高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品精练

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专题02 平面向量基本定理及坐标表示



知识点一
平面向量基本定理

如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
【点拨】(1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0．
(2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．
(3)定理推广：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．
知识点二
平面向量的坐标运算

1．向量坐标的定义
【点拨】
（1）点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关．
（2）点的坐标与向量的坐标的联系：
①当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．
②两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔
注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同．
（3）点的坐标与向量的坐标的区别：
①书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2)．
②给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y)．
2. 平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R.
(1)加法、减法：若，则；
(2)向量的数乘：若，则．
(3)设，则，.
知识点三
平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2＝x2y1时，a∥b．
【点拨】
两个向量共线条件的三种表示方法
(1)当b≠0时，a＝λb．它体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0．有助于解决向量共线问题，其优点在于不需要引入参数“λ”，减少了未知数的个数，从而使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．
(3)当x2y2≠0时，＝．即两向量的相应坐标成比例，更易形象记忆.
知识点四
平面向量数量积的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
1．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
2. 设a＝(x，y)，则|a|＝；设，则，.
3.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
4．平面向量的夹角

【点拨】
（1）向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离.





考点01 平面向量基本定理及其应用
【典例1】（2023秋·辽宁营口·高一校联考期末）在中，，，若（，均大于0），则的值为______.
【答案】15
【分析】利用平面向量基本定理和向量三角形法则，可表示，进而求出，的值，即可求出结果.
【详解】如图所示，在中，，
因为，所以，所以，①
在中，，
因为，所以，所以，代入①，
得，
因为，所以，，
所以，
故答案为：.

【典例2】（2023·高一课时练习）设,是不平行的向量，且，．
(1)证明：,是平面向量的一个基；
(2)用,的线性组合表示．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平面向量共线定理解决即可；（2）根据平面向量基本定理解决即可.
【详解】（1）证明：若,平行，则，即，
所以．
因为,不平行，所以，
因为该方程组无解，
所以，平行不成立，
所以，不平行，
所以，是平面向量的一个基．
（2）设，
又因为，
由向量基本定理，得，解得
所以．
【总结提升】
1.平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
2.在应用平面向量基本定理时，要注意基向量不共线这个条件．若已知条件a＝λ1e1＋λ2e2没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑．
考点02 平面向量的坐标运算
【典例3】（2021秋·新疆喀什·高一校考期末）在中，点在上中点，点是的中点，若，，则等于（  ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，再根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得.
【详解】解：因为点在上中点，点是的中点，
所以，
又，，
所以.
故选：A
【典例4】（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知向量，则下列说法正确的是___________.
（1）
（2）
（3）向量在向量上投影向量的模长是
（4）与向量方向相同的单位向量是
【答案】（1）（4）
【分析】根据向量的数量积的坐标运算，向量的几何意义，向量的投影向量的计算，单位向量的计算方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，向量，
由，则，所以，故（1）正确；
由，可得，故（2）错误；
由向量在向量方向上的投影向量为，
故其模长为，故（3）错误；
由，所以与向量方向相同的单位向量是，故（4）正确；
故答案为：（1）（4）.
【总结提升】
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
考点03 共线的坐标表示及其应用
【典例5】（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）已知向量，，，若与共线，则（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求得的坐标，利用向量共线的坐标表示列出方程，求得答案.
【详解】由题意向量，，，
则，
由于与共线，则，
故选：D
【典例6】（2023·高一课时练习）已知，，则与同向的单位向量的坐标为________．
【答案】
【分析】先由向量的线性运算求得，再由模的坐标表示求得，从而求得所求.
【详解】因为，
所以，故，
则同向的单位向量的坐标为
故答案为：
【典例7】（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，且三点共线.
(1)求实数的值；
(2)已知，，，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求的坐标和点的坐标.
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）由、可构造方程组求得；
（2）根据可求得；设，由可构造方程求得点坐标.
【详解】（1）三点共线，，即，
，解得：.
（2）；
四边形为平行四边形，，
设，则，，，即.
【总结提升】
1.主要命题角度有，一是利用向量共线求向量或点的坐标，二是三点共线问题，三是利用向量共线求参数，总体难度不大.
2.平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，则的充要条件是”解题比较方便．
考点04 数量积的坐标表示
【典例8】（2023·高一课时练习）已知向量，，，则________．（填写=或）
【答案】
【分析】利用向量数量积运算法则和线性运算法则计算出与，得到两者不相等.
【详解】，故，
，故，
故.
故答案为：
【典例9】（2023·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】画出图形，建立平面直角坐标系，利用已知条件求出点的坐标，然后通过二次函数的性质求出数量积的范围.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，
因为，，所以，，
设，则
，
所以，
因为，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：

【总结提升】
解题途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．
考点05 利用垂直求参数
【典例10】（2022·全国·统考高考真题）已知向量．若，则______________．
【答案】##
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
【典例11】（2021·全国·统考高考真题）已知向量．若，则________．
【答案】.
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】,
，解得,
故答案为：.
【总结提升】
注意应用方程思想
考点06 向量的数量积与模的问题
【典例12】（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若为坐标原点，，，，则的最小值是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】根据平面向量的坐标表示以及模长公式，可得出的表达式，通过整体代换利用基本不等式和二次函数单调性即可求得最小值.
【详解】由题意知，，
又可得，
整理得，
令，则，
且，
∴，
∴，即的最小值是3.
故选：C
【典例13】（2023·高一课时练习）已知，．若在方向上的数量投影为3，则实数______．
【答案】
【分析】由在方向上的投影为，代入计算即可得到答案．
【详解】由题意知，，
因为在方向上的投影为，所以，解得.
故答案为：
【总结提升】
利用数量积求解长度（模）问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法是：
(1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝．
(2) ．
(3)设a＝(x，y)，则|a|＝；设，则，.
考点07 向量的数量积与夹角问题
【典例14】（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据和不共线可构造不等式组求得结果.
【详解】夹角为钝角，且不共线，
即且，解得：且，
的取值范围为.
故选：B.
【典例15】（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知平面向量，，，且.
(1)求；
(2)求向量与向量的夹角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示直接构造方程求解即可；
（2）根据向量夹角的坐标运算直接求解即可.
【详解】（1），，解得：，.
（2）由（1）知：，，
又，.
【典例16】（2023·高一课时练习）已知A、B、C的坐标分别为、、，．
(1)若，求角α的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用题给条件求得，进而求得
（2）先利用题给条件求得，进而求得
【详解】（1）、、，
则，,
由，可得,
整理得，则,
又，则．
（2）由（1）可知，,
则，
整理得，两边平方可得,
则
【总结提升】
用坐标求两个向量夹角的四个步骤：
(1)求a·b的值；
(2)求|a||b|的值；
(3)根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦；
(4)由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．

1．（2021·全国·高考真题（文））已知向量，若，则_________．
【答案】
【分析】
利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
2.（2020·北京·统考高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】         
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.


一、单选题
1．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）已知向量，，若，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量平行的坐标表示，建立方程，可得答案.
【详解】由，，，则，解得.
故选：C.
2．（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）设、是两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是（    ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】根据平面向量的基底的概念，判断各选项中的向量是否共线，即可得答案.
【详解】对于A,，和没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确；
对于B，和，没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确；
对于C，，二者是共线向量，不能作为平面向量的一组基底；
对于D，和，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确；
故选：C
3．（2023·高一课时练习）在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，用、的线性组合表示为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量加法的几何意义即可求
【详解】由已知得，.
故选：B

4．（2023·高一课时练习）已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】A
【分析】依据题给条件列出关于的不等式组，解之即可求得实数的取值范围
【详解】向量，且与的夹角为钝角
则，则，且与不共线
则，解之得
故选：A
二、多选题
5．（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）下列说法正确的有（    ）
A．已知，，若与共线，则
B．若，，则
C．若，则一定不与共线
D．若，，为锐角，则实数的范围是
【答案】AD
【分析】根据向量共线的性质可直接判断ABC选项，再根据向量数量积与夹角的关系可判断选项D.
【详解】A选项：，，若与共线，则，，A选项正确；
B选项：当时，，，但不一定成立，B选项错误；
C选项：，无法确定两个向量的方向，两个向量可能共线，C选项错误；
D选项：，，若为锐角，则，解得，D选项正确；
故选：AD.
6．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果.
【详解】设点的坐标为，
由于平行四边形的四个顶点为，
所以可能有以下三种情形：
当时，即，解得，即的坐标为；
当时，即，解得，即的坐标为；
当，即，解得，即的坐标为；
故选：ABC.
三、填空题
7．（2023·高一课时练习）已知，，则在方向上的数量投影为________．
【答案】##0.2
【分析】利用在方向上的数量投影的定义求解.
【详解】解：因为，，
所以在方向上的数量投影为，
故答案为：
8.（2023·高一课时练习）已知，，，，用与的线性组合表示______．
【答案】或
【分析】建系，分别表示，，的坐标，设，然后根据坐标列方程，解方程即可求解.
【详解】情况一：

如图建立平面直角坐标系，由题可知，，，,
设，所以，解得，所以 ；
情况二：

此时，，所以，解得，所以.
故答案为：或.
四、解答题
9.（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考期末）已知向量，求：
(1)若，且，求的坐标；
(2)若﹐求；
(3)若，求k的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）设，根据和列方程组求解即可；
（2）将向量坐标代入，再根据向量相等列方程组求解即可；
（3）求出，再根据向量平行的坐标公式计算即可.
【详解】（1）设，
由，且，得
，解得或
或
（2），

，解得

（3）由已知，
又，
，
解得
10.（2023·高一课时练习）设两个非零向量，不共线，，，．
(1)求证：A、B、D共线；
(2)试确定实数k，使和共线．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）证明出，即可证得结论成立
（2）根据向量共线得到，进而求解结论
【详解】（1）因为，，，
所以，所以，
因为、共点，所以、、三点共线；
（2）∵和共线，
存在实数，使得，
∵非零向量，不共线，
且，可得或
11．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）已知向量，，.
(1)若，求;
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）由，得，解出；
（2）化简，求得的最大值.
【详解】（1）因为，所以，
得，又，所以；
（2）因为，
所以当时，的最大值为5＋4＝9.
12．（2023·高一课时练习）如图，在中，A是CB的中点，D是线段OB的靠近点B的三等分点，DC和OA交于点E，设，．

(1)用和的线性组合分别表示、；
(2)若，求实数λ的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用向量加减及数乘运算，求出，；
（2）在第一问的基础上求出，再由，列出方程组，求出实数λ的值.
【详解】（1）因为，
已知，，
所以．
因为，所以．
（2）设（），
所以．
因为，，所以．
又因为，且、不平行，
所以由向量基本定理知，且，解得：，．