初中21.2.2 公式法教案

这是一份初中21.2.2 公式法教案，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

21.2.2公式法
一、教学目标
1.经历求根公式的推导过程.（难点）
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
二、教学重难点
重点：b2-4ac>0⟺一元二次方程有两个不相等的实根；
b2-4ac=0⟺一元二次方程有两个相等的实数；
b2-4ac<0⟺一元二次方程没有实根．
难点：从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
[提出问题]任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0). 能否也用配方法得出它的解呢？
【新知探究】
（一）公式法解一元二次方程
用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0).
[课件展示]解:移项，得ax2+bx =-c，二次项系数化为1，得x2+bax=-ca，
配方，得x2+bax+b2a2=-ca+b2a2,即x+b2a2=b2-4ac4a2
[思考]接下来能用直接开平方解吗？
[课件展示]∵a ≠0,∴4a2>0，
（1）当b2-4ac＞0时，得x+b2a=±b2-4ac2a,∴x=-b±b2-4ac2a
方程有两个不相等的实数根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.
（2）当b2-4ac=0时，易得方程有两个相等的实数根x1=x2=-b2a
（3）当b2-4ac＜0时，x+b2a2=b2-4ac4a2<0
而x取任何实数都不能使上式成立.因此，方程无实数根.
（二）一元二次方程根的判别式
一般地，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“∆”表示，即∆=b2-4ac.
[归纳总结]
判别式的情况
根的情况
∆>0
两个不相等实数根
∆=0
两个相等实数根
∆<0
没有实数根
[思考]按要求完成下列表格：0
4
没有实数根
有两个不相等的实数根


3x2-4x+43=0
-13x2+x-1=0
x2-1=0
∆的值
0
-13
4
根的情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
【新知探究】
例1用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解：∵a=5,b=-4,c=-12，b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
∴x=-b±b2-4ac2a =-(-4)±2562×5=4±1610=2±85.  ∴x1=2, x2=-65.
例2 解方程：x2+3=23x
解：化为一般式x2-23x+3=0,
a=1,b=-23,c=3,b2-4ac=-232-4×1×3=0
∴x=-（-23）±02×1=232×1=3，即 x1=x2=3.
例3 解方程：4x2-3x+2=0
解：a=4,b=-3,c=2,b2-4ac=-32-4×4×2=9-32=-23<0.
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.

例4 解方程：x2+x-1=0（精确到0.001）.
解：a=1,b=1,c=-1,b2-4ac=12-4×1×-1=5>0,x=-1±52
用计算器求得：
[总结并板书]公式法解方程的步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算:b2-4ac的值;
4.判断:若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
【课堂小结】

【课堂训练】
1.已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( B )
A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定
2.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围( B )
A.k>-1 B.k>-1且k≠0
C.k<1 D.k<1且k≠0
3.不解方程，判断下列方程的根的情况:

（1）3x2+4x－3=0；
解（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3,
∴b2－4ac
=32－4×3×(－3)
=52＞0.
∴方程有两个不相等
的实数根．
（2）4x2=12x－9;
（2）方程可化为：
4x2－12x+9=0,
∴b2－4ac
=(－12)2－4×4×9
=0.
∴方程有两个相等的实数根．

(3) 7y=5(y2+1).
（3）方程可化为：
5y2－7y+5=0,
∴b2－4ac
=(－7)2－4×5×5
=－51＜0.
∴方程没有实数根．


4.解方程：x2 +7x–18 = 0.
解：a=1, b= 7, c= -18.∵b2 -4ac =72–4×1×(-18)=121>0,
x=-7±1212=-7±112. 即x1 = -9, x2 = 2 .
5. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号 ，得 x –2 -3x2 + 6x = 6,
化为一般式3x2 - 7x + 8 = 0,
a = 3, b = -7 ,c = 8.
∵b2 - 4ac=(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96 = - 47 < 0,
∴原方程没有实数根.
6.不解方程，判别关于x的方程x2+22kx+k2=0的根的情况.
解：Δ=22k2-4×1×k2=8k2-4k2=4k2,k2≥0
∴4k2≥0,∴Δ≥0.∴方程有两个实数根．
【拓展提高】
在等腰△ABC中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：∵关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.解得：b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；
将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
∴△ABC的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.



【布置作业】

【教学反思】
教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程前提是Δ≥0.