2024届高考数学一轮复习第10章第2节二项式定理学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第10章第2节二项式定理学案，共23页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第二节　二项式定理
考试要求：掌握二项式定理并会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

一、教材概念·结论·性质重现
1．二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…
+Cnnbn(n∈N*)
二项展开式的通项
Tk＋1＝Cnkan－kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数
Cnk(k＝0，1，2，…，n)


(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
2．二项式系数的性质


二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1．
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n．
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
1Cnkan－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项． (　×　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项． (　×　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． (　√　)
(4)通项公式Tk＋1＝Cnkan－kbk中的a和b不能互换． (　√　)
(5)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，与该项的二项式系数不同． (　√　)
2．2x+1x6的展开式中常数项为(　　)
A．160　　　B．184　　　C．192　　　D．186
A　解析：因为2x+1x6的展开式的通项公式为Tk＋1＝C6k·26-k·x6-2k，令6－2k＝0，求得k＝3，可得展开式中常数项为C63·23＝160．故选A．
3．1-2x6的展开式中二项式系数最大的项的系数是(　　)
A．－160　　　B．－20　　　C．20　　　D．160
A　解析：1-2x6的展开式共有7项，且二项式系数对称分布，故第4项的二项式系数最大，T4＝C63-2x3＝－160x-3，所以其系数为－160．
4．(2022·天津期末)已知2x+1xn的展开式共有6项，则展开式中二项式系数的和为(　　)
A．25　　　B．26　　　C．35　　　D．36
A　解析：因为2x+1xn的展开式共有6项，所以n＝5，所以展开式中二项式系数的和为25．
5．在(x＋43y)20的展开式中，系数为有理数的项共有(　　)
A．6项　　　B．5项　　　C．4项　　　D．3项
A　解析：在(x＋43y)20的展开式中，其通项为Tk＋1＝C20k·x20-k·3k4·yk，要使展开式中的系数为有理数，则k＝0，4，8，12，16，20，共6项．


考点1　通项及其应用——基础性

考向1　求二项展开式中的特定项
(1)在2x3+1x6的展开式中，x6的系数是________．
160　解析：2x3+1x6的展开式的通项为Tk＋1＝C6k(2x3)6-k1xk＝C6k26-kx18-4k，
令18－4k＝6，解得k＝3，
所以x6的系数是C6323＝160．
(2)已知二项式(x＋a)5展开式中，x2的系数为80，则a＝________．
2　解析：(x＋a)5的展开式的通项为Tk＋1＝C5kx5-k·ak，令5－k＝2，解得k＝3，所以x2的系数为C53a3＝80，解得a＝2．

求二项展开式中特定项的步骤
第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项Tk＋1＝Cnkan－kbk，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k；
第三步，把k代入通项中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．
考向2　形如(a＋b)n(c＋d)m(m，n∈N*)的展开式
(1)x+y2x(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．5　　　B．10　　　C．15　　　D．20
C　解析：要求x+y2x(x＋y)5的展开式中x3y3的系数，只要分别求出(x＋y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可．由二项式定理可得(x＋y)5的展开式中x2y3的系数为C53＝10，x4y的系数为C51＝5，故x+y2x(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为10＋5＝15．故选C．
(2)(x2＋1)1x-25的展开式的常数项是(　　)
A．5　　　B．－10　　　C．－32　　　D．－42
D　解析：1x-25的通项为C5k×1x5-k×-2k＝C5k×(－2)k×xk-52．令k-52＝0，解得k＝5；令k-52＝－2，得k＝1．
故(x2＋1)×1x-25的展开式的常数项是C51×-2+C55×(－2)5＝－42．

求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5·(1－x)2．
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项，综合考虑．
考向3　形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式
(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为(　　)
A．10　　　B．20　　　C．30　　　D．60
C　解析：(方法一)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C52(x2＋x)3y2．
其中(x2＋x)3中含x5的项为C31x4·x＝C31x5．
所以x5y2的系数为C52×C31＝30．
(方法二)(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积，
所以x5y2可从其中5个因式中，2个取因式中的x2，剩余的3个因式中1个取x，2个因式取y，因此x5y2的系数为C52C31C22＝30．

求三项展开式中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，看有多少种方法从这几个因式中取得特定项．

1．若x2+1xn的展开式中有常数项，则n不可能为(　　)
A．6　　　B．8　　　C．9　　　D．12
B　解：通项为Tk＋1＝Cnkx2(n－k)x－k＝Cnkx2n-3k，令2n－3k＝0，解得n＝3k2．
因为n，k∈N，所以n一定为3的倍数，所以n不可能是8．故选B．
2．x2(x＋y)6的展开式中，x5y3的系数为(　　)
A．12　　　B．20　　　C．15　　　D．6
B　解析：x2(x＋y)6的展开式中，x5y3的系数为C63＝20．故选B．
3．多项式x-2x(1－x)4的展开式中含x2项的系数为(　　)
A．－2　　　B．－4　　　C．2　　　D．4
D　解析：多项式x-2x(1－x)4的展开式中含x2项的系数为C41·-1-2C43·(－1)3＝－4＋8＝4．故选D．
4．若a+ax2(1＋x)6展开式中x2的系数为30，则a＝________．
1　解析：a+ax2(1＋x)6＝a+ax2(1＋6x＋15x2＋20x3＋15x4＋6x5＋x6) 的展开式中x2的系数为15a＋15a＝30，则a＝1．

考点2　二项式系数的性质——综合性

(2022·哈尔滨三模)在x+axn的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含x6的项系数为________．
45　解析：因为x+axn的展开式中，只有第六项的二项式系数Cn5最大，所以n＝10，
再令x＝1，可得所有项的系数和为(1＋a)10＝0，所以a＝－1．
故二项展开式的通项为Tk＋1＝C10k·(－1)k·x10-2k，
令10－2k＝6，求得k＝2，可得含x6的项系数为C102＝45．
在①展开式倒数三项的二项式系数之和等于46，②展开式所有项的系数的和为512，③展开式中第3项与第4项的系数之比为3∶7．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并且解答下列问题．
在二项式1x+xn的展开式中，________．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项．
解：展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cnk·1xn-k·(x)k＝Cnkx3k-2n2，k＝0，1，2，…，n．
若选①，则Cnn+Cnn-1+Cnn-2＝1＋n＋nn-12＝46，又n＞0，所以n＝9；
若选②，则2n＝512，解得n＝9；
若选③，则Cn2Cn3＝3n-2＝37，解得n＝9．
所以二项式为1x+x9，其通项为Tk＋1＝C9kx3k-182．
(1)当k＝4或k＝5时，二项式系数最大．所以二项式系数最大的项为T5＝C94·x-3＝126x-3和T6＝C95x-32＝126x-32．
(2)令3k-182＝0，得k＝6，所以常数项为T7＝C96＝84．

1．二项式系数最大项的确定方法
当n为偶数时，展开式中第n2+1项的二项式系数最大，最大值为Cnn2；当n为奇数时，展开式中第n+12项和第n+32项的二项式系数最大，最大值为Cnn-12或Cnn+12．
2．二项展开式系数最大项的求法
求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak-1，Ak≥Ak+1，解出k即可．

1．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a1＋a2＋…＋an＝255，则展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A．240x4　　　B．160x3　　　C．70x4　　　D．20x3
C　解：因为(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，
令x＝0，可得a0＝1，
所以1＋a1＋a2＋…＋an＝1＋255＝2n，所以n＝8，故展开式的通项为 Tk＋1＝C8k·xk，
故当k＝4时，展开式中二项式系数C8k最大，故展开式中二项式系数最大的项为C84·x4＝70x4．故选C．
2．在(x－2y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是(　　)
A．672x2y5　　B．－672x2y5　　C．560x3y4　　D．－560x3y4
B　解析：(x－2y)7的展开式中，
通项为 Tk＋1＝C7k·(－2)k·x7-kyk，
该项的系数绝对值为C7k·2k，要使该项的系数绝对值最大，需C7k·2k≥C7k-1·2k-1，C7k·2k≥C7k+1·2k+1，
即2C7k≥C7k-1，C7k≥2C7k+1，求得133≤k≤163．
结合k∈N，可得当k＝5时，该项的系数绝对值最大为672，
故该项为T6＝－672 x2y5．故选B．

考点3　二项式系数与各项的系数和——综合性

(1)(多选题)在3x-1xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和为128，则(　　)
A．二项式系数和为64　
B．各项系数和为64
C．常数项为－135
D．常数项为135
ABD　解析：3x-1xn的展开式中，各项系数和与二项式各项系数和为 2n＋2n＝128，所以n＝6，
故二项式系数和为26＝64，二项式系数和之和为 2n＝26＝64，故A，B正确；
展开式的通项为Tk＋1＝C6k·-1k·36-k·x6-3k2，令6－3k2＝0，求得k＝4，
故常数项为C64·32＝135，故D正确．故选ABD．
(2)若(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝(　　)
A．28－1　　　B．28　　　C．38－1　　　D．38
D　解析：由题可知，x的奇数次幂的系数均为负数，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8．
因为(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，
则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38．故选D．

1．二项展开式的二项式系数和为2n．
2．奇数项与偶数项二项式系数和相等为2n-1．
3．项的系数和问题常常使用赋值法：诸如求所有项的系数和、奇(偶)数项系数和、项的系数绝对值的和等都可用赋值法，常令x＝0，1，－1等．

考点4　求奇数项或偶数项系数和——综合性

(2022·开封三模)(a－x)(1＋x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则实数a＝(　　)
A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1
B　解析：因为(a－x)(1＋x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，
设f (x)＝(a－x)(x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a6x7，
令x＝1，则f (1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a－1)(1＋1)6＝64(a－1)，①
令x＝－1，则f (－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝(a－1)(－1＋1)6＝0．②
①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝64(a－1)，所以a1＋a3＋a5＋a7＝32(a－1)＝64，
解得a＝3．故选B．

(1)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)的展开式中，
①各项系数之和为f (1)．
②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1+f-12；
③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1-f-12．

1．(多选题)已知x+axn(a＞0)展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是(　　)
A．偶数项的二项式系数和为256
B．不存在常数项
C．系数最大项为第5项
D．含x7项的系数为45
BD　解析：因为第4项与第8项的二项式系数相等，所以展开式共11项，n＝10．
令x＝1，得(1＋a)10＝1 024，又a＞0，所以a＝1．
对于A选项，偶数项的二项式系数和为29＝512，故A说法错误．
通项为Tk＋1＝C10kx10-k·1xk＝C10kx10-3k2，
不存在整数k使得10－3k2成立，所以B说法正确．
当k＝5时，C10k最大，所以系数最大项为第6项，所以C说法错误．
令10－3k2＝7，解得k＝2，所以系数为C102＝45，所以D说法正确．
故选BD．
2．已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝______；a2＋a3＋a4＝________．
5　10　解析：因为(x－1)3＝x3－3x2＋3x－1，
(x＋1)4＝x4＋4x3＋6x2＋4x＋1，
a1即为展开式中x3的系数，所以a1＝1＋4＝5，
令x＝1，则有1＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1－1)3＋(1＋1)4＝16，所以a2＋a3＋a4＝16－5－1＝10．


(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是(　　)
A．－4　　　B．－3　　　C．3　　　D．4
[四字程序]
读
想
算
思
展开式中x的系数
1．二项展开式的项与系数．
2．展开式的通项
两个乘积式各自用展开式的通项计算系数
转化
1-x6·
1+x4
第k＋1项
Tk＋1＝Cnkan－kbk
Tk＋1＝Cnkan－kbk
1．通项公式法．
2．组合数生成法


思路参考：直接利用两个二项展开式的通项乘积获得x的系数．
B　解析：(1－x)6的展开式的通项为C6m·-xm＝C6m·-1mxm2，(1＋x)4的展开式的通项为C4n·(x)n＝C4nxn2，其中m＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4．令m2＋n2＝1，得m＋n＝2，于是(1－x)6·(1＋x)4的展开式中x的系数等于C60·-10·C42+C61·-11·C41+C62·-12·C40＝－3．

思路参考：将两个二项式化成一个二项展开式与一个多项式乘积的形式，再利用二项展开式的通项．
B　解析：(1－x)6(1＋x)4＝[(1－x)·(1＋x)]4(1－x)2＝(1－x)4(1－2x＋x)．于是(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数为C40·1+C41-11×1＝－3．

思路参考：利用组合的知识求解x的系数．
B　解析：在(1－x)6(1＋x)4的展开式中要出现x，可以分为以下三种情况：
①(1－x)6中选2个(－x)，(1＋x)4中选0个x作积，这样得到的x的系数为C62·C40＝15；
②(1－x)6中选1个(－x)，(1＋x)4中选1个x作积，这样得到的x的系数为C61-11·C41＝－24；
③(1－x)6中选0个(－x)，(1＋x)4中选2个x作积，这样得到的x的系数为C60·C42＝6．
所以x的系数为15－24＋6＝－3．故选B．

二项式定理是热点内容，主要以通项为主，考查系数问题，解法灵活多变，借助二项展开式的通项，在每个二项展开式中求出各自的通项，最后利用展开式中系数的生成法求出结果．解答本题需要一定的运算能力和推理能力．本题的解答体现了逻辑推理及数学运算的素养．

若(2－ax)5(x＋1)2展开式中x2的系数为272，则实数a＝________．
3或－1　解析：因为(2－ax)5(x＋1)2＝(x2＋2x＋1)(2－ax)5，所以它的展开式中x2的系数为C50·25+2·C51·24·-a+C52·23·(－a)2＝272，则实数a＝3或a＝－1．
课时质量评价(五十七)
A组　全考点巩固练
1．二项式x2+12x9的展开式中的常数项为(　　)
A．2132　　　B．2116　　　C．6316　　　D．218
B　解析：二项式x2+12x9的展开式的通项为Tk＋1＝C9kx2(9-k)×12kx－k＝C9k12kx18-3k，令18－3k＝0，可得k＝6，所以常数项为C96126x0＝2116．故选B．
2．2x-xn展开式中的各二项式系数之和为1 024，则x4的系数是 (　　)
A．－210　　　 B．－960
C．960　　　 D．210
B　解析：由已知得2n＝1 024，所以n＝10，
所以展开式的通项为Tk＋1＝C10k2x10-k(－x)k＝C10k-1k210-kx2k-10，
令2k－10＝4，k＝7，所以x4的系数是C107(－1)7210-7＝－960．
3．若(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则a1＋a2＋…＋a2 023＝(　　)
A．－1　　　B．－2　　　C．1　　　D．2
B　解析：令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1，所以a1＋a2＋…＋a2 023＝－2．故选B．
4．已知(2x2＋1)ax2-15的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是(　　)
A．－10　　　B．－7 C．9　　　D．10
C　解析：(2x2＋1)ax2-15的展开式中各项系数之和为0．
令x＝1得3(a－1)5＝0，解得a＝1．
(2x2＋1)ax2-15＝(2x2＋1)1x2-15．
则1x2-15展开式的通项为Tk＋1＝C5k1x25-k(－1)k＝-1kC5k x2k-10，
则(2x2＋1)ax2-15＝(2x2＋1)1x2-15展开式的常数项满足2k－10＝－2或2k－10＝0．
解得k＝4或k＝5，
则该展开式的常数项是2×-14C54+-15C55＝9．故选C．
5．(多选题)关于多项式1+2x-x6的展开式，则下列结论正确的是(　　)
A．各项系数之和为1
B．各项系数的绝对值之和为212
C．存在常数项
D．x3的系数为40
BCD　解析：令x＝1可得，各项系数之和为26，故A错误．
多项式1+2x-x6的展开式的各项系数的绝对值之和与多项式的1+2x +x6展开式各项系数之和相等，故令x＝1，得各项系数的绝对值之和为212，故B正确．
由1+2x -x6＝1+2x -x6，易知该多项式的展开式中一定存在常数项，故C正确．
由题中的多项式可知，若出现x3，可能的组合只有2x0·(－x)3和2x1·(－x)4，结合排列组合的性质可得x3的系数为C63×13×C33×20×-13+C65×11×C54×21×(－1)4＝40，故D正确．
故选BCD．
6．(多选题)已知2x+1xn的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是(　　)
A．二项展开式中无常数项
B．二项展开式中第3项为240x3
C．二项展开式中各项系数之和为36
D．二项展开式中二项式系数最大的项为160x2
BC　解析：因为2x+1xn的二项展开式中二项式系数之和为64，
所以2n＝64，得n＝6，
所以二项式的通项为Tk＋1＝C6k(2x)6-k1xk＝26-k·C6k·x6-32k．
对于A，令6－32k＝0，得k＝4，所以二项式展开式的第5项为常数项，所以A错误．
对于B，令k＝2，则T3＝24·C62·x3＝240x3，所以B正确．
对于C,令x＝1，则二项展开式中各项系数之和为(2＋1)6＝36，所以C正确．
对于D，因为二项式展开式中共有7项，所以第4项的二项式的系数最大为T4＝23·C63·x6-32 ×3=160x32，所以D错误．
7．(2022·浙江卷)已知多项式(x＋2)·(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝______，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．
8　－2　解析：含x2的项为x·C43·x·-13+2·C42·x2·(－1)2＝－4x2＋12x2＝8x2，故a2＝8；令x＝0，即2＝a0，令x＝1，即0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2．
8．已知mx2-4+x25的展开式中所有项的系数和为1，则x4的系数为________．
－960　解析：令x＝1，则(m－3)5＝1，解得m＝4，所以mx2-4+x25＝4x2-4+x25，
4x2-4+x25展开式的通项为C5k4x2-45-k(x2)k．
因为4x2-45-k展开式的通项为C5-kr4x25-r－k·(－4)r，
所以当r＝1，k＝3时，展开式中的项为－320x4；当r＝3，k＝2时，展开式中的项为－640x4；
所以x4的系数为－320－640＝－960．故答案为－960．
9．已知二项式2xx-13xn的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为________．
65　解析：因为展开式的二项式系数和为64，
所以2n＝64，所以n＝6．
所以Tk＋1＝C6k(2xx)6-k-13xk＝-1kC6k·26-kx9-116k，
当k＝0时，T1＝-10C6026x9＝64x9；
当k＝6时，T7＝-16C6620x-2＝x-2．
所以展开式中的有理项系数和为64＋1＝65．
10．已知二项式2x2+1xn(n∈N*)展开式中，前三项的二项式系数和是56．
(1)求n的值；
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)因为前三项的二项式系数和是56，
所以Cn0+Cn1+Cn2＝56，即1＋n＋nn-12＝56，
整理可得n2＋n－110＝0，解得n＝10或n＝－11(舍去)．
(2)2x2+1x10展开式的通项为Tk＋1＝C10k210-k·x2(10-k)x－12k＝C10k210-kx20-52k，
令20－52k＝0可得k＝8，
所以展开式中常数项为C108210-8＝45×4＝180．
11．已知x+12n的展开式中前3项的系数成等差数列，设x+12n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn．
(1)求a0的值；
(2)求系数最大的项．
解：(1)x+12n展开式的通项为Tk＋1＝Cnkxn－k12k．
因为展开式中前3项的系数成等差数列，
所以2Cn1·12＝Cn0+Cn2122，得n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)，
所以x+12n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn即为x+128＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝0，则a0＝128＝1256．
(2)x+128展开式的通项为Tk＋1＝C8kx8-k12k，
设第k＋1项的系数最大，则
C8k12k≥C8k-112k-1，C8k12k≥C8k+112k+1，解得2≤k≤3．
因为k∈N，所以k＝2或k＝3，所以第3项或第4项的系数最大，
所以系数最大的项为7x5或7x6．
B组　新高考培优练
12．设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．若a＝C200＋C201·2＋C202·22＋…＋C2020·220，a≡b(mod 10)，则b的值可以是(　　)
A．2 018　　　 B．2 019
C．2 020　　　 D．2 021
D　解析：a＝C200+C201·2+C202·22+…+C2020·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余数为1，又a≡b(mod 10)，所以b的值可以是2 021．
13．(多选题)若(x＋3)8＝a0+a1x+1+a2x+12＋…＋a8(x＋1)8，x∈R，则下列结论中正确的有(　　)
A．a0＝28
B．a3＝8C103
C．a1＋a2＋…＋a8＝38
D．(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝38
AD　解析：(x＋3)8＝[2＋(x＋1)]8＝28+27C81x+1+26C82x+12+25C83(x＋1)3＋…＋(x＋1)8．
对于A，令x＝－1，则(－1＋3)8＝28＝a0，故A正确．
对于B，a3＝25C83＝1 792，而8C103＝960，故B错误．
对于C，令x＝0，则38＝a0＋a1＋a2＋…＋a8，于是a1＋a2＋…＋a8＝38－a0＝38－28，故C错误．
对于D，令x＝－2，则1＝a0－a1＋a2－…＋a8．因为a0＋a1＋a2＋…＋a8＝38，所以(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a8)(a0－a1＋a2－…＋a8)＝38，故D正确．故选AD．
14．(x3－2)x+1x6的展开式中，x6的系数为________．
13　解析：对于式子x3x+1x6，取x+1x6的二项展开式中的含x3的项，
此项为C62x41x2＝15x3，对于式子2x+1x6取x+1x6的二项展开式中含x6的项，此项为C60x61x0＝x6，所以含x6的项为x3·15x3－2x6＝13x6，所以x6的系数为13．
15．在x-2x2n的展开式中，所有项的二项式系数和为64，则常数项为________．
60　解析：因为所有项的二项式系数和为64，
所以2n＝64，n＝6，Tk＋1＝C6k·xk·-2x26-k＝C6k·(－2)6-k·x3k-12，
令3k－12＝0，则k＝4，常数项为T5＝C64×(－2)2＝60．
16．已知(ax＋1)(1－2x)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6的展开式中，若a0＝2，则a＝________，a5＝________．
－3　304　解析：令x＝1得(a＋1)(1－2)5＝a0＝2，解得a＝－3，
所以(－3x＋1)(1－2x)5＝2+a1x-1+a2x-12＋…＋a6(x－1)6，
a6是(－3x＋1)(1－2x)5的展开式中x6的系数，即a6＝-3×C55(－2)5＝96．
(－3x＋1)(1－2x)5的展开式中，x5的系数为-3×C54-24+1×C55(－2)5＝－240－32＝－272，
所以a5+a6·C61·(－1)＝－272，a5＝－272＋96×6＝304．
17．已知f (x)＝(2x＋1)n展开式的二项式系数和为128，且(1＋2x)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋an(x＋1)n．
(1)求a2的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋an的值．
解：(1)由f (x)＝(1＋2x)n展开式的二项式系数和为128，
可得2n＝128＝27，即n＝7．
由(1＋2x)7＝[2(x＋1)－1]7＝C702x+17+C712x+16-11+…+C762x+1-16+C77-17，
得a2＝C75(－1)522＝－84．
(2)令x＋1＝0，得a0＝－1，
令x＋1＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1，
所以a1＋a2＋…＋a7＝2．
18．在二项式6x+13xn的展开式中，二项式系数最大的项是第4项．
(1)求n的值；
(2)求展开式的所有有理项系数的和．
解：(1)因为二项式6x+13xn的展开式中第4项的二项式系数最大，
所以n2＋1＝4．所以n＝6．
(2)二项式6x+13x6的展开式的通项为
Tk＋1＝C6k6x6-k13xk＝C6kx6-k6-k3＝C6kx6-3k6(k＝0，1，2，3，4，5，6)．
当k＝0，2，4，6时，x的次数为整数，从而该项为有理项．
于是展开式的有理项共有四项，分别为第1项，第3项，第5项，第7项．
所以展开式的所有有理项系数之和为C60+C62+C64+C66＝26-1＝32(或C60+C62+C64+C66＝1＋15＋15＋1＝32)．