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初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第2课时教案及反思
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第2课时教案及反思，共3页。教案主要包含了学习目标，教学过程等内容，欢迎下载使用。
21.3实际问题与一元二次方程
第2课时增长率问题与一元二次方程
一、学习目标
1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．
2. 正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．
二、 教学重难点
重点：掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．
难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]
问题：通过上节课的学习，请说一说列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么？
【新知探究】
[思考]两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
[分析]甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)
虽然乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)
下降率不可为负，也不可大于1
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1- x)元，两年后甲种药品成本为5000(1- x)2元，依题意得
5000(1－x)2 = 3000，
解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775 (舍去）.
答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
[思考]乙种药品成本的年平均下降率是多少?
22.5%
比较：两种药品成本的年平均下降率
相同
[思考]
经过计算，你能得出什么结论?成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?
[归纳总结]成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格.
[归纳总结]你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？
类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”)．
[思考]
1.某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x，列方程( B )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则x的值是1.
[思考]
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
分析，完成下列问题：
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为900元，
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（20+4x）元，平均每天可售出（45-x）件.（用含x的代数式表示）
（3）等量关系是每件衬衫的利润x每天的销量=2100元.
[思考]根据分析如何列出方程求解？
解：由题意得：（45－x）（20＋4x）=2100，
解得：x1=10，x2=30.
因尽快减少库存，故x=30。
答：每件衬衫应降价30元。
【课堂小结】
【课堂训练】
1.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，每次降价的百分率为29.3%.（精确到0.1%）
2.某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克30元，按每千克50元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元.
（1）设每千克核桃应降价x元，则下列方程正确的是（ B）
A.(50-x)(100+10x)=2240 B. (50-30-x)(100+10x)=2240
C.(50-30-x)(100+x)=2240
（2）设每千克核桃应定价x元则下列方程正确的是（A）
A.(x-30)[100+10(50-x)]=2240 B.(x-50)[100+10(50-x)]=2240
C.(x-30)(100+10x)=2240
（3）请选择一种方法，解得每千克核桃定价（44或46）元
3.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？
[分析]设商品单价为（50+x)元，则每个商品得利润[(50+ x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为(500－10 x)个，根据每件商品的利润×件数=8000，则(500－10 x)·[(50+x)－40]=8000.
解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则
(500－10x)·[(50+x)－40]=8000，
整理得x2－40x+300=0，
解得x1=10，x2=30都符合题意.
当x=10时，50+x=60，500－10x=400；
当x=30时，50+x=80，500－10x=200.
答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进货量应为400；若售价为80元，则进货量应为200个.
4.某水果商在今年1月份用2.2万元购进A种水果和B种水果共400箱。其中A、B两种水果的数量比为5：3。已知A种水果的售价是B种水果售价的2倍少10元，预计当月即可全部售完。
（1）该水果商想通过本次销售至少盈利8000元，则每箱A水果至少卖多少元？
（2）若A、B两种水果在（1）的条件下均以最低价格销售，但在实际销售中，受市场影响，A水果的销量还是下降了a%，售价下降了a%；B水果的销量下降了a%，但售价不变．结果A、B两种水果的销售总额相等.求a的值．
解：（1）设每箱B水果卖x元，则A水果每箱卖（2x－10）元，
根据题意，得：
用2.2万元购进A种水果和B种水果共400箱。其中A、B两种水果的数量比为5：
(2）解得：x≥50，2x－10=100－10=90.
答：A水果每箱至少卖90元，B水果每箱至少卖50元.
根据题意，得：
解得：a%=0.5，
所以a=50.故a的值为50．
【布置作业】
【教学反思】
教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.
21.3实际问题与一元二次方程
第2课时增长率问题与一元二次方程
一、学习目标
1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．
2. 正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．
二、 教学重难点
重点：掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．
难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]
问题：通过上节课的学习，请说一说列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么？
【新知探究】
[思考]两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
[分析]甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)
虽然乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)
下降率不可为负，也不可大于1
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1- x)元，两年后甲种药品成本为5000(1- x)2元，依题意得
5000(1－x)2 = 3000，
解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775 (舍去）.
答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
[思考]乙种药品成本的年平均下降率是多少?
22.5%
比较：两种药品成本的年平均下降率
相同
[思考]
经过计算，你能得出什么结论?成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?
[归纳总结]成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格.
[归纳总结]你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？
类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”)．
[思考]
1.某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x，列方程( B )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则x的值是1.
[思考]
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
分析，完成下列问题：
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为900元，
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（20+4x）元，平均每天可售出（45-x）件.（用含x的代数式表示）
（3）等量关系是每件衬衫的利润x每天的销量=2100元.
[思考]根据分析如何列出方程求解？
解：由题意得：（45－x）（20＋4x）=2100，
解得：x1=10，x2=30.
因尽快减少库存，故x=30。
答：每件衬衫应降价30元。
【课堂小结】
【课堂训练】
1.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，每次降价的百分率为29.3%.（精确到0.1%）
2.某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克30元，按每千克50元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元.
（1）设每千克核桃应降价x元，则下列方程正确的是（ B）
A.(50-x)(100+10x)=2240 B. (50-30-x)(100+10x)=2240
C.(50-30-x)(100+x)=2240
（2）设每千克核桃应定价x元则下列方程正确的是（A）
A.(x-30)[100+10(50-x)]=2240 B.(x-50)[100+10(50-x)]=2240
C.(x-30)(100+10x)=2240
（3）请选择一种方法，解得每千克核桃定价（44或46）元
3.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？
[分析]设商品单价为（50+x)元，则每个商品得利润[(50+ x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为(500－10 x)个，根据每件商品的利润×件数=8000，则(500－10 x)·[(50+x)－40]=8000.
解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则
(500－10x)·[(50+x)－40]=8000，
整理得x2－40x+300=0，
解得x1=10，x2=30都符合题意.
当x=10时，50+x=60，500－10x=400；
当x=30时，50+x=80，500－10x=200.
答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进货量应为400；若售价为80元，则进货量应为200个.
4.某水果商在今年1月份用2.2万元购进A种水果和B种水果共400箱。其中A、B两种水果的数量比为5：3。已知A种水果的售价是B种水果售价的2倍少10元，预计当月即可全部售完。
（1）该水果商想通过本次销售至少盈利8000元，则每箱A水果至少卖多少元？
（2）若A、B两种水果在（1）的条件下均以最低价格销售，但在实际销售中，受市场影响，A水果的销量还是下降了a%，售价下降了a%；B水果的销量下降了a%，但售价不变．结果A、B两种水果的销售总额相等.求a的值．
解：（1）设每箱B水果卖x元，则A水果每箱卖（2x－10）元，
根据题意，得：
用2.2万元购进A种水果和B种水果共400箱。其中A、B两种水果的数量比为5：
(2）解得：x≥50，2x－10=100－10=90.
答：A水果每箱至少卖90元，B水果每箱至少卖50元.
根据题意，得：
解得：a%=0.5，
所以a=50.故a的值为50．
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教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.
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