝0，故∠ABF＝90°.
11．设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2⊥F1F2，则椭圆C的离心率为(　　)
A．3-12 B．3-13
C．5-12 D．22
C　解析：设M(c，y0)，则MF1的中点为N0，y02，即N在y轴上，N又在直线AB上，即点N与B重合，AB⊥BF1⇒kABkBF1＝－1⇒ba·-bc＝－1.故b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒e2＋e－1＝0，所以e＝5-12.
12．(多选题)已知曲线C的方程为x2＋y29＝1(0＜x≤1)，A(0，－3)，B(0，3)，D(－1，0)，点P是C上的动点，直线AP与直线x＝5交于点M，直线BP与直线x＝5交于点N，则△DMN的面积可能为(　　)
A．73 B．76
C．68 D．72
ABD　解析：设P(x0，y0)，则kPA·kPB＝y02-9x02＝y02-91-y029＝－9.设kPA＝k(k＞0)，则kPB＝－9k.
直线AP的方程为y＝kx－3，则点M的坐标为(5，5k－3)，
直线BP的方程为y＝－9kx＋3，则点N的坐标为5，-45k+3.
所以|MN|＝5k-3--45k+3＝5k+45k-6≥25k·45k-6＝24，
当且仅当5k＝45k，即k＝3时等号成立．从而△DMN面积的最小值为12×24×6＝72.故选ABD．
13．经过椭圆x22＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则OA·OB＝________．
－13　解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程x22＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，43，13，所以OA·OB＝－13，同理，当直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA·OB＝－13.
14．过点P(1，1)作直线l与双曲线x2－y22＝λ交于A，B两点．若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是________．
(－∞，0)∪0，12　解析：因为双曲线方程为x2－y22＝λ，所以λ≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为点P恰为线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.
将A，B两点坐标代入双曲线方程，
得x12-y122=λ，x22-y222=λ，两式相减并化简可得y1-y2x1-x2＝2×x1+x2y1+y2＝2.
即直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2x－1.
联立y=2x-1，x2-y22=λ，化简可得2x2－4x＋2λ＋1＝0.
因为直线l与双曲线有两个不同的交点，
所以Δ＝16－4×2×(2λ＋1)>0，解得λb>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，上顶点为B，直线BF1被椭圆C截得的线段长为4a3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若BP⊥BQ，求三角形BPQ的面积．
解：(1)设直线BF1与椭圆的交点为A(x0，y0)，
因为上顶点B(0，b)，所以直线BF1 的方程为y＝bx＋b，
联立直线BF1与椭圆方程y=bx+b，x2a2+y2b2=1，解得x0＝－2a21+a2.
所以由椭圆的弦长公式，可得|AB|＝1+b2|x0－0|＝2a31+a2，
所以2a31+a2＝4a3，解得a2＝2.
因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1.
(2)由(1)及题意，直线l不经过点B且与x轴不重合，
设直线l的方程为x＝my＋1(m≠－1)，P(my1＋1，y1)，Q(my2＋1，y2)．
因为BP⊥BQ，所以BP·BQ＝0，
所以(my1＋1)(my2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
即(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0　①.
联立直线与椭圆方程x=my+1，x22+y2=1，
整理可得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
Δ＝4m2＋4(m2＋2)＝8(m2＋1)＞0 恒成立．
由根与系数的关系，可得y1＋y2＝－2mm2+2，y1y2＝－1m2+2，
代入①式，可得－m2+1m2+2-2mm-1m2+2＋2＝0，所以m2－2m－3＝0.
因为m≠－1，所以m＝3，所以直线l的方程为x－3y－1＝0.
由弦长公式，可得|PQ|＝1+m2|y1－y2|
＝1+m2y1+y22-4y1y2＝10×8011＝20211.
因为点B(0，1)到直线l的距离d＝1×0+-3×1-112+32＝2105，
所以S△BPQ＝12×d×|PQ|＝12×2105×20211＝8511.