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初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆精品同步训练题
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆精品同步训练题，文件包含人教版九年级数学上册同步精品讲义第26课圆章末复习教师版doc、人教版九年级数学上册同步精品讲义第26课圆章末复习原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
第26课 圆章末复习
课程标准
（1）理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
（2）了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
（3）了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
（4）了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；
（5）结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
知识点01 圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
【注意】
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
【注意】
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径)
3．两圆的性质
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
4．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
【注意】
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
知识点02 与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为r，OP=d，则有
点P在⊙O外；
点P在⊙O上；
点P在⊙O内；
【注意】
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点在同一个圆上的方法
当时，在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d.
(1)直线l和⊙O没有公共点直线和圆相离 .
(2)直线l和⊙O有唯一公共点直线和圆相切 .
(3)直线l和⊙O有2个公共点直线和圆相交 .
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
5．圆和圆的位置关系
设的半径为，圆心距.
(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离；
(2)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的内部内含；
(3)和有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外切；
(4)和有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的内部 内切；
(5)和有2个公共点相交；
知识点03 三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
【注意】
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
2．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
知识点04 圆中有关计算
圆的面积公式： ，周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为，半径为R，弧长为l的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为 ，侧面积为，全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
【注意】
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式S扇形，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形.
考法01 圆的基础知识
【典例1】如下图，菱形的三个顶点、、在上，则（ ）．
A．100° B．150° C．120° D．60°
【答案】C
【详解】：连结OC，
∵点、、在上，
∴OA=OB=OC，
又∵四边形OACB为菱形，
∴OA=AC=CB=OB=OC，
∴△OAC和△OBC均为等边三角形，
∴∠ACO=∠BCO=60°，
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=120°．
故选：C．
【即学即练】如图，已知、是的弦，，点C在弦上，连接CO并延长CO交于于点D，，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【详解】解：连接OA，
∵OA=OB， ∴∠OAB=∠B=30°，
∵OA=OD， ∴∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，
故选：C．
【典例2】如图，以C为圆心的圆过的中点 D，则（ ）．
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】解：如图示，连接，
在中，点D是的中点，则，
∴
∴依据勾股定理可得：．
故选：D．
【即学即练】如图，为半径，点为中点，为上一点，且，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，作OE⊥PQ于点E，连接OQ，
由题意，OA=OQ=2，∠OEP=90°，
∵点P是OA的中点，
∴OP=1，
∵，
∴∠EPO=∠EOP=45°，
∴PE=OE=，
在Rt△OEQ中，由勾股定理，得：
，
∴；
故选择：D.
【典例3】如图，中，，O是的中点，以O为圆心，长为半径画弧，分别交于点D，E，连接，测量的度数是_____．
【答案】##80度
【详解】解：如图，连接OE、OD，
根据题意得：OC=OB=OD=OE，
∵∠A=50°，
∴∠B+∠C=130°，
∴∠CEO+∠BDO=130°，
∴∠AEO+∠ADO=230°，
∴∠EOD=360°-∠A-∠AEO-∠ADO=360°-50°-230°=80°，
故答案为：．
【即学即练】如图，圆内4个正方形的边长均为2a，若点A，B，C，D，E在同一条直线上，点E，F，G在同一个圆上，则此圆的半径为______．
【答案】a
【详解】解：∵点E，F在⊙O上，
∴圆心O在EF的垂直平分线PQ上，连接OG、OE，
∵4个正方形的边长均为2a，
∴PQ=8a，EQ=a，PG=3a，
设PO=x，则OQ=8a-x，
∵OG=OE，即OG2=OE2，
∴PG2+PO2=OQ2+QE2，即(3a)2+x2=(8a-x)2+a2，
解得：x=a，即PO=a，
∴OG2=(3a)2+(a)2=a2，
∴OG=a，
故答案为a．
【典例4】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，若，求的度数；
【答案】40°
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-25°=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=180°-65°-65°=50°，
∴∠DCE=90°-50°=40°．
【即学即练】如图，线段过圆心交于，两点，交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）75°；（2）．
【详解】（1）连接．
∵，∴，
∵，∴，
∴．
（2）∵，∴（由（1）证明可知）
∴，
设，∴，解得，
∴．
考法02 弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
【典例5】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
【答案】A
【详解】解：如图，连接AO，
∵半径与点D，
∴，
∵，
∴根据勾股定理，，
∴，
∴．
故选A．
【即学即练】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
【答案】A
【详解】解：如图，连接AO，
∵半径与点D，
∴，
∵，
∴根据勾股定理，，
∴，
∴．
故选A．
【典例6】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
【答案】A
【详解】解：如图，连接AO，
∵半径与点D，
∴，
∵，
∴根据勾股定理，，
∴，
∴．
故选A．
【即学即练】如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上且．AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若，则CE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵
∴
又∵∠DAB＝30°
∴
由勾股定理得，
∴
∴(负值舍去)
∴
故选：C
【典例7】已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E、F分别为AB、CD的中点，若AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则线段EF长的最大值为_____．
【答案】7
【详解】解：连接OA、OD、OE、OF，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，AEAB＝4，OF⊥CD，DFCD＝3，
由勾股定理得，OE3，OF4，
当E、O、F在同一条直线上时，EF最大，最大值为3+4＝7，
故答案为：7．
【即学即练】如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．
【答案】
【详解】解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图，
∵点C、D三等分半圆弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴，
∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠COD=30°，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
【典例8】如图，在平行四边形ABCD中，AD是⊙的弦，BC是⊙的切线，切点为点B．
(1)求证：；
(2)若，，求⊙的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】(1)证明：连接，交于点．
是的切线，切点为，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
(2)解：，过圆心
，
在中，，
，
设的半径为，则，
连接，
在中，，
即，
，
的半径为．
【即学即练】如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．
（1）求证：CE平分∠AEB；
（2）连接BC，若BC//AE，求证：BC=BE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）证明：，是直径，
．
，
平分；
（2）解：如图，
∵ ，
∴．
又∵，
．
考法03 圆中有关的计算
【典例9】已知：如图，是的两条半径，且，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
，
．
故选：A．
【即学即练】已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的弧长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由弧长公式可知，
，
故选：B．
【典例10】如图，，是的弦，，，则的直径等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
∴⊙O的直径等于4．
故答案为：4．
【即学即练】如图，矩形ABCD中，，，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形EBGF，再将矩形EBGF绕点G顺时针旋转得到矩形IHGJ，则点D在两次旋转过程中经过的路径的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，
第一次旋转时，点D绕点B旋转90°，旋转半径为BD，到达点F处，
BD==6，
此时，点D运动的路径为：3π，
第二次旋转时，点F绕点G旋转90°，旋转半径为GF=AB=3，到达点J处，
点F运动的路径为：，
故点D在两次旋转过程中经过的路径的长为：，
故选：D．
【典例11】如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，，则∠B等于 _____．
【答案】
【详解】解：如图，连接OA．则OA⊥AB．
∴，
∵，
∴．
∵OA＝OC，
∴．
∴．
故答案为： ．
【即学即练】如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．
【答案】
【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF=DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴．
故答案为：．
【典例12】如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，
(1)求∠ADB的度数；
(2)若OE＝3，OA＝5，求BC的长．
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）解：连接OB，
∵OA⊥BC，OA过圆心O，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵OA⊥BC，BC＝2，OA过圆心O，
∴BE＝EC，
∵OB＝OA＝5，OE＝3，
∴BE＝＝＝4，
∴BC＝2BE＝8．
【即学即练】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，⊙O是△BEF的外接圆，交AB于点F，圆心O在AB上．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
(3)求证：CD＝HF．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）证明：连接OE，如图所示：
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，
∴∠BEC＝∠BEH，
∵BF是⊙O是直径，
∴∠BEF＝90°，
∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEH＝∠FEA，
∴FE平分∠AEH．
（3）证明：连接DE，如图所示：
∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE，
∵∠C＝∠EHF＝90°，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF，
考法04 圆与其他知识的综合运用
【典例13】如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角除对顶角外还有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：∵在△ADO和△DOE中
，
∴△OAD≌△ODE（SSS），
∴∠DAB=∠EDO，∠ADO=∠DEO，
∵AO=DO，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∵AD=DE，
∴，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DAB=90°-∠ABD，∠BCE=90°-∠DBE，
∴∠DAB=∠BCE，
∴∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO，
则与∠ECB相等的角有5个．
图中与∠BCE相等的角除对顶角外还有4个
故选C．
【即学即练】如图，正方形的边长为，点在上，以为圆心的扇形与边相切于点，与两边交于点，，则弧长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：当点与或点重合时，圆心角为，此时弧最长，
根据正方形和扇形的对称性可得，当点在中点时，此时弧的长度最短，且，
∵正方形的边长为，以为圆心的扇形与边相切，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弧的长度为．
故选：C．
【典例14】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π
【答案】D
【详解】解：作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BD＝CD＝6，
∴AD＝＝8，
∴＝×12×8﹣π×＝48﹣．
故选：D．
【即学即练】如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，∠B+∠E=（ ）
A．325° B．145° C．215° D．395°
【答案】C
【详解】解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠CED=∠CAD=35°，
∴∠B+∠AED=180°+35°=215°．
故选：C．
【典例15】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝6，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 _____．（结果保留π）
【答案】
【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=6，
∴AC=BD＝6，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∴，
故答案为：．
【即学即练】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（－3，0），B（0，3），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为____．
【答案】
【详解】解：连接、．
是的切线，
；
根据勾股定理知，
当时，线段最短；
又，，，，
，
，
，
．
故答案为：．
【典例16】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D．若BE=6，AB=8．
(1)求证：BE=CF；
(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴弧BE=弧FC
∴BE=CF．
（2）解：连接OC，如图所示：
∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝∠CAE，
∴∠AOC＝2∠CAE，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO＝∠AOC，
∵，
∴，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵BE=6，AB=8，∠ABE=90°
∴，
∴AO＝CO＝5，
∴．
【即学即练】接BD和CD．
(1)求证：．
(2)，，，求AD．
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵I为三角形ABC的内心，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）如图，过点作于，过点作于点，
，，，则，
，，则，
，
，
，
，，
，
，
过点，作的垂线，垂足分别为，如图，
I为三角形ABC的内心，
，
设，
，
即，
解得，
中，，
，
，
（3）如图，设为三角形ABC的外接圆的圆心，连接，
，
，
，
，且，
，
是等边三角形，
，
圆的半径为，
．
考法05 与圆的切线相关的证明与计算
【典例17】下列命题中的真命题是（ ）
①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线 ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【详解】①相等的角不一定是对顶角，故①错误；
②矩形的对角线互相平分且相等，故②正确；
③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，故③错误；
④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，故④正确，
所以正确的是②④，
故选D．
【即学即练】下列命题中，
①直径是弦；
②平分弦的直径必垂直于弦；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④等弧所对的弦相等．
⑤经过半径的一端并垂直于半径的直线是圆的切线．正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；
平分弦（非直径）的直径必垂直于弦，所以②错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③错误；
等弧所对的弦相等．所以④正确；
经过半径的外端并垂直于半径的直线是圆的切线．所以⑤错误．
故选B．
【典例18】如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【详解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【即学即练】如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的⊙O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列判断：（1）AC与BD的交点是⊙O的圆心；（2）AF与DE的交点是⊙O的圆心；（3）AE=DF；（4）BC与⊙O相切，其中正确判断的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，
∴CG＝BG，
∵CD＝BA，根据勾股定理可得，
∴AG＝DG，
∴GH垂直平分AD，
∴点O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切；
∵OG＝OD，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
∵∠ADF＝∠DAE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；AE=DF；
∴（1）错误，（2）（3）（4）正确．
故选：B．
【典例19】在正方形ABCD中，以AB为直径做半圆，过点D做DE切圆O于点F，交BC于点E，正方形的边长为2，求阴影面积______．
【答案】1.5
【详解】∵四边形ABCD正方形，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，∠C＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD，BC是⊙O的切线，
∵DE切圆O于点F，交BC于点E，
∴BE＝EF，AD＝DF＝2，
设CE＝x，则BE＝EF＝2－x，DE＝DF＋EF＝4－x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
，
∴，
解得x＝1.5，
∴CE＝1.5，
∴阴影面积＝，
故答案为：1.5
【即学即练】如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE交于点F，经过点E作EG⊥BC于G，交BD于H，过点E作EM⊥AC于M．则下列结论：①BE＝EM；②∠ECA＝∠BEG；③EH＝BF；④EM是⊙O的切线．其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号）
【答案】②③④
【详解】解：∵BC为⊙O直径，
∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC，
又∵AC＝BC，
∴AE＝BE，
∵EM⊥AC，
∴EM＜AE，
∴BE＞EM，
故①错误；
连接OE．
∵由以上证明过程得到CE是等腰△ABC的中垂线，则∠BCE＝∠ECA，故∠BCE＝∠DCE，
∴，
∴OE⊥BD，
∵BC是直径，
∴BD⊥AC
又∵EM⊥AC，
∴，
∴EM⊥OE，
∴EM是切线．
故④正确；
∵在直角△EBC中，EG⊥BC，∠BEC=90°，
∴，
∴∠ECG＝∠BEG，
又∵∠BCE＝∠ECA，即∠ECG＝∠ECA
∴∠ECA＝∠BEG．
故②正确；
∵∠EBD＝∠ECD（同弧所对的圆周角相等），∠BEG＝∠ECA（已证），
∴∠EBH＝∠BEH，
∴BH＝EH，
∵∠BEG+∠GEC＝∠EBD+∠EFB＝90°，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴EH＝FH，
∴EH＝FH＝BH＝BF，即EH＝BF．
故③正确．
故答案为：②③④．
【典例20】如图，已知 AB、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16．
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)求直径AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)20
【详解】（1）证明：如图，连接OD，BC；
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BCDE；
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）设BC与DO交于点F，
由（1）可得四边形CFDE为矩形；
∴CF=DE=6，
∵OD⊥BC，
∴BC=2CF=12，
在Rt△ABC中，
AB==20．
【即学即练】如图，直线经过上的点C，并且，，交直线于E、D，连，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)试猜想，，三者之间的等量关系，并加以证明；
(3)若，的直径为5，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)6.5
【详解】（1）证明：连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是的半径，
∴AB是的切线；
（2）解：，理由如下：
∵ED是直径，
∴∠ECD=90°．
∴∠E+∠EDC=90°，
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E，
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵△BCD∽△BEC，
∴，
设BD=2x，则BC=3x，
∵，
∴，
解得：x=2或0（舍去），
∴BD=2x=4，
∵的直径为5，
∴OD=2.5，
∴OA=OB=BD+OD=6.5．
第26课 圆章末复习
课程标准
（1）理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
（2）了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
（3）了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
（4）了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；
（5）结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
知识点01 圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
【注意】
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
【注意】
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径)
3．两圆的性质
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
4．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
【注意】
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
知识点02 与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为r，OP=d，则有
点P在⊙O外；
点P在⊙O上；
点P在⊙O内；
【注意】
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点在同一个圆上的方法
当时，在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d.
(1)直线l和⊙O没有公共点直线和圆相离 .
(2)直线l和⊙O有唯一公共点直线和圆相切 .
(3)直线l和⊙O有2个公共点直线和圆相交 .
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
5．圆和圆的位置关系
设的半径为，圆心距.
(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离；
(2)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的内部内含；
(3)和有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外切；
(4)和有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的内部 内切；
(5)和有2个公共点相交；
知识点03 三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
【注意】
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
2．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
知识点04 圆中有关计算
圆的面积公式： ，周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为，半径为R，弧长为l的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为 ，侧面积为，全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
【注意】
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式S扇形，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形.
考法01 圆的基础知识
【典例1】如下图，菱形的三个顶点、、在上，则（ ）．
A．100° B．150° C．120° D．60°
【答案】C
【详解】：连结OC，
∵点、、在上，
∴OA=OB=OC，
又∵四边形OACB为菱形，
∴OA=AC=CB=OB=OC，
∴△OAC和△OBC均为等边三角形，
∴∠ACO=∠BCO=60°，
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=120°．
故选：C．
【即学即练】如图，已知、是的弦，，点C在弦上，连接CO并延长CO交于于点D，，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【详解】解：连接OA，
∵OA=OB， ∴∠OAB=∠B=30°，
∵OA=OD， ∴∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，
故选：C．
【典例2】如图，以C为圆心的圆过的中点 D，则（ ）．
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】解：如图示，连接，
在中，点D是的中点，则，
∴
∴依据勾股定理可得：．
故选：D．
【即学即练】如图，为半径，点为中点，为上一点，且，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，作OE⊥PQ于点E，连接OQ，
由题意，OA=OQ=2，∠OEP=90°，
∵点P是OA的中点，
∴OP=1，
∵，
∴∠EPO=∠EOP=45°，
∴PE=OE=，
在Rt△OEQ中，由勾股定理，得：
，
∴；
故选择：D.
【典例3】如图，中，，O是的中点，以O为圆心，长为半径画弧，分别交于点D，E，连接，测量的度数是_____．
【答案】##80度
【详解】解：如图，连接OE、OD，
根据题意得：OC=OB=OD=OE，
∵∠A=50°，
∴∠B+∠C=130°，
∴∠CEO+∠BDO=130°，
∴∠AEO+∠ADO=230°，
∴∠EOD=360°-∠A-∠AEO-∠ADO=360°-50°-230°=80°，
故答案为：．
【即学即练】如图，圆内4个正方形的边长均为2a，若点A，B，C，D，E在同一条直线上，点E，F，G在同一个圆上，则此圆的半径为______．
【答案】a
【详解】解：∵点E，F在⊙O上，
∴圆心O在EF的垂直平分线PQ上，连接OG、OE，
∵4个正方形的边长均为2a，
∴PQ=8a，EQ=a，PG=3a，
设PO=x，则OQ=8a-x，
∵OG=OE，即OG2=OE2，
∴PG2+PO2=OQ2+QE2，即(3a)2+x2=(8a-x)2+a2，
解得：x=a，即PO=a，
∴OG2=(3a)2+(a)2=a2，
∴OG=a，
故答案为a．
【典例4】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，若，求的度数；
【答案】40°
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-25°=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=180°-65°-65°=50°，
∴∠DCE=90°-50°=40°．
【即学即练】如图，线段过圆心交于，两点，交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）75°；（2）．
【详解】（1）连接．
∵，∴，
∵，∴，
∴．
（2）∵，∴（由（1）证明可知）
∴，
设，∴，解得，
∴．
考法02 弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
【典例5】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
【答案】A
【详解】解：如图，连接AO，
∵半径与点D，
∴，
∵，
∴根据勾股定理，，
∴，
∴．
故选A．
【即学即练】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
【答案】A
【详解】解：如图，连接AO，
∵半径与点D，
∴，
∵，
∴根据勾股定理，，
∴，
∴．
故选A．
【典例6】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
【答案】A
【详解】解：如图，连接AO，
∵半径与点D，
∴，
∵，
∴根据勾股定理，，
∴，
∴．
故选A．
【即学即练】如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上且．AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若，则CE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵
∴
又∵∠DAB＝30°
∴
由勾股定理得，
∴
∴(负值舍去)
∴
故选：C
【典例7】已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E、F分别为AB、CD的中点，若AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则线段EF长的最大值为_____．
【答案】7
【详解】解：连接OA、OD、OE、OF，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，AEAB＝4，OF⊥CD，DFCD＝3，
由勾股定理得，OE3，OF4，
当E、O、F在同一条直线上时，EF最大，最大值为3+4＝7，
故答案为：7．
【即学即练】如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．
【答案】
【详解】解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图，
∵点C、D三等分半圆弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴，
∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠COD=30°，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
【典例8】如图，在平行四边形ABCD中，AD是⊙的弦，BC是⊙的切线，切点为点B．
(1)求证：；
(2)若，，求⊙的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】(1)证明：连接，交于点．
是的切线，切点为，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
(2)解：，过圆心
，
在中，，
，
设的半径为，则，
连接，
在中，，
即，
，
的半径为．
【即学即练】如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．
（1）求证：CE平分∠AEB；
（2）连接BC，若BC//AE，求证：BC=BE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）证明：，是直径，
．
，
平分；
（2）解：如图，
∵ ，
∴．
又∵，
．
考法03 圆中有关的计算
【典例9】已知：如图，是的两条半径，且，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
，
．
故选：A．
【即学即练】已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的弧长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由弧长公式可知，
，
故选：B．
【典例10】如图，，是的弦，，，则的直径等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
∴⊙O的直径等于4．
故答案为：4．
【即学即练】如图，矩形ABCD中，，，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形EBGF，再将矩形EBGF绕点G顺时针旋转得到矩形IHGJ，则点D在两次旋转过程中经过的路径的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，
第一次旋转时，点D绕点B旋转90°，旋转半径为BD，到达点F处，
BD==6，
此时，点D运动的路径为：3π，
第二次旋转时，点F绕点G旋转90°，旋转半径为GF=AB=3，到达点J处，
点F运动的路径为：，
故点D在两次旋转过程中经过的路径的长为：，
故选：D．
【典例11】如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，，则∠B等于 _____．
【答案】
【详解】解：如图，连接OA．则OA⊥AB．
∴，
∵，
∴．
∵OA＝OC，
∴．
∴．
故答案为： ．
【即学即练】如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．
【答案】
【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF=DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴．
故答案为：．
【典例12】如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，
(1)求∠ADB的度数；
(2)若OE＝3，OA＝5，求BC的长．
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）解：连接OB，
∵OA⊥BC，OA过圆心O，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵OA⊥BC，BC＝2，OA过圆心O，
∴BE＝EC，
∵OB＝OA＝5，OE＝3，
∴BE＝＝＝4，
∴BC＝2BE＝8．
【即学即练】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，⊙O是△BEF的外接圆，交AB于点F，圆心O在AB上．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
(3)求证：CD＝HF．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）证明：连接OE，如图所示：
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，
∴∠BEC＝∠BEH，
∵BF是⊙O是直径，
∴∠BEF＝90°，
∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEH＝∠FEA，
∴FE平分∠AEH．
（3）证明：连接DE，如图所示：
∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE，
∵∠C＝∠EHF＝90°，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF，
考法04 圆与其他知识的综合运用
【典例13】如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角除对顶角外还有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：∵在△ADO和△DOE中
，
∴△OAD≌△ODE（SSS），
∴∠DAB=∠EDO，∠ADO=∠DEO，
∵AO=DO，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∵AD=DE，
∴，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DAB=90°-∠ABD，∠BCE=90°-∠DBE，
∴∠DAB=∠BCE，
∴∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO，
则与∠ECB相等的角有5个．
图中与∠BCE相等的角除对顶角外还有4个
故选C．
【即学即练】如图，正方形的边长为，点在上，以为圆心的扇形与边相切于点，与两边交于点，，则弧长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：当点与或点重合时，圆心角为，此时弧最长，
根据正方形和扇形的对称性可得，当点在中点时，此时弧的长度最短，且，
∵正方形的边长为，以为圆心的扇形与边相切，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弧的长度为．
故选：C．
【典例14】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π
【答案】D
【详解】解：作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BD＝CD＝6，
∴AD＝＝8，
∴＝×12×8﹣π×＝48﹣．
故选：D．
【即学即练】如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，∠B+∠E=（ ）
A．325° B．145° C．215° D．395°
【答案】C
【详解】解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠CED=∠CAD=35°，
∴∠B+∠AED=180°+35°=215°．
故选：C．
【典例15】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝6，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 _____．（结果保留π）
【答案】
【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=6，
∴AC=BD＝6，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∴，
故答案为：．
【即学即练】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（－3，0），B（0，3），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为____．
【答案】
【详解】解：连接、．
是的切线，
；
根据勾股定理知，
当时，线段最短；
又，，，，
，
，
，
．
故答案为：．
【典例16】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D．若BE=6，AB=8．
(1)求证：BE=CF；
(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴弧BE=弧FC
∴BE=CF．
（2）解：连接OC，如图所示：
∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝∠CAE，
∴∠AOC＝2∠CAE，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO＝∠AOC，
∵，
∴，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵BE=6，AB=8，∠ABE=90°
∴，
∴AO＝CO＝5，
∴．
【即学即练】接BD和CD．
(1)求证：．
(2)，，，求AD．
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵I为三角形ABC的内心，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）如图，过点作于，过点作于点，
，，，则，
，，则，
，
，
，
，，
，
，
过点，作的垂线，垂足分别为，如图，
I为三角形ABC的内心，
，
设，
，
即，
解得，
中，，
，
，
（3）如图，设为三角形ABC的外接圆的圆心，连接，
，
，
，
，且，
，
是等边三角形，
，
圆的半径为，
．
考法05 与圆的切线相关的证明与计算
【典例17】下列命题中的真命题是（ ）
①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线 ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【详解】①相等的角不一定是对顶角，故①错误；
②矩形的对角线互相平分且相等，故②正确；
③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，故③错误；
④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，故④正确，
所以正确的是②④，
故选D．
【即学即练】下列命题中，
①直径是弦；
②平分弦的直径必垂直于弦；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④等弧所对的弦相等．
⑤经过半径的一端并垂直于半径的直线是圆的切线．正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；
平分弦（非直径）的直径必垂直于弦，所以②错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③错误；
等弧所对的弦相等．所以④正确；
经过半径的外端并垂直于半径的直线是圆的切线．所以⑤错误．
故选B．
【典例18】如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【详解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【即学即练】如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的⊙O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列判断：（1）AC与BD的交点是⊙O的圆心；（2）AF与DE的交点是⊙O的圆心；（3）AE=DF；（4）BC与⊙O相切，其中正确判断的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，
∴CG＝BG，
∵CD＝BA，根据勾股定理可得，
∴AG＝DG，
∴GH垂直平分AD，
∴点O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切；
∵OG＝OD，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
∵∠ADF＝∠DAE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；AE=DF；
∴（1）错误，（2）（3）（4）正确．
故选：B．
【典例19】在正方形ABCD中，以AB为直径做半圆，过点D做DE切圆O于点F，交BC于点E，正方形的边长为2，求阴影面积______．
【答案】1.5
【详解】∵四边形ABCD正方形，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，∠C＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD，BC是⊙O的切线，
∵DE切圆O于点F，交BC于点E，
∴BE＝EF，AD＝DF＝2，
设CE＝x，则BE＝EF＝2－x，DE＝DF＋EF＝4－x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
，
∴，
解得x＝1.5，
∴CE＝1.5，
∴阴影面积＝，
故答案为：1.5
【即学即练】如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE交于点F，经过点E作EG⊥BC于G，交BD于H，过点E作EM⊥AC于M．则下列结论：①BE＝EM；②∠ECA＝∠BEG；③EH＝BF；④EM是⊙O的切线．其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号）
【答案】②③④
【详解】解：∵BC为⊙O直径，
∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC，
又∵AC＝BC，
∴AE＝BE，
∵EM⊥AC，
∴EM＜AE，
∴BE＞EM，
故①错误；
连接OE．
∵由以上证明过程得到CE是等腰△ABC的中垂线，则∠BCE＝∠ECA，故∠BCE＝∠DCE，
∴，
∴OE⊥BD，
∵BC是直径，
∴BD⊥AC
又∵EM⊥AC，
∴，
∴EM⊥OE，
∴EM是切线．
故④正确；
∵在直角△EBC中，EG⊥BC，∠BEC=90°，
∴，
∴∠ECG＝∠BEG，
又∵∠BCE＝∠ECA，即∠ECG＝∠ECA
∴∠ECA＝∠BEG．
故②正确；
∵∠EBD＝∠ECD（同弧所对的圆周角相等），∠BEG＝∠ECA（已证），
∴∠EBH＝∠BEH，
∴BH＝EH，
∵∠BEG+∠GEC＝∠EBD+∠EFB＝90°，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴EH＝FH，
∴EH＝FH＝BH＝BF，即EH＝BF．
故③正确．
故答案为：②③④．
【典例20】如图，已知 AB、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16．
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)求直径AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)20
【详解】（1）证明：如图，连接OD，BC；
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BCDE；
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）设BC与DO交于点F，
由（1）可得四边形CFDE为矩形；
∴CF=DE=6，
∵OD⊥BC，
∴BC=2CF=12，
在Rt△ABC中，
AB==20．
【即学即练】如图，直线经过上的点C，并且，，交直线于E、D，连，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)试猜想，，三者之间的等量关系，并加以证明；
(3)若，的直径为5，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)6.5
【详解】（1）证明：连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是的半径，
∴AB是的切线；
（2）解：，理由如下：
∵ED是直径，
∴∠ECD=90°．
∴∠E+∠EDC=90°，
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E，
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵△BCD∽△BEC，
∴，
设BD=2x，则BC=3x，
∵，
∴，
解得：x=2或0（舍去），
∴BD=2x=4，
∵的直径为5，
∴OD=2.5，
∴OA=OB=BD+OD=6.5．
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