山东省泰安市肥城市2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试题（五四学制）（含答案）

这是一份山东省泰安市肥城市2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试题（五四学制）（含答案），共29页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把正确答案的字母
1．下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，可变形为（　　）
A． B．
C．（3x﹣1）2＝1 D．
3．下列计算，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交l1、l2、l3于点D、E、F，已知，若DE＝3，则DF的长是（　　）

A． B．4 C． D．7
5．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（　　）

A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
6．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）

A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
7．已知1＜a＜3，那么化简代数式﹣的结果是（　　）
A．5﹣2a B．2a﹣5 C．﹣3 D．3
8．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18
C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　）

A． B．1 C． D．2
10．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分四边形ABCD的对角线AC、BD的长度是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个实数根，则四边形ABCD的面积可以表示为（　　）

A．p B． C．q D．
11．如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为﹣1，则点P的坐标为（　　）

A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C． D．
12．如图，菱形ABCD的边长为4，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（请在答题纸的相应位置写出最后结果）
13．若关于x的方程 kx2+2x+1＝0 有实数根，则实数k的取值范围是 　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是 　 　．

15．已知a＝3+，b＝3﹣，则a2b+ab2＝　 　．
16．如图，在△ABC中，BC＝4，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当 时，EP+BP的值为 　 　．

17．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝4，BD＝2，DE⊥AB，垂足为E，则DE的长度为 　 　．

18．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a＝，b＝，得ab＝1，记S1＝，S2＝，…，S10＝，则S1+S2+…+S10＝　 　．
三、解答题（本题共计7小题，共计78分，解答应写出计算过程、文字说明或推演
19．计算：
（1）0；
（2）（）（）+6﹣（）2．
20．按要求解下列方程：
（1）2x2﹣4x+1＝0 （配方法）；
（2）（3x+1）2＝9（2x+3）2 （自己喜欢的方法）．
21．小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：
（1）如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，若∠ACP＝∠B，求证：△ACP∽△ABC；
（2）如图2，已知∠A＝60°，AC2＝AB•AD，BC＝BD，求∠ABC的度数．

22．数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB；

23．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．

24．2021年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的成本是200元/个，2020年与2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的成本降低到162元/个．
（1）若这两年此类电脑显卡成本下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某商场以高于成本价10%的价格购进若干个此类电脑显卡，以216.2元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1120元，单价应降低多少元？
25．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC、BD交点，AF平分∠DAC交于点G，交DG于点F．
（1）求证：△AEG∽△ADF；
（2）判断△DGF的形状并说明理由；
（3）若AG＝1，求GF的长．

26．附加题（本题仅供有兴趣的同学选择使用）
如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，，∠BAD＝∠CBD＝30°，求AD的值．


2022-2023学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把正确答案的字母
1．下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【解答】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20＝22×5，该二次根式的被开方数中含开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式．
2．用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，可变形为（　　）
A． B．
C．（3x﹣1）2＝1 D．
【分析】先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，然后方程两边加上1，最后把方程左边写成完全平方的形式即可，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：∵3x2﹣6x+2＝0，
∴x2﹣2x＝﹣，
∴x2﹣2x+1＝﹣+1，
∴（x﹣1）2＝，所以A选项和B选项不符合题意，D选项符合题意；
（3x﹣1）2＝1可化为3x2﹣2x＝0，所以C选项不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
3．下列计算，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】A、B、C、根据合并同类二次根式的法则即可判定；
D、利用根式的运算法则计算即可判定．
【解答】解：A、B、D不是同类二次根式，不能合并，故选项错误；
C、＝2﹣2＝0，故选项正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查二次根式的运算，应熟练掌握各种运算法则，且准确计算．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交l1、l2、l3于点D、E、F，已知，若DE＝3，则DF的长是（　　）

A． B．4 C． D．7
【分析】由直线l1∥l2∥l3可得出＝，结合＝，AC＝AB+BC可得出的值，进而可得出EF＝DE＝4，再将其代入DF＝DE+EF中即可求出结论．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝．
∵＝，AC＝AB+BC，
∴＝＝，
∴EF＝DE＝4，
∴DF＝DE+EF＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
5．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（　　）

A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：设DE＝x，
∵DE：AD＝1：3，
∴AD＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝x，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝（）2＝（）2＝，
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键．
6．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）

A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
【解答】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
7．已知1＜a＜3，那么化简代数式﹣的结果是（　　）
A．5﹣2a B．2a﹣5 C．﹣3 D．3
【分析】先把被开方数分解因式，再化简求值．
【解答】解：∵1＜a＜3，
∴a﹣1＞0，a﹣3＜0，
∴﹣
＝|a﹣1|﹣|a﹣4|
＝a﹣1+a﹣4
＝2a﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
8．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18
C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
【分析】第一天为2，根据增长率为x得出第二天为2（1+x），第三天为2（1+x）2，根据三天累计为18，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝18．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　）

A． B．1 C． D．2
【分析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，证得△AEM≌GDM，得到AM＝MG，AE＝DG＝AB，根据三角形中位线定理得到MN＝FG，由勾股定理求出FG即可得到MN．
【解答】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝，
∴FG＝＝2，
∴MN＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出AM＝MG是解决问题的关键．
10．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分四边形ABCD的对角线AC、BD的长度是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个实数根，则四边形ABCD的面积可以表示为（　　）

A．p B． C．q D．
【分析】过D点作DE⊥AB于E，过B点作BF⊥AD于F，如图，利用纸条等宽得到AB∥CD，AD∥BC，DE＝BF，则可判断四边形ABCD为平行四边形，接着利用面积法得到AD＝AB，于是可判断四边形ABCD为菱形，利用菱形的面积公式得到四边形ABCD的面积＝AC•BD，然后根据根与系数的关系进行判断．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，过B点作BF⊥AD于F，如图，
由题意得AB∥CD，AD∥BC，DE＝BF，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵S△ABD＝AD•BF＝AB•DE，
∴AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的面积＝AC•BD，
∵AC、BD的长度是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个实数根，
∴AC•BD＝q，
∴四边形ABCD的面积＝q．
故选：D．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了菱形的判定与性质．
11．如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为﹣1，则点P的坐标为（　　）

A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C． D．
【分析】根据位似图形的概念得到EF∥OC，DE∥OP，进而证明△CED∽△CPO，△POD∽△PAB，根据相似三角形的性质求出OP，得到答案．
【解答】解：∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（2，3），
∴AB＝OC＝3，OA＝2，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，
∴EF∥OC，DE∥OP，
∴△CED∽△CPO，△POD∽△PAB，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
解得：OP＝2，OD＝，
∴点P的坐标为（﹣2，0），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出EF∥OC，DE∥OP是解题的关键．
12．如图，菱形ABCD的边长为4，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】首先确定出△PCE的周长的最小值就是PE+PC的最小值+2，然后利用将军饮马问题的模型构造出△PCE的周长的最小值AE，再利用勾股定理求出AE，进而解决问题．
【解答】解：连接AE交BD于点P，连接AC，PC，

∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线BD所在直线是其一条对称轴，点A，点C关于直线BD对称，
∴PC＝PA，
∵E是BC的中点，
∴EC＝EB＝2，
∵△PCE的周长＝PC+PE+EC＝PA+PE+2，
∴要求△PCE的周长的最小值可先求出PA+PE的最小值即可，
而PA+PE的最小值就是AE的长，
过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∵∠DAB＝60°，
在Rt△BEF中，
BF＝BE•cos60°＝1，EF＝BE•sin60°＝，
在Rt△AEF中，
∵AF＝AB+BF＝4+1＝1，EF＝，
∴AE＝，
∴△PCE的周长的最小值为，
故选：A．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，特殊值的三角函数，掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键．
二、填空题（请在答题纸的相应位置写出最后结果）
13．若关于x的方程 kx2+2x+1＝0 有实数根，则实数k的取值范围是 　k≤1　．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
【解答】解：∵关于x的方程 kx2+2x+1＝0 有实数根，
∴当k≠0时，Δ＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∴k≤1且k≠0，
当k＝0时，
此时方程为3x+1＝0，满足题意，
故答案为：k≤1．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是 　（﹣1，2）或（1，﹣2）　．

【分析】把点A的横纵坐标分别乘以或﹣即可得到点A′的坐标．
【解答】解：∵位似中心为原点，相似比为，
∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即（﹣1，2）或（1，﹣2）．
故答案为（﹣1，2）或（1，﹣2）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
15．已知a＝3+，b＝3﹣，则a2b+ab2＝　6　．
【分析】先把要求的式子变形为ab（a+b），再代入计算即可．
【解答】解：∵a＝3+，b＝3﹣，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（3+2）（3﹣2）（3+2+3﹣2）＝6；
故答案为：6．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是平方差公式、因式分解，关键是通过因式分解把要求的式子进行变形．
16．如图，在△ABC中，BC＝4，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当 时，EP+BP的值为 　8　．

【分析】延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M＝∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM＝∠CBM，从而得到∠M＝∠PBM，根据等角对等边可得BP＝PM，求出EP+BP＝EM，再根据CQ＝CE，求出EQ＝2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M＝∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM＝∠CBM，
∴∠M＝∠PBM，
∴BP＝PM，
∴EP+BP＝EP+PM＝EM，
∵CQ＝CE，
∴EQ＝2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴＝2，
∴EM＝2BC＝2×4＝8，
即EP+BP＝8．
故答案为：8．

【点评】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP＝EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
17．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝4，BD＝2，DE⊥AB，垂足为E，则DE的长度为 　4　．

【分析】根据菱形的面积公式可得•AC•BD＝AB•DE，利用勾股定理求出AB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝OD＝，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝•AC•BD＝AB•DE，
∴DE＝＝4，
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用菱形的两种面积公式，构建方程解决问题．
18．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a＝，b＝，得ab＝1，记S1＝，S2＝，…，S10＝，则S1+S2+…+S10＝　10　．
【分析】利用分式的加减法则分别可求S1＝1，S2＝1，S10＝1，即可求解．
【解答】解：∵S1＝＝＝1，S2＝＝＝1，…，S10＝＝＝1，
∴S1+S2+…+S10＝1+1+…+1＝10，
故答案为10．
【点评】本题考查了分式的加减法，找出的规律是本题的关键．
三、解答题（本题共计7小题，共计78分，解答应写出计算过程、文字说明或推演
19．计算：
（1）0；
（2）（）（）+6﹣（）2．
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则和零次幂的运算法则进行计算，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式、二次根式的性质、完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算、零指数幂，熟练掌握二次根式的运算法则、平方差公式、完全平方公式是解题关键．
20．按要求解下列方程：
（1）2x2﹣4x+1＝0 （配方法）；
（2）（3x+1）2＝9（2x+3）2 （自己喜欢的方法）．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）2x2﹣4x+1＝0，
x2﹣2x+＝0，
x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝﹣+1，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（3x+1）2＝9（2x+3）2，
（3x+1）2﹣9（2x+3）2＝0，
[3x+1+3（2x+3）][3x+1﹣3（2x+3）]＝0，
（9x+10）（﹣3x﹣8）＝0，
x1＝﹣，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21．小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：
（1）如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，若∠ACP＝∠B，求证：△ACP∽△ABC；
（2）如图2，已知∠A＝60°，AC2＝AB•AD，BC＝BD，求∠ABC的度数．

【分析】（1）根据∠ACP＝∠B，∠CAP＝∠BAC即可得出结论；
（2）先由AC2＝AB•AD得AD：AC＝AC：AB，再根据∠CAB＝∠DAC可判定△ACB和△ADC相似，进而得∠ACB＝∠D，然后由BC＝BD得∠BCD＝∠D，据此可得出∠ACD＝2∠D，然后利用三角形的内角和定理可求出∠D＝40°，进而可求出∠ABC的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ACP＝∠B，∠CAP＝∠BAC，
∴△ACP∽△ABC；
（2）解：∵AC2＝AB•AD，
∴AD：AC＝AC：AB，
又∵∠CAB＝∠DAC，
∴△ACB∽△ADC，
∴∠ACB＝∠D，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠D，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝2∠D，
∵∠ACD+∠D+∠A＝180°，∠A＝60°，
∴2∠D+∠D+60°＝180°，
∴∠D＝40°，
∴∠BCD＝∠D＝40°，
∴∠ABC＝∠BCD+∠D＝80°．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解答此题的关键是理解两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例、对应角相等．
22．数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB；

【分析】根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．
【解答】解：设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴＝，
∴＝，
∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
解得：y＝20，
把y＝20代入＝中，得x＝15，
∴树的高度AB为15米．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
23．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．

【分析】（1）由题意可得△AFD≌△CED（AAS），则AF＝EC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形；又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的性质可得AF＝CF，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得结论；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，根据题意可得∠AEG＝60°，AE＝2，则BG＝AG＝，AB＝BG＝．
【解答】解：（1）证明：如图，
在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，
∴平行四边形AECF是菱形．
（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，

由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，
∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，
∴∠AEB＝∠FAE＝60°，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠AGE＝90°，
∴∠GAE＝30°，
∴GE＝AE＝1，AG＝GE＝，
∵∠B＝45°，
∴∠GAB＝∠B＝45°，
∴BG＝AG＝，
∴AB＝BG＝．
【点评】本题主要考查菱形的性质与判定，含30°角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据45°，30°等特殊角作出正确的垂线是解题关键．
24．2021年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的成本是200元/个，2020年与2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的成本降低到162元/个．
（1）若这两年此类电脑显卡成本下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某商场以高于成本价10%的价格购进若干个此类电脑显卡，以216.2元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1120元，单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价＝2019年该类电脑显卡的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设平均下降率为x，
依题意，得200（1﹣x）2＝162．
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（216.2﹣m﹣162×110%）＝（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1120．
整理，得m2﹣28m+180＝0．
解得m1＝10，m2＝18．
∵为了减少库存，
∴m＝18，
答：单价应降低18元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC、BD交点，AF平分∠DAC交于点G，交DG于点F．
（1）求证：△AEG∽△ADF；
（2）判断△DGF的形状并说明理由；
（3）若AG＝1，求GF的长．

【分析】（1）证明两个角对应相等即可．
（2）通过计算证明∠DGF＝∠DFG＝67.5°，推出DG＝DF．
（3）证明AD＝AE，利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC⊥BD，∠ADF＝90°，
∴∠AEG＝∠ADF＝90°，
∵AF 平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠EAG，
∴△AEG∽△ADF．
（2）解：结论：△DFG 是 等腰三角形．
理由：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ADB＝∠DAE＝45°，∠ADF＝90°，
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAG＝∠DAC＝22.5°，
∴∠DGF＝∠ADG+∠DAG＝67.5°，∠DFG＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DGF＝∠DFG，
∴DG＝DF
∴△DFG是等腰三角形；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，EA＝ED，
∴△AED是等腰直角三角形；
∴AD＝AE，
∵△AEG∽△ADF，
∴＝＝，
∵AG＝1，
∴AF＝，
∴GF＝AF﹣AG＝﹣1．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
26．附加题（本题仅供有兴趣的同学选择使用）
如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，，∠BAD＝∠CBD＝30°，求AD的值．

【分析】过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质得出＝，证明△BDM∽△CDA，得出＝＝，求出BM＝3，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出AD的长．
【解答】解：如图，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，

∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴＝，
又∠BDC＝∠MDA，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴＝＝，
∵AC＝，
∴BM＝3，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝，
∴AD＝AM＝．
【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
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