初中13.4课题学习 最短路径问题精品同步测试题

这是一份初中13.4课题学习 最短路径问题精品同步测试题，文件包含人教版八年级数学上册同步精品讲义133等腰三角形+专题134最短路径问题教师版doc、人教版八年级数学上册同步精品讲义133等腰三角形+专题134最短路径问题原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共83页， 欢迎下载使用。

专题13.3 等腰三角形+专题13.4 最短路径问题

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1.掌握等腰三角形的性质，并能用它证明两个角相等，两条线段相等及两条直线垂直等；
2.掌握等腰（等边）三角形的判定定理；
3.熟练运用等腰（等边）三角形的性质定理与判定定理进行推理与计算；
4.熟练轴对称和两点之间，线段最短解决最短路径问题（将军饮马模型）。
知识精讲

知识点01 等腰三角形的性质
【知识点】
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.
特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
【知识拓展1】等腰三角形的性质（角度、长度问题）
例1.（2022江西吉安期末）已知等腰三角形的其中二边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长为（          ）
A．12或15 B．12 C．13 D．15
【答案】D
【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【详解】解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；
②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
例2.（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．

【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD=（180°﹣80°）＝50°，根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等边三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根据△BDC的内角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到结论．
【解答过程】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD=（180°﹣80°）＝50°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵CE＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；
（2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°，
理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，
∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α，∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，
在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，
∴β＝70°﹣∠ABE，∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，∴∠BEC+∠BDC＝110°．
【即学即练】
1．（2022江苏苏州市月考）等腰三角形的一个角是80°，则它底角的度数是（       ）
A．80°或20° B．80° C．80°或50° D．20°
【答案】C
【分析】据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．
【详解】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，
②设该等腰三角形的底角是x，则2x+80°=180°，
解可得，x=50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；
综上，该等腰三角形的底角的度数是50°或80°．故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和定理，列出方程求解是正确解答本题的关键．
2．（2022•东营期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若△BCD的周长为16cm，△ABC的周长为26cm，求BC的长．

【解题思路】（1）首先计算出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，进而可得∠ABD＝∠A＝40°，然后可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，AE＝BE，然后再计算出AC+BC的长，再利用△ABC的周长为26cm可得AB长，进而可得答案．
【解答过程】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，∠A＝40°，∴∠ABC==70°，
∵DE是边AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°；
（2）∵△BCD的周长为16cm，∴BC+CD+BD＝16，∴BC+CD+AD＝16，∴BC+CA＝16，
∵△ABC的周长为26cm，∴AB＝26﹣BC﹣CA＝26﹣16＝10，
∴AC＝AB＝10，∴BC＝26﹣AB﹣AC＝26﹣10﹣10＝6cm．
【知识拓展2】等腰三角形的性质（三线合一问题）
例2.（2022•红花岗区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．

【解题思路】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
【解答过程】解：∵AB＝AC，∠C＝40°∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=∠ABC，
∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．
【即学即练】
1.（2022.绵阳市八年级期中）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE。（1）求证：ED平分∠AEB；（2）若AB＝AC，∠A＝38°，求∠F的度数．

【解题思路】（1）利用等腰三角形的三线合一即可解决问题．
（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABE，证明∠BDF＝90°．
【解答过程】（1）证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB，
∵AD＝DB，∴DE是∠AEB的平分线．
（2）解：∵∠A＝38°，∴∠ABE＝∠A＝38°，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝71°，
∵EA＝EB，AD＝DB，∴ED⊥AB，∠F＝90°﹣∠ABC＝19°．

【知识拓展3】等腰三角形的性质（多结论问题）
例3．（2022•商河县八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD＝∠CDE；根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC；根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD＝60°，根据全等三角形的性质得到BD＝CE．
【解答过程】解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝30°，故③错误，
④∵∠BAD＝30°，∴∠CDE＝30°，∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠DAC＝∠ADC，∴CD＝AC，
∵AB＝AC，∴CD＝AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；故④正确；故选：C．

【即学即练】
1.（2022•宿州期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上一点与AC上一点到D的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC．其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AD上的点到AB、AC两边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，AD⊥BC，然后对各小题分析判断解答即可．
【解答过程】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AB上一点与AC上一点到D的距离相等错误；
AD上任意一点到AB、AC的距离相等正确，故①错误，②正确；
又∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠CDF＝90°﹣∠C，∴BDE＝∠CDF，故③正确；
根据等腰三角形三线合一的性质，BD＝CD，AD⊥BC，故④正确，
综上所述，正确的结论有②③④共3个．故选：C．

知识点02 等腰三角形的判定
【知识点】
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
注意：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【知识拓展1】等腰三角形的判定（个数问题、操作问题）
例1．（2022江苏南京八年级月考）如图，四边形ABCD是正方形，M、N分别为边AB、AD的中点，点P在正方形的边上（包括顶点），且△MNP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：如图，∵△MNP是等腰三角形，∴符合条件的点P的个数有4个，故选：D．

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，找出符合条件的点P的个数是解题的关键．
例2．（2022·上虞初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．

【答案】7
【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．

①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，
③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，

⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；

⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【即学即练1】
1．（山东省菏泽市郓城县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知，是两格点，如果点也是格点，且使得是以为腰的等腰三角形，那么点的个数有（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】据网格结构，分别以A、B为圆心，AB为半径作圆与网格线的交点即为点C，即得到点C的个数．
【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解,数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．

【知识拓展2】等腰三角形的判定（证明问题）
例2．（陕西咸阳2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，E为的外角平分线上的一点，AE//BC，．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求CE的长．

【答案】(1)证明见解析(2)4
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）先根据三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质即可得．
（1）证明：∵AE//BC，，，
为的外角平分线上的一点，，
，，是等腰三角形．
（2）解：由（1）已得：，，
在和中，，，，，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
【即学即练2】
2．（2022•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．（1）证明：BA＝BC；（2）求证：△AFC为等腰三角形．

【解题思路】（1）利用AAS证明△ABD≌△CBE可证得答案；
（2）由（1）易得∠BAC＝∠BCA，进而可求解∠FAC＝∠FCA，即可证明结论．
【解答过程】证明：（1）在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS），∴BA＝BC；
（2）∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAD＝∠BCE，∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，∴△AFC为等腰三角形．

知识点03 等边三角形的性质
【知识点】
等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.　　
注意：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
【知识拓展1】等边三角形的性质（角度、长度问题）
例1．（湖北省孝感市孝南区2021-2022学年八年级上学期作业检测数学试题）如图，已知等边三角形ABC的边长为4，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为______．

【答案】2
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFM≌△QCM，推出FM=CM，推出ME=AC即可．
【详解】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFM=∠QCM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ，
在△PFM和△QCM中，，∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM=CM，
∵AE=EF，∴EF+FM=AE+CM，∴AE+CM=ME=AC，∵AC=4，∴ME=2，故答案为：2．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
【即学即练1】
1.（福建省宁德市古田县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，等边中，，垂足为，点在线段上，，则等于（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，故选：A．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
2．（陕西省安康市紫阳县2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（       ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．
【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，
∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三线合一)∴DC=cm，
∵∠E = 30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故选：B．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．

【知识拓展2】等边三角形的性质（动态问题）
例2．（2022•渭滨区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．

【解题思路】（1）首先根据M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；
（2）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解答过程】解：（1）由题意，t×1+12＝2t，解得：t＝12，
∴当t＝12时，M，N两点重合，此时两点在点C处重合；
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，

如图，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，
∵△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，
∵CM＝NB，∴y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM＝AN．
【即学即练2】
2．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A，B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为：t（s），当t＝2时，判断△BQP的形状，并说明理由．

【解题思路】当t＝2时，可分别计算出BP、BQ的长，再根据∠B＝60°对△BPQ的形状进行判断即可．
【解答过程】解：△BPQ是等边三角形，当t＝2时，AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4，
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4，∴BQ＝BP，又∵∠B＝60°，∴△BPQ是等边三角形．

【知识拓展3】等边三角形的性质（规律问题）
例3．（2022·四川）如图，已知，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为__________．

【答案】22019
【分析】根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出，得出，，…进而得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∵、是等边三角形，
同理可得：∴，∴，，
，…，则的边长为．故答案为：22019．
【点睛】本题主要考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
【即学即练3】
3．（2022.重庆八年级期中）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3＝D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4＝D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An∁nCn+1的周长和为　　．（n≥2，且n为整数）

【分析】根据等边三角形的性质分别求出△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An∁nCn+1的周长即可解决问题．
【解答】解：∵等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，
∴A1D1＝D1C2，∴△A2C2C3的周长△A1C1C2的周长，
∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An∁nCn+1的周长分别为1，，，…，，
∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An∁nCn+1的周长和为．故答案为．

知识点04 等边三角形的判定
【知识点】
等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　
注意：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
【知识拓展1】等边三角形的判定（选填题）
例1．（2022•渑池八年级期中）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【解题思路】根据等边三角形的判定判断．
【解答过程】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确．所以都正确．故选：D．
【即学即练1】
1.（2022•福山区八年级期末）在下列结论中：
（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形；其中正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解题思路】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．
【解答过程】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．
（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．
（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．

【知识拓展2】等边三角形的判定（证明题）
例2．（2022•松桃县期末）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的长．

【解题思路】（1）根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得BM+PB＝AB＝12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．
【解答过程】解：（1）∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等边三角形；
（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝AB＝12cm，
∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴2PB＝BM，∴2PB+PB＝12cm∴PB＝4cm，∴MC＝4cm．
【即学即练2】
2．（2022•邵阳县期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．

【解题思路】（1）证明∠ABC＝∠ACB＝60°；证明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解决问题．（2）证明BD＝OD；同理可证CE＝OE；即可解决问题．
【解答过程】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；∴△ODE的周长＝BC＝10．


能力拓展

考法01 等腰（等边）三角形的分类讨论问题
【典例1】（2022·江西宜春·八年级期末）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，于点D，若，则底角的度数为______．
【答案】或或
【分析】分两种情况：①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
【详解】①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，，∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，底角∠B=75°；

如图2，延长BC，过A作AD⊥BC于D，AD在△ABC外部时，底角∠B==15°；
②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，，∴AD=BD=CD，
∴△ABC是等腰直角三角形，∴底角∠B=45°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为或或．故答案为：或或．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
变式1．（2022·江苏兴化·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为________．
【答案】45°或135°
【分析】分四种情况：若点D、E在线段BC上时；若点D在线段BC上，点E在BC的延长线上时；若点D在CB的延长线上点E在BC的延长线上时；若点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时讨论，即可求解．
【详解】解：如图，若点D、E在线段BC上时，

∵AB=DB，AC=EC，∴∠BAD=∠ADB，∠CAE=∠AEC，
∴∠BAE+∠DAE=∠CAD+∠C，∠CAD+∠DAE=∠BAE+∠B，
∴∠BAE+∠CAD+2∠DAE=∠CAD+∠BAE+∠B+∠C，∴2∠DAE=∠B+∠C，
∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠DAE=45°；
如图，若点D在线段BC上，点E在BC的延长线上时，
∵AC=EC，∴可设∠E=∠CAE =x，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2x，∵∠BAC=90°，∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x，
∵AB=DB，∴ ，∵∠ADB=∠DAE+∠E，∴∠DAE=45°；
如图，若点D在CB的延长线上，点E在BC的延长线上时，
∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠CAE，
∵AB=DB，∴∠D=∠BAD，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD，
∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∴2∠CAE+2∠BAD=90°，∴∠CAE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CAE+∠BAD+∠BAC=135°；如图，若点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时，
∵AB=DB，∴可设∠D=∠BAD=y，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2y，∴∠ABC=2y，
∵∠BAC=90°，∴∠C=90°-2y，∵AC=EC，∴∠AEC=∠CAE= ，
∵∠AEC=∠D+∠DAE，∴∠DAE=45°综上所述，∠DAE的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，利用分类讨论思想解答是解题的关键．

考法02 等腰（等边）三角形的性质与判定综合问题
【典例2】（广东省深圳外国语学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（       ）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤

A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴，
∴，即，
∴，∴AD=BE，∴①正确，
∵，∴，
又∵，∴，即，
又∵，∴，∴，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴ ，∴PQ∥AE②正确，
∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，③正确，
∵AD=BE，AP=BQ，∴ ，即DP=QE，
∵ ，
∴∠DQE≠∠CDE，∴DE≠DP，故④错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，∴⑤正确．故选：C．
【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大．
变式1．（2022·四川八年级期末）如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．（1）求证：；（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF=OG+OA，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性质可得OC=2OD，进而可证明结论；（2）理由ASA证明△CGB≌△CGF即可证明结论；
（3）连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，可证得△OMG是等边三角形，进而可利用ASA证明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可说明猜想的正确性．
【详解】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，∴OA=OC，
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，∴OC=2OD，∴OA=2OD；
（2）证明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∴BG=CG，∴∠GCB=∠GBC，
∵CG平分∠BCE，∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，∴∠BGC=150°，
∵∠BGF=60°，∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，∴∠BGC=∠FGC，
在△CGB和△CGF中，，∴△CGB≌△CGF（ASA），∴GB=GF；
（3）解：OF=OG+OA．理由如下：连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，
∵CA=CB，CE⊥AB，∴AE=BE，∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，
∵OM=OG，∴△OMG是等边三角形，∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，
∵∠BGF=60°，∴∠BGF=∠MGO，∴∠MGF=∠OGB，∵∠GMF=120°，∴∠GMF=∠GOB，

在△GMF和△GOB中，，∴△GMF≌△GOB（ASA），
∴MF=OB，∴MF=OA，∵OF=OM+MF，∴OF=OG+OA．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30° 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．

考法03 最短路径问题（将军饮马模型）
【解题技巧】
将军
饮马
模型
图形



原理
两点之间线段最短
两点之间线段最短
三角形三边关系
特征
A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值
A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值
A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值
转化
作其中一个定点关于定直线l的对称点
先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点
作其中一个定点关于定直线l的对称点

【典例3】（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．

【答案】6
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，
∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，
∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值为6，故答案为6．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
变式1．（2022·广东新丰·八年级期末）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是______．

【答案】8
【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM，
∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，
∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，，∴，
∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8．

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．
变式2．（2022·上虞市初二月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ）

A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，

分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B．
【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．

分层提分

题组A 基础过关练
1．（内蒙古自治区赤峰市松山区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；③等腰三角形一定是锐角三角形；④等腰三角形两个底角相等；⑤等腰三角形是轴对称图形．其中真命题的个数是（       ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可判断①；根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可判断②；根据等腰三角形的分类，即可判断③；根据等腰三角形的性质，即可判断④；根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对称，两边的图形能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，即可判断⑤等腰三角形一定是轴对称图形．
【详解】解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高线三线重合，故该项错误；
②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故该项正确；
③等腰三角形不一定是锐角三角形，故该项错误；④等腰三角形两个底角相等，故该项正确；
⑤等腰三角形是轴对称图形，故该项正确．综上可得：②、④、⑤正确故选：B
【点睛】本题考查了真假命题的判断、角平分线的性质、轴对称图形的定义、等腰三角形的性质与分类，熟练掌握相关定义与性质是解本题的关键．
2．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据作图过程可得BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
根据作图过程可知：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC，故选项A成立；∵∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD，故选项B成立；
没有条件能证明CD=AD，故选项D不成立；故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
3．（陕西省榆林市高新区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）习题课上， 张老师和同学们一起探究一个问题∶ “如图， 在 中， 分别 是 上的点， 与 相交于点 ， 添加下列哪个条件能判定 是等腰三角形？"请你判断正确的条件应为（          ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】添加，，∠BEO=∠BOE，不能判断三角形全等，故A，B，D选项不正确，
若添加条件：∠BEO=∠CDO
∵在△EBO和△DCO中，，∴△EBO≌△DCO（AAS），∴∠EBO=∠DCO，
∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；故选C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，掌握以上知识是解题的关键，
4．（山东省菏泽市牡丹区2021-2022学年八年级下学期3月月考数学试题）等腰三角形一边上的高等于这条边的一半，那么顶角是（       ）
A．45° B．30°或90°
C．90°或150° D．30°或90°或150°
【答案】D
【分析】分三种情形①BD是腰上的高．②AD是底边上的高，③△ABC是钝角三角形．分别求解即可．
【详解】解：①如图中，

∵AB=AC，BD⊥AC，BD=AC=AB，∴∠A=30°；
②如图中，

∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵AD=BC，∴AD=DB=DC，
∴∠DAB=∠DAC=45°，∴∠BAC=90°；
③如图，

AB=AC，BD⊥AC，BD=AB，则∠BAD=30°，∠BAC=150°，
∴等腰三角形的顶角为30°或90°或150°．故选：D．
【点睛】本题考查了含30度的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
5．（2022·重庆南开中学八年级期末）如图，是某生产线的横截面示意图，MN表示长度为20米的笔直传送带，在MN的中点正上方3米处，有一个专用消毒喷头，（喷头大小、长度均忽略不计），喷头位置用点p表示，此时MN上有一个边长为2米的正方形盒子ABCD，则在盒子随传送带从点M移动到点N的过程中，以C、D、P三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（ ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质分情况讨论即可．
【详解】解：∵四边形为正方形∴，
∵，在中点，∴，
∴①当正方形在上，时，为等腰三角形；
②当正方形在 上，时，为等腰三角形；
③当过正方形边中点上时，，为等腰三角形；
④当正方形在上，时，为等腰三角形；
⑤当正方形在上，时，为等腰三角形；
综上所述，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有5个．故选：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正确理解题意、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6．（河北省秦皇岛市第七中学2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，在中，点D为边上一点，给出如下关系：①平分；②于D；③D为中点．甲说：如果①②同时成立，可证明；乙说：如果②③同时成立，可证明；丙说：如果①③同时成立，可证明．则正确的说法是（       ）

A．甲、乙正确，丙错误 B．甲正确，乙、丙错误 C．乙正确，甲、丙错误 D．甲、乙、丙都正确
【答案】D
【分析】通过①②可证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得判断甲的说法；通过②③可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可得判断乙的说法；延长至点，使，连接，先证出，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可判断丙的说法．
【详解】解：当①②同时成立时，
平分，，
，，
在和中，，
，，即甲的说法正确；
当②③同时成立时，则垂直平分，，即乙的说法正确；
当①③同时成立时，如图，延长至点，使，连接，

为中点，，在和中，，
，，
平分，，，
，，即丙的说法正确；
综上，甲、乙、丙都正确，故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，较难的是证明丙的说法，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
7．（2022年湖南省岳阳市中考数学真题）如图，在中，，于点，若，则______．

【答案】3
【分析】根据等腰三角形的性质可知是的中点，即可求出的长．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
8．（2021·江苏九年级二模）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．

【答案】
【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可．
【详解】解：设BE与AC、AD交于M、N，
ABCDE是正五边形，内角和为，每一个内角为，
∴∠ABC＝∠BAE＝∠AED＝∠BCD＝∠CDE＝108°，
∵AB＝BC＝AE＝ED，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∠EAD＝∠ADE＝36°，
∴∠CAD＝36°，∠ACD＝∠ADC＝72°，∴AC＝AD，∴△ACD是黄金三角形，
同理可求：∠BAN＝∠ANB＝∠AME＝∠EAM＝72°，∠CBM＝∠BMC＝∠DNE＝∠DEN＝72°，
∴△AMN、△DEN、△EAM、△CMB，△ABN也是黄金三角形．
则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．

【点睛】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义．注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形．
9．（2022年江苏省苏州市中考数学真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
10．（福建省三明市将乐县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，等边中，为的中点，过点作于点，过点作于点，若，则线段的长为____．

【答案】7.5
【分析】根据等边三角形的性质得出，再根据直角三角形的性质求出，由题意求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：是等边三角形，，，
，，，
，，，，
在中，，
，，故答案为：7.5．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
11．（陕西省安康市紫阳县2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，在中，，D为BC边上一点，，，求的度数．

【答案】∠DAC＝74°
【分析】根据等边对等角可得∠C＝∠B＝32°，然后根据三角形的内角和定理，即可求出∠BAC，从而求出∠DAC的度数．
【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝32°，∴∠C＝∠B＝32°，
∴∠BAC＝180°﹣32°﹣32°＝116°，
∵∠DAB＝42°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝116°﹣42°＝74°．
【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握等边对等角和三角形的内角和等于180°是解决此题的关键．
12．（2022·云南昆明·初三学业考试）如图，点D在BC上，AC、DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）求证：∠C＝∠E；（2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度数．

【答案】（1）见解析；（2）20°
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△ADE，则∠C＝∠E，此题得证；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到∠ADE＝∠B，由等腰△ABD的性质和三角形内角和定理求得∠ADB＝80°；最后根据邻补角的定义解答．
【解析】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE．
在△ABC与△ADE中，,∴△ABC≌△ADE（SAS）．∴∠C＝∠E；
（2）由（1）知，△ABC≌△ADE，则∠ADE＝∠B．
∵∠BAD＝20°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝80°．∴∠ADE＝80°．
∴∠CDF＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝20°．

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是根据题目条件结合性质定理进行证明求解．
13．（江苏省南京市建邺区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，在△ABC中，，，点D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB．求证：为等边三角形．

【答案】证明见解析．
【分析】根据等腰三角形性质求出，再根据，，和三角形的内角和定理，证明，得到，即可证明为等边三角形．
【详解】证明：∵，，∴，
∵，，∴，即，
∴，∴为等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．


题组B 能力提升练
1．（2022·河南渑池·初二期末）下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据等边三角形的判定判断．
【解析】两个角为 60°，则第三个角也是 60 °，则其是等边三角形，故正确；
② 这是等边三角形的判定 2 ，故正确； ③ 三角形内角和为180°，三个角都相等，即三个角的度数都为60°，则其是等边三角形，故正确；④ 这是等边三角形定义，故正确．
【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的判定，解题关键是熟记等边三角形性质和定义进行解答.
2．（2022·广西八年级期末）如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（ ）

A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可．
【详解】解：过作交于，，是等边三角形，
，，，，
是等边三角形，，，，
，，，
在和中，，，
，，，
，，故选：C．

【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
3．（2022·四川汶川·初二期末）如图，已知和都是等边三角形，且 、、三点共线．与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的有（ ）个

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质对各结论逐项分析即可判定．
【解析】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形。∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，则①正确；
②∵∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCD=60°∴△DCE是等边三角形
∴∠EDC=60°=∠BCD ∴BC//DE ∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+ ∠DEO=∠DEC=60°，②正确；
③∵∠DCP=60°=∠ECQ 在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠DCP=∠ECQ
∴△CDP≌△CEQ（ASA）∴CР=CQ∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴△PC2是等边三角形，③正确；
④∠CPQ=∠CQP=60°∴∠QPC=∠BCA∴PQ//AE，④正确；
⑤同④得△ACP≌△BCQ（ASA）∴AP=BQ，⑤正确．故答案为A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
4．（河北省秦皇岛市第七中学2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（       ）

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得．
【详解】解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点．

则符合条件的点共有5个，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题关键．
5．（陕西省西安市西安交通大学附属中学2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________．
【答案】100°，70°，40°或者10°
【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．
【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，

∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，
（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；
（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；
（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；
第二种请况：BC=CD时，如图，

∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，
∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；
第三种情况：BC=BD时，如图，

∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，
∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；
综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．
6．（2022·全国·八年级期中）如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是______．

【答案】
【分析】由题意可以把Q反射到AB的Q点，如此PC+PQ的最小值问题即变为C与线段AB上某一点O的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解．
【详解】解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，

CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，

∵当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，
∴PC+PQ的最小值即为CM的长度，
∵，
∴CM=，即PC+PQ的最小值为 ，故答案为．
【点睛】本题考查线段和最小的问题，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．
7．（江西省景德镇市乐平市2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，在中，，于点D，于点E．AD交B于点F，点G为BC边的中点，作交直线FG于点H．

(1)如图1，当，时，______，______．(2)如图2，当时，试探索AF与BH的数量关系，并证明．(3)如图3，当时，（2）中AF与BH的数量关系______成立（填“仍然”或“不再”）．请说明理由．
【答案】(1)3；3(2)BH＝CF，见解析(3)仍然，见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AF＝CF＝BF＝3，再说明BF＝BH，可得答案；
（2）连接CF，首先利用ASA证明△ADC≌△BDF，得DF＝DC，则∠DCF＝45°，再证明△CGF≌△BGH，得BH＝CF，从而证明结论；
（3）连接CF，先证明CFBH，得到∠H＝∠CFG，再证明△CGF≌△BGH（AAS），从而解决问题．
（1）解：如图1，∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∠CBE＝30°，∴AF＝CF＝3，
∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，∴∠HBC＝∠ABH－∠ABC＝30°，
∵AD⊥BC，∴∠BDH＝∠BDF＝90°，AD垂直平分BC，
∴∠H＝90°－∠HBC＝60°，∠BFH＝90°－∠CBE＝60°，BF＝CF＝AF＝3，
∴∠H＝∠BFH＝60°，∴BH＝BF，∴BF＝BH＝CF＝3，故答案为：3，3；

（2）AF＝BH，理由如下：连接CF，如图2，
∵∠ABD＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADC＝∠BDF＝90°，
∵BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BDF＝∠ADC＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠EAF＝∠DBF，∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴DF＝DC，∴∠DCF＝45°，∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，
∴∠HBG＝∠ABH －∠ABD＝45°，∴∠HBG＝∠FCD，
∵点G为BC边的中点，∴CG＝BG，
∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（ASA），∴BH＝CF，
∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，∴AF＝BH；

（3）仍然，证明如下：连接CF，如图3，
∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E．由三角形三条高交于一点，得CF⊥AB．
∵BH⊥AB，∴CFBH．∴∠H＝∠CFG，
∵点G为BC边的中点，∴CG＝BG，
∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（AAS），∴BH＝CF，
∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，∴AF＝BH；故答案为：仍然．

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、证明△CGF≌△BGH是解题的关键．
8．（河南省郑州市郑东新区东区外国语学校2020-2021学年八年级下学期第一次月考数学试题）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．
(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BPQ的度数；(3)若BQ⊥AD于Q，PQ＝6，PE＝2，求AD的长．

【答案】(1)证明见详解；(2)60°；(3)14．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质，即可求得∠BPQ=60°；
（3）利用（2）的结果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=12，则易求BE=BP+PE=14，进而得出AD的长．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，即∠BPQ=∠BAC=60°；
（3）∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=12，∴BE=BP+PE=12+2=14，∵△ABE≌△CAD，∴BE=AD=14．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求证△ABE≌△CAD是解题的关键．
9．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE、DE、ME．（1）求证：CD＋CE＝CA；
（2）求出点M到CE所在直线的距离；（3）当ME＝时，求CE的值．

【答案】（1）见解析；（2） ；（3）或；
【分析】（1）依据可证明，可得，即可； （2）过点作，由（1）知，利用直角三角形的性质，即可求解；（3）过点作，讨论点，在线段上还是的延长线上，通过直角三角形的性质，即可求解；
【详解】（1）由题知，为等边三角形，∴；
又，逆时针旋转；由旋转的性质可知：；，∴；
在和中，，∴ ，∴
∴∴；
（2）过点作，

由（1）知，∴，
又为的中点，∴；在中，，∴ ；
∴ ；∴ ；∴到所在直线的距离为；
（3）过点作，

由（2）知，，；在中，，；∴ ；
当点落在线段上时，；
当点落在线段的延长线时，；∴的值为或；
【点睛】本题主要考查全等三角形证明、等边三角形和直角三角形的性质，关键在寻找相关条件作辅助线；
10．（2022年青海省中考数学真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.

        图1 图2
【答案】(1)见解析(2)；
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
(1)证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，∴，，，
∴，∴．
在和中，，∴，∴．
(2)解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，∴，，
∵是等腰直角三角形，∴，
∴，∴，
∴．
∵，，∴．
∵，∴，∴．∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．


题组C 培优拔尖练
1．（河北省廊坊市大城县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（       ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】如图，连接AC，由△ABD是等边三角形得AB=AD，从而得点A、CD都在线段BD的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判断②正确，三角形的外角性质得∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，从而判断③错误，先找到CE=AE，又由△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，得AD=AB=8，EF=DE=2，从而有CF=CE-EF=4，即可判断④正确．
【详解】解：如图，连接AC，

∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，
∵，∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上，
∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①正确，
∵，∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，
∴△DEF是等边三角形，故②正确，
∵BC=BD，，∴∠CDB=∠CBD=40°，
∵∠DFE=60°，∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③错误，
∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，∴∠CAB=∠CAD=30°，
∵AB//CE，∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，∴CE=AE，
∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，∴AD=AB=8，EF=DE=2，
∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④正确，故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
2．（黑龙江省佳木斯市抚远市2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）如图，点在一条直线上，分别以，为边作等边三角形、，连接、，分别交、于点，相交于点．则下列说法：①；；③；④；⑤连接，则平分．其中正确的说法个数为（       ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据SAS先证，可得①正确；再根据AAS证，得②正确；由全等三角形的对应边相等得AD=BE，AM=BN，从而可得DM=EN，所以③正确；再由全等三角形的对应角相等及对顶角相等得∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD，得证∠BOM=∠ACB=60°，∠AOE=120°,④正确；连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F，由全等三角形的对应高相等得CH=CF，从而由角平分线的判定证得平分，得⑤正确．
【详解】解：∵△ABC与△DCE是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴(SAS)∴AD=BE，故①正确；
∵，∴∠DAC=∠EBC，又∵∠ACB=∠BCD=60°，AC=BC，∴，故②正确；
∵，∴AM=BN，∴AD-AM=BE-BN即DM=EN故③正确；
∵∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD∴∠BOM=∠ACB=60°∴∠AOE=120°故④正确；
如图，连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F，

∵，∴CH=CF，∴平分，故⑤正确；故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形．
3．（海南省乐东黎族自治县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM．在点M的运动过程中，△CDM的周长存在最______值（填入“大”或“小”），最值为______．

【答案】     小     11
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接AD，MA，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，∴，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，
∴MA=MC，∴MC+DM=MA+DM≥AD，∴MC+DM有最小值，∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短为：，故答案为：小，11．

【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键．
4．（贵州省遵义市仁怀市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）如图，在中，，点P在的平分线上，将沿对折，使点B恰好落在边上的点D处，连接，若，则______．

【答案】
【分析】根据等腰三角形底角相等、角平分线的性质和折叠的性质，证得，从而得到，，进一步证明，再根据得到，推算出，再根据三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：如下图所所示，连接，

∵点P在的平分线上，∴，∵，∴,
∵折叠，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，
∵，∴，∵，
∵ ,∴,∴,
∴,∴,
∵∴,∴．
【点睛】本题考查等腰三角形、角平分线、全等三角形、三角形内角和定理和三角形外角定理，解题的关键是证明．
5．（2022.江苏八年级期中）如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是_______．

【答案】10°或80°或20°或140°
【分析】分三种情形：，，分别求解即可解决问题．
【详解】解：如图，

在中，，
①当时，，，
②当时，，③当时，，
综上所述，满足条件的的值为或或或．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
6．（江西省新余市第一中学2021-2022学年八年级下学期第二次摸底考试数学试卷　）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有_________

【答案】②③⑤
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【详解】解：∵∠B、∠C的角平分线交于点F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
设∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，∵，∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，
∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△BDF与△CEF为等腰三角形，∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，故②正确；
∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，故③正确；
只有当△ABC是等腰三角形时，即∠ABC=∠ACB，则∠FBC=∠FCB，∠ADE=∠AED，则BF＝CF，AD=AE，根据现有条件无法证明BF=CF，并且无法证明∠ADE=∠A或∠AED=∠A，即无法证明△ADE为等腰三角形，故①、④错误；∵∠A＝80°，∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，
∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正确．故答案为②③⑤．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定及角平分线的定义及平行线的性质，三角形内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
7．（2021·重庆南开中学八年级期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，AE，点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN，MN=ME，若∠DBC：∠BEN=8：7，则∠AEN的度数为_______．

【答案】45°
【分析】由三角形ABC为等边三角形，得到AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，再由AD=CE，利用SAS得出三角形ACE与三角形BAD全等，得到∠EAC=∠ABD，由∠BGE为三角形ABG的外角，利用外角性质得到∠BGE=60°，设∠DBC=8x，∠BEN=7x，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出14x+14x+8x=180°，得出x的值，利用三角形外角的性质即可得出答案；
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，
在△ACE和△BAD中，∴△ACE≌△BAD（SAS），
∴∠CAE=∠ABD；∴∠BGE=∠ABD+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°，
∵∠DBC：∠BEN=8：7，设∠DBC=8x，∠BEN=7x，
∵MN=ME，∴∠MNE=∠BEN=7x，∴∠BMN=14x，
∵BM=BN，∴∠BMN=∠BNM =14x，在△BMN中，14x+14x+8x=180°，∴x=5°
∵∠BNE=∠BGE+∠AEN=∠BNM+∠MNE=21x=105°，∴∠AEN=105°-60°=45°；故答案为：45°

【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠BEG=60°和利用方程的数学思想．
8．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．

【答案】80
【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．
【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，

∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，
∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．
【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．
9．（2021·山东济南市·八年级期末）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

【答案】（1）1；（2）见解析；（3）不改变，
【分析】（1）证△OAP≌△OBC（ASA），即可得出OP=OC=1；（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，证△COM≌△PON（AAS），得出OM=ON．得出HO平分∠CHA，即可得出结论；
（3）连接OD，由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD，则∠OAD=45°，证出∠DAN=∠MOD．证△ODM≌△ADN（ASA），得S△ODM=S△ADN，进而得出答案．
【详解】解：（1）∵BO⊥AC，AH⊥BC，∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，，
∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP＝OC＝1；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：

在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，，∴△COM≌△PON（AAS），∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，∴HO平分∠CHA，∴∠OHP=∠AHC＝45°；
（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于．理由如下：连接OD，如图2所示：

∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，∴∠DAN＝135°＝∠DOM．
∵MD⊥ND，即∠MDN＝90°，∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM和△ADN中，，∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD=S△AOB=×AO•BO=××3×3=．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
10．（2022·江苏景山中学八年级期末）（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是　 　；BE＋BF与的BC数量关系是　 　；（写出结论即可，不必证明）

（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE＋BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是　 　．（直接写出结论即可）
【答案】（1）DE=DF，BE+BF=BC；（2）DE=DF，BE+BF=BC；（3）DE=DF，BF-BE=BC
【分析】（1）点与点重合，即，因为，所以可得出三者之间的关系；
（2）过作交于点，证明，DE=DF，ME=CF，即可得到结果；
（3）取中点，连接，证明△END≌△FCD，得到DE=DF，从而判断BE、BF、BC的关系．
【详解】解：（1）等边中，点为的中点，，
，，；
（2）；．过作交于点，

则，，是等边三角形，
则，，则，即：，
在和中，，，
，，∴；
（3）取中点，连接，如图所示
，，，
，，
，，．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．
11．（2022·山东八年级期末）已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在射线BF上，连接CE．
（1）如图1，BD与CE是否相等？请说明理由；（2）如图1，求∠BCE的度数；（3）如图2，当D在BC延长线上时，连接BE，△ABE、△CDE与△ADE的面积有怎样的关系？并说明理由．

【答案】（1）BD=CE，理由见解析；（2）∠BCE=120°；（3）S△ABE+S△CDE=S△ADE；理由见解析．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，根据角的和差关系可得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可得结论；
（2）根据等边三角形的性质可得∠B=∠ACB=60°，根据全等三角形的性质可得∠ACE=∠B=60°，根据角的和差关系即可得答案；（3）根据角的和差关系可得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证明△ABD≌△ACE，可得S△ABD=S△ACE，可得∠ABC=∠ACE=60°，根据平角定义可得∠ECD=60°，可得AB//CE，根据平行线间的距离相等可得S△ABE=S△ABC，根据图形面积的和差关系即可得出S△ADE=S△ABE+S△CDE．
【详解】（1）BD=CE，理由如下：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，∠CAE+∠DAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．
（2）△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，
∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°．
（3）S△ABE+S△CDE=S△ADE，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，
∴S△ABD=S△ACE，∠ABC=∠ACE=60°，∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°，
∴∠ABC=∠ECD，∴AB//CE，∴S△ABE=S△ABC，
∵S△ACE+S△CDE=S△ADE+S△ACD，∴S△ABD+S△CDE=S△ADE+S△ACD，
∴S△ABC+S△ACD+S△CDE=S△ADE+S△ACD，∴S△ABE+S△CDE=S△ADE．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质掌握相关性质及判定定理是解题关键．