2023年河北省廊坊市安次区中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年河北省廊坊市安次区中考二模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河北省廊坊市安次区中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在平面直角坐标中，点在（  ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若成立，则“”中的运算符号是（    ）
A． B． C． D．
3．与相等的是（    ）
A． B． C． D．
4．石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．下列度数的角，只借助一副三角尺不能拼出的是（   ）
A． B． C． D．
6．如图，点P在的边上从点A向点B移动，当时，则是的（    ）

A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线
7．下列计算错误的是（    ）
A． B． C． D．
8．如图，是圆O的直径，是弦，，则弧的长为（    ）

A． B． C． D．
9．垃圾分类利国利民，某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤：
①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率
②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表
③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比
正确统计步骤的顺序应该是(   )
A．②→③→① B．②→①→③ C．③→①→② D．③→②→①
10．如图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程正确的是（　　）

A． B． C． D．
11．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（    ）

A．0．8 B．0．96 C．1 D．1．08
12．2020年12月17日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球．2021年10月19日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄武岩形成的年龄为亿年．用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为（    ）（单位：年）
A． B． C． D．
13．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（    ）

A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm
14．将不等式组的解集表示在同一条数轴上，正确的是（    ）
A． B．
C． D．
15．如图，是的外接圆，在弧上找一点M，使点M平分弧．以下是甲乙丙三种不同的作法：

作法正确的个数是（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
16．如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上．今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示．若，，，，则的长度为多少？（   ）

A．7 B．8 C．9 D．10

二、填空题
17．如图，琪琪沿着一个四边形公园小路跑步锻炼，从A处出发，当她跑完一圈时，她身体转过的角度之和为 ．

18．如图，在矩形中，，点P在上，且，点E，F分别是，的中点．

（1）的长是 ；
（2） ．
19．某同学编写了一个程序：如图，在平面直角坐标系中，线段的端点，．原点O处有一光点发射器向第一象限发射光点，光点均沿直线方向飞行，飞行的距离由输入的数据决定（当时，光点会沿运动方向飞行1.5个单位，当时，光点会沿运动方向飞行2个单位，以此类推），光点飞行结束后会向两边扩散，形成反比例函数的图象．

（1）写出p与k的关系式： ；当时，光点飞行结束后形成的反比例函数的解析式为 ；
（2）记线段与反比例函数的图象所围成的区域（不含边界）为M．当M中有n个整点（横、纵坐标都是整数）时，区域M就会连续闪烁n次，某光点发射后与线段AB所形成的区域连续闪烁了5次，则p的取值范围是 ．

三、解答题
20．嘉淇在解一道数学计算题时，发现有一个数被污染了．

(1)嘉淇猜污染的数为1，请计算；
(2)老师说，嘉淇猜错了，正确的计算结果不小于，求被污染的数最大是几？
21．某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．

(1)本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ．
(2)补全条形统计图．
(3)扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ．
(4)在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．
22．发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是的倍数．如：，是的倍；，是的倍．
(1)请你仿照上面的例子，再举出一个例子：；
(2)十位数字为，个位数字为的两位数可表示为__________，若该两位数的平方与的平方的差是的倍，则______；
(3)设一个两位数的十位数字为，个位数字为（，，且，为正整数），请用含，的式子论证“发现”的结论是否正确．
23．小明和爸爸各买了一个保温壶，分别记为甲和乙．小明对这两个保温壶进行了保温测试，同时分别倒入同样多的热水，经过一段时间的测试发现，乙的保温性能好且这段时间内，甲、乙的水温（）与时间（）之间都近似满足一次函数关系，如图．根据相关信息，解答下列问题：

(1)求甲壶中的水温与的函数关系式（不必写自变量的取值范围）；
(2)当乙壶中的水温是时，甲壶中水的温度是多少？
(3)测试多长时间内，这两个保温壶的温差不超过？
24．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形，，以A为圆心，2为半径作半圆A，交所在直线于点M，N．点E是半圆A上仟意一点．连接，把绕点B顺时针旋转90°到的位置，连接，．

(1)求证：；
(2)当与半圆A相切时，求弧的长；
(3)直接写出面积的最大值．
25．用绘图软件绘制抛物线m：与动直线l：相交于两点，图1为时的视窗情形．

(1)求图1中A，B两交点之间的距离．
(2)如图2，将图1中的直线l绕点B旋转得到，且经过抛物线m与x轴的交点C，M为抛物线段上一动点，过点M作轴与交于点N，求的最大值．
(3)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心（例如：将图1中坐标系的单位长度变为原来的2倍，如图3，其可视范围就由及变成了及）．若l与m的交点分别是点P和，为能看到抛物线m在点P，Q之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的k倍，求整数k的值．
26．在中，，．点在线段上运动（不与点、重合）．如图1，连接，作，与交于点．

(1)求证：．
(2)若，当为多少度时， 是等腰三角形？
(3)如图2，当点运动到中点时，点在的延长线上，连接，，点在线段上，连接．
①与是否相似？请说明理由．
②设，的面积为S，试用含的代数式表示S．

参考答案：
1．B
【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限．
【详解】解：，，
在第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握四个象限内坐标的符号：第一象限：，；第二象限：，；第三象限：，；第四象限：，．
2．A
【分析】把加减乘除的符号代入计算即可求解．
【详解】解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故C选此项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．D
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．A
【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．
【详解】解：从正面看，可得如下图形，

故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．
5．D
【分析】根据一副三角尺的角度（）能否通过和或差求出所对应的度数即可．
【详解】解：A、，即能用三角尺画出的角，故本选项不符合题意；
B、，即能用三角尺画出的角，故本选项不符合题意；
C、，即能用三角尺画出的角，故本选项不符合题意；
D、根据的组合不得出的角，即不能用三角尺画出的角，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了角的有关计算的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，掌握一副三角尺的角度有是本题的关键．
6．A
【分析】利用三角形的中线把它分成面积相等的两个三角形解题即可．
【详解】∵
∴，
∴，
∴是的中线，
故选A．
【点睛】本题考查三角形的中线，掌握三角形的中线分得的两个三角形面积相等是解题的关键．
7．A
【分析】根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：A、，此选项错误，符合题意；
B、，此选项正确，不符合题意；
C、，此选项正确，不符合题意；
D、，此选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算．准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．A
【分析】根据圆周角定理得到∠BOD=60°，根据公式计算弧的长．
【详解】解：∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵直径AB=6，
∴OB=3，
∴弧的长为，
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长的计算公式，正确掌握圆周角定理求出∠BOD=60°是解题的关键．
9．A
【分析】根据统计数据收集处理的步骤即可得出结果．
【详解】解：按照统计步骤，先②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表，然后③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比，最后得出①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率，
∴正确的步骤为：②→③→①，
故选：A．
【点睛】题目主要考查统计数据收集处理的步骤，理解题意是解题关键．
10．D
【分析】根据题意利用银子数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出等式即可．
【详解】解：设总共有x两银子，根据题意列方程得：
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，利用银子数不变得出等量关系是解题关键．
11．B
【分析】由，可得出进而得出解出即可得出结论．
【详解】解：
，
，
，
故选：
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键．
12．D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，看小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n是负整数．
【详解】解：亿－0.04亿=20.26亿=2026000000=2.026×109，
故选：D．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
13．D
【分析】先求出BD，再根据平移性质求得=1cm，然后由求解即可．
【详解】解：由题意，BD=cm，
由平移性质得=1cm，
∴点D，之间的距离为==（）cm，
故选：D．
【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．
14．A
【分析】分别解出两个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
【详解】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下：

故选：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．D
【分析】根据基本作图得到所做图形的性质，再结合圆周角定理和垂径定理判断正确与否．
【详解】解：如图甲，作的平分线，则，
所以，所以作法正确；
如图乙，过点O作的垂线，根据垂径定理的推论，
可得，所以作法正确；
如图丙，垂直平分，则必过圆心，
所以，所以作法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和圆周角定理以及垂径定理的推论．
16．C
【分析】根据三角形ABC是正三角形，可得∠A=∠B=60°，△AFD∽△BFG，即可求出FG=7，而AD=10，DF=14，BF=8，可得AB=32=AC，故CG=AC-AF-FG=9．
【详解】解：三角形是正三角形，
，
，
，
，即，
，
，，，
，
，
；
故选：．
【点睛】本题考查等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明，从而求出的长度．
17．/360度
【分析】根据多边形的外角和等于360度即可求解．
【详解】解：多边形的外角和等于360度，
琪琪跑完一圈时，身体转过的角度之和是360度．
故答案为：360度．
【点睛】此题考查的是多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
18． 4 /
【分析】连接，利用矩形的性质和线段的和差倍分关系求出，，分别在、中，利用勾股定理求出，，再利用三角形中位线定理求出，即可解答．
【详解】解∶连接，

∵矩形，，
∴，，，
∵，
∴，，
在中，，，，
∴，
∵是中点，
∴，
在中，，，，
∴，
∵点E，F分别是，的中点，
∴，
∴．
故答案为：4；．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
19．
【分析】（1）由题意得，再联立方程组可得解；
（2）先确定内的整数点，再确定与直线围成的区域内的整数点，从而可确定p的取值范围
【详解】解：（1）∵光点移动，到扩散，
∴，
联立方程组，得，
解得，
∴；
当时，
∴；
（2）如图，范围内共有10个整点，

分别为，
则三点在的上方，
而与围成的区域内有4个整点，与围成的区域内有5个整点，
又光点发射后与线段AB所形成的区域连续闪烁了5次，
∴
∴
∵
∴ ；
故答案为；；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
20．(1)；
(2)-2

【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按照从左到右的顺序依次计算；
（2）根据题意列出一元一次不等式，先求出不等式的解，再进一步得到最大的数.
【详解】（1）解：
（2）解：设污染了的实数为x，则有
解之得，
所以被污染的实数最大是-2．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次不等式，能够根据题意列出不等式是解决问题的关键.
21．(1)50人，；
(2)见解析
(3)
(4)

【分析】（1）由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数所占百分比；
（2）总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；
（3）用乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次抽查的总人数为（人，
“合格”人数的百分比为，
故答案为：50人，；
（2）解：不合格的人数为：；
补全图形如下：

（3）解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为，
故答案为：；
（4）解：列表如下：

甲
乙
丙
甲

（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（甲，乙）

（丙，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）

由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，
所以刚好抽中甲乙两人的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图与条形统计图的关联，读懂统计图中的信息、画出树状图或列表是解题的关键．
22．(1)（答案不唯一）
(2)；
(3)正确，理由见详解

【分析】（1）根据材料提示的信息，即可求解；
（2）十位数字为，表示为，个位数字为表示为，再根据材料提示即可求解；
（3）根据两位数的表示方法，完全平方公式的运算，即可求解．
【详解】（1）解：，是的倍，
故答案为：（答案不唯一）．
（2）解：十位数字为，表示为，个位数字为表示为，
∴这个两位数表示为，
根据材料提示得，，
的倍表示为，
∴，解得，，
故答案为：．
（3）解：十位数字为，个位数字为（，，且，为正整数），
∴这个表示为，
∴，，
∴，且是的倍，且是正整数，
∴一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是的倍数，正确．

【点睛】本题主要考查定义新运算，理解定义运算的法则，掌握整式混合运算法则是解题的关键．
23．(1)
(2)乙壶中的水温是时，甲壶中水的温度是
(3)测试内（含），这两个保温壶的温差不超过

【分析】（1）设甲壶中的水温与的函数关系式为．根据题意，甲的图象经过点，，待定系数法求解析式即可．
（2）由题意，得乙壶中的水温是时，．将代入，即可求解．
（3）同（1）求得，乙壶中的水温与的函数关系式为．由题意，得，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设甲壶中的水温与的函数关系式为．
乙壶的保温性能好，
甲的图象经过点，．
分别代入，得
解得
．
（2）由题意，得乙壶中的水温是时，．
将代入，得．
乙壶中的水温是时，甲壶中水的温度是．
（3）同（1）求得，乙壶中的水温与的函数关系式为．
由题意，得，
解得，
即测试内（含），这两个保温壶的温差不超过．
【点睛】本题考查了一次函数的实际意义，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
(3)4

【分析】（1）根据旋转性质，结合已知，证明，得到，证明即可．
（2）根据切线的性质，三角函数，求得，代入弧长公式计算即可．
（3）根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动，当时，的高取得最大值，此时也取得最大值．
【详解】（1）∵是等腰直角三角形，，
∴．
由旋转可得，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵与半圆A相切，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴．
（3）根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动，
过点D作于点Q，
∴，
当时，的高取得最大值，
此时也取得最大值．

∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆的最值，熟练掌握特殊角的三角函数，弧长公式，圆的最值是解题的关键．
25．(1)
(2)当时，的最大值为
(3)5

【分析】（1）把代入解方程可得A，B的坐标，从而可得答案；
（2）将代入中，可得点．设直线为，可得直线的解析式为．设点M坐标为，则点N坐标为，且，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）先求解．结合抛物线m的对称轴为直线．点P与点Q关于对称，可得．通过P，Q两点坐标可知，若能看到m在点P，Q之间的一整段图象，应使视窗下边缘在P，Q两点下方，视窗左右边缘没有影响，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：将代入中，
得，解得，
∴点，点，
∴．
（2）将代入中，得，
解得，
∴点．
设直线为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
设点M坐标为，则点N坐标为，且，
则，
∴当时，的最大值为．
（3）将代入到中，得，
∴．
∵，
∴抛物线m的对称轴为直线．
∵点P与点Q关于对称，
∴．
通过P，Q两点坐标可知，若能看到m在点P，Q之间的一整段图象，应使视窗下边缘在P，Q两点下方，视窗左右边缘没有影响，
∴，解得，
故最小整数k的值为5．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解线段长度的最值，不等式的应用，理解题意，建立方程或不等式是解本题的关键．
26．(1)见解析
(2)当为或时，是等腰三角形
(3)①相似，理由见解析；②

【分析】（1）根据三角形外角的性质证明，再根据等腰三角形的性质证明，即可判断；
（2）分三种情况：当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质分别求出的度数即可；
（3）①根据解析（1）可得，得出，根据，得出，由，可以证明；
②连接，过点作，，垂足分别为，，根据勾股定理结合，求出，得出，根据等积法求出，根据，得出，根据角平分线的性质得出，最后根据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：当时，，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴不存在这种情况；
当时，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当为或时，是等腰三角形．
（3）解：①同（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
②连接，过点作，，垂足分别为，，如图所示：

∵，，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∵，
∴，
由①得，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理，三角形面积的计算，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．