安徽省安庆市潜山县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份安徽省安庆市潜山县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省安庆市潜山县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中是最简二次根式的为(    )
A. 32 B. 210 C. 1.5 D. 43
2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是(    )
A. (x+1)2=3 B. (x+1)2=6 C. (x-1)2=3 D. (x-1)2=6
3. 为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间(时间均保留整数)，将样本数据绘制成统计图(如图)，其中有两个数据被遮盖．关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
4. 一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形是(    )
A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是(    )
A. B.
C. D.
6. 关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的两实数根x1，x2，满足x1x2=2，则(x12+2)(x22+2)的值是(    )
A. 8 B. 32 C. 8或32 D. 16或40
7. 如图，矩形ABCD的周长为1，连接矩形ABCD四条边中点得到四边形A1B1C1D1，再连接四边形A1B1C1D1四条边中点得到四边形A2B2C2D2，如此继续下去，…，则四边形A10B10C10D10的周长为(    )

A. (12)5 B. (12)10 C. (14)5 D. (14)10
8. 已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是(    )
A. ab B. ba C. a+b D. a-b
9. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上.若CE=3cm，AF=2EF，则AB=(    )
A. 6cm
B. 33cm
C. 45cm
D. 35cm
10. 如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连结AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是(    )

A. 先变大后变小 B. 先变小后变大
C. 不变，等于12∠ABC D. 不变，等于13∠BCD
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 化简：32a3b(a<0)=______ ．
12. 如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上的一点E，且BE=4，CE=3，则AB的长是______ ．

13. 某商品连续两次降价后的价格比降价之前减少了19%，则平均每次降价的百分率______
14. 如图，AB⊥EF，CD⊥EF，垂足分别为B、D.点P和点Q从点D出发，分别沿DE，DF方向以相同的速度匀速运动，若AB=CD=4，BD=6．
(1)当DQ=3时，AP=______ ；
(2)在点P，Q的运动过程中，AP+CQ的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算：48÷3+12×12-24．
16. (本小题8.0分)
解方程：3x2-5x=4(x+3)．
17. (本小题8.0分)
图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1.请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．
(1)在图1中画一个周长为85的菱形ABCD(非正方形)；
(2)在图2中画出一个面积为9，且∠MNP=45°的▱MNPQ，
并直接写出▱MNPQ较长的对角线的长度．

18. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设p是方程的一个实数根，且满足(p2-2p+3)(m+4)=7，求m的值．
19. (本小题10.0分)
如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF=120°，且边EF与直线DC相交于点F．
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)找出图中与线段AE相等的线段，并说明理由．

20. (本小题10.0分)
每年的4月15日是我国全民国家安全教育日.某校开展了“国家安全法”知识竞赛，现从七、八年级学生中各抽取50名学生的竞赛成绩进行统计分析，相关数据整理如下．

平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
七年级
a
c
70
八年级
a
80
d
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a=______ ，b=______ ，c=______ ，d=______ ；
(2)估计该校七、八年级共500名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数；
21. (本小题12.0分)
如图所示，在平面直角坐标系中，点B(1,2)，AB⊥y轴于点M，点C在x轴的正半轴上，且AB=OC=m，连接AC，BO．
(1)证明：四边形ABCO是平行四边形；
(2)当AC⊥BO时，求m的值；
(3)当△BOC为等腰三角形时，直接写出m的值．

22. (本小题12.0分)
某农场要建一个饲养场(长方形ABCD)，两面靠墙(AD位置的墙最大可用长度为27m，AB位置的墙最大可用长度为15m)，另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的HE、GF、HG三处各留0.75m、0.75m、1.5m宽的门(不用栅栏).建成后栅栏总长45m．
(1)若饲养场(长方形ABCD)的一边CD长为10m，则另一边BC=______ m.
(2)若饲养场(长方形ABCD)的面积为165m2，求边CD的长．
(3)饲养场的面积能达到195m2吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．

23. (本小题14.0分)
如图，Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF和∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，点B、D为垂足．
(1)直接写出∠EAF=______ °；
(2)①求证：四边形ABCD是正方形；
②若BE=EC=4，求DF的长．
(3)如图(2)，在△PQR中，∠QPR=45°，高PH=7，QH=3，直接写出HR的长度是______ ．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A、32=42，所以32不是最简二次根式，错误；
B、210是最简二次根式，正确；
C、1.5=32=62，所以1.5不是最简二次根式，错误；
D、43=233，所以43不是最简二次根式，错误；
故选：B．
根据最简二次根式的概念进行判断即可．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

2.【答案】C 
【解析】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即(x-1)2=3．
故选：C．
方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：由统计图可知，
平均数无法计算，众数无法确定，方差无法计算，而中位数第25、26名学生都是9小时，即(9+9)÷2=9，
故选：B．
根据条形统计图中的数据，可以判断出平均数、众数、方差无法计算，可以计算出中位数，本题得以解决．
本题考查条形统计图、平均数、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

4.【答案】B 
【解析】解：设多边形的边数是n，则(n-2)⋅180=3×360，
解得：n=8，
故选：B．
根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．
本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是解题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：A、∵12ab+12c2+12ab=12(a+b)(a+b)，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×12ab+c2=(a+b)2，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×12ab+(b-a)2=c2，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的两实数根x1，x2，满足x1x2=2，
则x1+x2=-2m，x1⋅x2=m2-m=2，
∴m2-m-2=0，解得m=2或m=-1，
∵方程有两实数根，
∴Δ=4m2-4(m2-m)=4m>0，即m>0
∴m=2
∴x1+x2=-4，
(x12+2)(x22+2)
=(x1x2)2+2(x1+x2)2-4x1x2+4，
=22+2×(-4)2-4×2+4=32；
故选：B．
根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1⋅x2=m2-m=2，进而求得m=2或m=-1，
再利用方程有解求得m的取值范围确定m的值，再把原式变形，代入计算即可．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．

7.【答案】A 
【解析】解：顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，则四边形A2B2C2D2的周长为矩形ABCD周长的12，
顺次连接四边形A3B3C3D3四边的中点得到四边形A4B4C4D4，则四边形A4B4C4D4的周长为四边形A2B2C2D2周长的一半，即为矩形ABCD周长的(12)2，
∴A10B10C10D10的周长为矩形ABCD周长的(12)5为1×(12)5=(12)5，
故选：A．

8.【答案】D 
【解析】解：∵关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是-a，
∴(-a)2-ab+a=0，即a2-ab+a=0，
∵a≠0，
∴a-b=-1，
∴a-b的值恒为常数，
故选：D．
由关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是-a，得(-a)2-ab+a=0，即a2-ab+a=0，故a-b=-1，即可得答案．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程解的定义，得到a-b=-1．

9.【答案】D 
【解析】解：由翻折得EF=CE=3cm，∠DEF=∠DEC，
∵AF=2EF，
∴AF=6cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，∠B=90°，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠DEF=∠ADE，
∴AD=AE，
∴BC=AD=AE=AF+EF=9cm，
∴BE=BC-CE=6cm，
∴AB=AE2-BE2=92-62=35(cm)，
故选：D．
由翻折得EF=CE=3cm，∠DEF=∠DEC，则AF=2EF=6cm，由矩形的性质得AD//BC，AD=BC，∠B=90°，则∠ADE=∠DEC，所以∠DEF=∠ADE，则BC=AD=AE=AF+EF=9cm，BE=BC-CE=6cm，所以AB=AE2-BE2=35cm，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明AD=AE是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：连接AC，交BD于O，连接EO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵EG是AP的垂直平分线，
∴AG=PG，∠AEG=∠AOB=90°，
∴A、E、G、O四点共圆，
∴∠PAG=∠EOB，∠APG=∠PAG，
∴∠EOG=∠APG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，
∵AE=PE，
∴OE//BC，
∴∠EOG=∠DBC=12∠ABC=∠APG，
∵菱形ABCD固定，
∴∠ABC的度数固定，
即∠APG的度数不变，
故选：C．
根据菱形的性质得出∠AOB=90°，AO=CO，求出A、E、G、O四点共圆，得出∠PAG=∠EOB，∠APG=∠PAG，求出∠APG=∠EOB=∠DBC，即可求出答案．
本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线性质，三角形中位线定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．

11.【答案】-4a2ab 
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次根式的化简，正确理解a2=a (a≥0)-a (a<0)是关键．
由a<0，32a3b≥0，可得b≤0，ab≥0，再根据a2=a (a≥0)-a (a<0)即可化简求值．

【解答】
解：
∵a<0，32a3b≥0，
∴b≤0，ab≥0，
∴32a3b=16a2×2ab=-4a2ab，
故答案是：-4a2ab．


  
12.【答案】2.5 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC、∠BCD的角平分线的交点E落在AD边上，
∴∠BEC=12×180°=90°，
∵BE=4，CE=3，
∴BC=42+32=5，
∵∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，∠DEC=∠ECB，
∴∠ABE=∠AEB，∠DEC=∠DCE，
∴AB=AE，DE=DC，即AE=ED=12AD=12BC=2.5，
由题意可得：AB=CD，AD=BC，
∴AB=AE=2.5．
故答案为：2.5．
根据平行四边形的性质可证明△BEC是直角三角形，利用勾股定理可求出BC的长，利用角平分线的性质以及平行线的性质得出∠ABE=∠AEB，∠DEC=∠DCE，进而利用平行四边形对边相等进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质和角平分线的性质，勾股定理等知识，正确把握平行四边形的性质是解题关键．

13.【答案】10% 
【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：(1-x)2=1-19%，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不符合题意，舍去)，
∴平均每次降价的百分率是10%．
故答案为：10%．
设平均每次降价的百分率为x，利用原价×(1-平均每次降价的百分率)2=经过连续两次降价后的价格(原价当成1)，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

14.【答案】5  10 
【解析】解：(1)∵点P和点Q速度相同，DQ=3，
∴DP=DQ=3，
∵BD=6，
∴BP=6-3=3，
又∵AB⊥EF，AB=4，
∴AP=AB2+BP2=5，
故答案为：5；
(2)如图，延长AB到A'，使A'B=AB，连接A'C交BD于点P，连接AC，
由(1)得DP=DQ，
∵CD⊥EF，
∴CD是PQ的垂直平分线，
∴CP=CQ，
∵AB⊥EF，A'B=AB，
∴EF是AA'的垂直平分线，
∴AP=A'P，
∴AP+CQ=A'P+CP，
∵AB⊥EF，CD⊥EF，AB=CD=4，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=6，
在Rt△AA'C中，AA'=4+4=8，AC=6，
∴A'C=AC2+AA'2=10，
∴A'P+CP的最小值是10，
即AP+CQ的最小值是10，
故答案为：10．
(1)根据已知条件，点P和点Q从点D出发，以相同的速度匀速运动，可知DP=DQ，已知BD=6.可求BP的长，在Rt△ABP中，AB=4，根据勾股定理可求AP；
(2)延长AB到A'，使A'B=AB，连接A'C交BD于点P，连接AC，由DP=DQ，CD⊥EF，可推出CD垂直平分PQ，根据垂直平分线的性质得CP=CQ，所以AP+CQ=AP+CP，因为AB⊥EF，A'B=AB，所以AA'被EF垂直平分，可得AP=A'P，根据两点之间线段最短可知AP+CP=A'P+CP=A'C，根据已知可证四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质可得AC=BD=6，又因为∵根据勾股定理可求A'C的值，即可求解．
本题主要考查了将军饮马问题模型，勾股定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及性质，正确理解题意作出适当的辅助线是解题的关键．

15.【答案】解：48÷3+12×12-24
=16+6-26=4+6-26
=4-6． 
【解析】先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

16.【答案】解：3x2-9x-12=0，
Δ=(-9)2-4×3×(-12)=225>0，
x=-b±b2-4ac2a=9±152×3=3±52，
所以x1=-1，x2=4． 
【解析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．
本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．

17.【答案】解：(1)如图1中，菱形ABCD即为所求．

(2)如图2中，平行四边形MNPQ即为所求．较长的对角线NQ=32+62=35． 
【解析】(1)画出边长为25的菱形(非正方形)即可．
(2)构造底为3，高为3的平行四边形即可．
本题考查作图-应用与设计，勾股定理，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．

18.【答案】解：(1)根据题意得Δ=b2-4ac=4-4×(m-1)≥0，解得m≤2；

(2)p是方程的一个实数根，则p2-2p+m-1=0，则p2-2p+3=4-m，
则(p2-2p+3)(m+4)=7即(4-m)(4+m)=7，
解得：m=3(舍去)或-3．
故m的值为-3． 
【解析】(1)若一元二次方程有两实数根，则根的判别式Δ=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
(2)p是方程的一个实数根，则p2-2p+m-1=0，则p2-2p+3=4-m，代入(p2-2p+3)(m+4)=7，求得m的值．
本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，(2)中注意求得的m要满足(1)中m的范围．

19.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=8，AC⊥BD，BD=2OB，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BO=32AB=43，
∴BD=83，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×8×83=323；
(2)AE=EF，理由如下：
连接EC，
∵BD垂直平分AC，
∴EA=EC，
∠EAC=∠ECA．
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠EAC+∠DAC=∠ECA+∠DCA，
∴∠EAD=∠ECD，
∵∠AEF=120°，∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠EAD+∠F=360°-∠AEF-∠ADC=180°，
∵∠ECD+∠ECF=180°，
∴∠F=∠ECF，
∴EF=EC，
∴EF=AE． 
【解析】(1)由四边形ABCD是菱形，得到AB=BC=8，AC⊥BD，BD=2OB，又∠ABC=60°，得到△ABC是等边三角形，求出BO=32AB=43，得到BD的长，即可求出菱形的面积；
(2)连接EC，由线段垂直平分线的性质得到AE=EC，由等腰三角形的性质推出∠EAD=∠ECD，由四边形内角和是360°，求出∠EAD+∠F=180°，又∠ECD+∠ECF=180°，得到∠F=∠ECF，因此EF=EC，于是得到AE=EF．
本题考查菱形的性质，菱形的面积，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角形的性质求出OB长，即可求出菱形的面积；由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，补角的性质推出∠F=∠ECF，得到FE=EC．

20.【答案】80.8  80  70  80 
【解析】解：(1)由题意可知，a=(60×4+70×22+80×4+90×6+100×14)÷50=80.8，
七年级50名学生的竞赛成绩的中位数c=70+702=70；
八年级50名学生的竞赛成绩的平均数为：b=100×10%+90×20%+80×40%+70×20%+60×(1-10%-20%-40%-20%-10%)=80；
八年级50名学生的竞赛成绩的众数d=80；
故答案为：80.8；80；70；80；
(2)由题意可知，抽取的七年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为：6+14=20(名)；
抽取的八年级生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为：(20%+10%)×50=15(名)，
500×20+15100=175(名)，
答：估计该校七、八年级共500名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数大约为175名．
(1)分别根据中位数、算术平均数以及众数的定义可得答案；
(2)用总人数乘样本中成绩达到90分及以上的人数所占比例可得答案．
本题考查中位数、众数、算术平均数以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵AB⊥y轴，
∴AB//OC，
∵AB=OC=m，
∴四边形ABCO是平行四边形；

(2)解：过点B作BD⊥x轴于点D，如图所示：

∵AC⊥BO，
∴平行四边形ABCO是菱形，
∴OC=BC=m，
∵B(1,2)，
∴OD=1，BD=2，
∴CD=m-1，
在Rt△BDC中，由勾股定理得(m-1)2+22=m2，
解得：m=52；

(3)解：由题意可分：
①当OB=BC时，过点B作BF⊥x轴于点F，如图所示：

由(2)可知OF=1，BF=2，
∴OC=2OF=2=m；
②当OB=OC=m时，
在Rt△BFO中，由勾股定理得m=12+22=5；
③当OC=BC时，
∴平行四边形ABCO是菱形，
由(2)可知m=52；
综上所述：当△BOC为等腰三角形时，m=52或2或5． 
【解析】(1)由题意易得AB//OC，然后问题可求证；
(2)过点B作BD⊥x轴于点D，由题意可知四边形ABCO是菱形，则有OC=BC=m，然后根据勾股定理可建立方程求解；
(3)根据题意可分①当OB=BC时，②当OB=OC时，③当OC=BC时，然后根据等腰三角形的性质可进行分类求解．
本题主要考查坐标与图形、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握坐标与图形、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．

22.【答案】18 
【解析】解：(1)BC=45-10-2×(10-1)+1=18(米)．
故答案为：18．
(2)设CD=x(0 依题意得：x(48-3x)=165，
解得：x1=5，x2=11．
∵x≤15，48-3x≤27，
∴7≤x≤15，
∴x=11，
当x=11时，48-3x=48-3×11=115(米)，符合题意．
答：边CD的长为11米．
(3)不能，理由如下：
设CD=x(0 依题意得：x(48-3x)=195，
整理得：x2-16y+65=0．
∵Δ=162-4×65<0，
∴该方程无实数根，
∴饲养场的面积不能达到195m2．
(1)由木栏总长为45米，即可求出BC的长；
(2)设CD=x(0 (3)设CD=x(0 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

23.【答案】45  2.8 
【解析】(1)解：设∠CFE=α，∠CEF=β，
∵∠C=90°，
∴∠CFE+∠CEF=α+β=90°，
由三角形外角定理得：∠DFE=∠CEF+∠C=90°+β，∠BEF=∠CFE+∠C=90°+α，
∵AE，AF分别为∠BEF和∠DFE的平分线，
∴∠AEF=12∠BEF=12(90°+α)，∠AFE=12∠DFE=12(90°+β)，
∴∠AEF+∠AFE=12(90°+α)+12(90°+β)=12(180°+α+β)=12(180°+90°)=135°，
∴∠EAF=180°-(∠AEF+∠AFE)=180°-135°=45°．
故答案为：45．
(2)①证明：过点A作AN⊥EF于点N，如图所示：

∵∠C=90°，AD⊥CD，AB⊥BC，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AE，AF分别为∠BEF和∠DFE的平分线，AD⊥CD，AB⊥BC，AN⊥EF，
∴AB=AN，AD=AN，
∴AB=AD，
∴矩形ABCD为正方形，
即：四边形ABCD是正方形；
②解：∵BE=EC=4，设DF=x，
由(2)①得：AB=AN，∠B=∠ANE=90°，四边形ABCD是正方形，
在Rt△ABE和Rt△ANE中，
AB=ANAE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△ANE(HL)，
∴BE=EN=4，
同理：DF=NF=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=BE+EC=8，
∴FC=CD-DF=8-x，
在Rt△CEF中，EC=4，FC=8-x，EF=EN+NF=4+x，
由勾股定理得：EC2+FC2=EF2，
∴42+(8-x)2=(4+x)2，
解得：x=83，
∴DF=83．
(3)解：HR=2.8，理由如下：
过点R作RM⊥PQ于点M，设RM=y，如图所示：

∵∠QPR=45°，
∴△PMR为等腰直角三角形，
∴PM=RM=y，
在Rt△PQH中，PH=7，QH=3，
由勾股定理得：PQ=PH2QH2=58，
∴MQ=PQ-PM=√58-y，
∵RM⊥PQ，PH⊥QR，
∴∠QPH+∠Q=90°，∠QRM+∠Q=90°，
∴∠QPH=∠QRM，
又∠PHQ=∠RMQ=90°，
∴△PQH∽△RQM，
∴QH：PH=QM：RM，
∴37=58-yy，
解得：y=75810，
∴RM=y=75810，
∴MQ=58-y=35810，
在Rt△QRM中，RM=75810，MQ=35810，
由勾股定理得：QR=RM2+MQ2=5.8，
∴HR=QB-QH=5.8-3=2.8．
故答案为：2.8
(1)设∠CFE=α，∠CEF=β，则α+β=90°，然后由三角形外角定理及角平分线定义得∠AEF=12(90°+α)，∠AFE=12(90°+β)，据此可求出∠AEF+∠AFE=135°，进而可求出∠EAF的度数；
(2)①过点A作AN⊥EF于点N，先证四边形ABCD为矩形，再根据角平分线的性质得AB=AN，AD=AN，据此即可得出结论；
②设DF=x，先证Rt△ABE和Rt△ANE全等得BE=EN=4，同理DF=NF=x，则EF=4+x，然后根据正方形的性质得BC=CD=8，进而得FC=8-x，最后在Rt△CEF中由勾股定理求出x即可；
(3)过点R作RM⊥PQ于点M，设RM=y，先证△PMR为等腰直角三角形得PM=RM=y，在Rt△PQH中由勾股定理得PQ=58，则MQ=58-y，然后证△PQH和△RQM相似得QH：PH=QM：RM，据此求出y，进而求出RM，MQ，最后在Rt△QRM中由勾股定理求出QR即可得到HR的长．
此题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质；三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，理解三个角都是直角的四边形是矩形；邻边相等的矩形；角平分线上的点到角两边的距离相等；难点是正确的作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形，以及灵活运用勾股定理构造方程求解．