初中数学人教版九年级上册22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质课时训练

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质课时训练，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题22.3 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)图象与性质
（分层练习）（提升练）
一、单选题
1．下列各点中，在二次函数图象上的点是（    ）
A． B． C． D．
2．关于抛物线，下列说法错误的是（    ）
A．抛物线开口向下 B．当时，有最小值为3
C．顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小
3．已知，，是抛物线（k为常数）上的点，则（    ）
A． B． C． D．
4．关于四个函数，，，的共同点，下列说法正确的是（    ）
A．开口向上 B．都有最低点
C．对称轴是轴 D．随增大而增大
5．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（    ）
A． B．C． D．
6．如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为；在y轴上有一动点C，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．5
7．已知函数经过A（m，）、B（m−1，），若．则m的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（　　）

A．2 B． C． D．
9．从﹣3、﹣1、0、、2、3这六个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的分式方程 ﹣1＝有整数解，且使二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+3，当x＞时，y随x的增大而增大，那么这六个数中满足所有条件的a的值之和为（　　）
A．﹣ B． C． D．
10．如图，在中，，，点从点沿边、匀速运动到点，过点作交于点，线段，，，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（    ）

A． B．
C． D．
二、填空题
11．二次函数的最小值是 ．
12．抛物线经过点，那么 ．
13．抛物线与直线的一个交点坐标是，则另一个交点坐标是 ．
14．对于二次函数，当时，的取值范围是 ．
15．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ．
16．对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ．
17．已知的三个顶点为， 将向右平移 个单位后， 某一边的中点恰好落在二次函数的图象上， 则的值为 .
18．在平面直角坐标系中，二次函数的图象上两点A，的横坐标分别为，2．若为直角三角形，则的值为 ．
三、解答题
19．在平面直角坐标系中，过点(0，2)且平行于x轴的直线，与直线y=x−2交于点A，点A关于直线x=2的对称点为B．
(1) 求点A与点B的坐标；
(2) 若函数的图象与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．




20．在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．
(1) 分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2) 抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？



21．已知函数是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？







22．如图直角坐标系中，O为坐标原点，，，二次函数的图像经过点A，B，点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作垂足为H，交OB于点Q．

（1）求b，c的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）当面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点Р的坐标．








23．在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上不重合的两点，点，直线的比例系数互为相反数．
（1）若点P的坐标为，求a的值．
（2）在（1）的条件下，求点Q的坐标．
（3）若点P，Q都在第一象限内，且点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍，试探究点P与点Q的纵坐标的差是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．






24．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　 　；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　 　；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x
﹣2
1
5
y
m
n
p
表中m、n、p的大小关系为　 　（用“＜”连接）．












参考答案
1．B
【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
解：A． ，选项错误，不符合题意；
B． ，选项正确，符合题意；
C． ，选项错误，不符合题意；
D． ，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点拨】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．
2．B
【分析】根据二次根式的性质进行判断即可．
解：，
图象开口向下，故A正确；
又，
对称轴为y轴，顶点为，故C正确；
当时，有最大值为3，故B错误；
，对称轴为y轴，
当时，随的增大而减小，而时，随的增大而减小，故D正确．
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．A
【分析】根据二次函数的性质比较即可．
解：二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，当时，y随x的增大而增大，
∵，，是抛物线上的点，
点关于y轴的对称点为，
∵，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
4．C
【分析】根据a值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据a值得函数图象的开口方向，即可得出函数有最高点或电低点，从而判定B；根据函数的对称轴判定C；根据函数的增减性判定D．
解：A．函数与的开口向下，函数与开口向上， 故此选项不符合题意；
B．函数与的开口向下，有最高点；函数与开口向上，有最低点， 故此选项不符合题意；
C．函数，，，的对称轴都是y轴，故此选项符合题意；
D．函数与，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小；函数与，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；故此选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数的图象性质是解题的关键．
5．C
【分析】本题可先由一次函数y＝ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．
解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象与正比例函数的图象的相关知识点．
6．B
【分析】找出点A关于y轴的对称点，连接与y轴相交于点C，根据轴对称确定最短路线问题，点C即为使最短的点，再根据抛物线解析式求出点、B的坐标，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解：如图，点A关于y轴的对称点的横坐标为1，连接与y轴相交于点C，点C即为使最短的点，
当时，，
当时，，
所以，点，
由勾股定理得，．
故选：B．

【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，勾股定理，以及二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．
7．B
【分析】由图像开口向下，对称轴为y=0知，要使，需使A点更靠近对称轴y轴，由此列出关于m的不等式解之即可 ．
解：∵图像开口向下，对称轴为y=0且
∴，下面解此不等式．
第一种情况，当m＜0时，得，解得m＜0；
第二种情况，当时，得，解得；
第三种情况，当时，得，解得，无解；
综上所述得．
故选：B．
【点拨】此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小．
8．C
【分析】设点B（x，），构造方程+x=6，确定点B的坐标，计算OB的长度，根据正方形的性质即可得到AC．
解：设点B（x，y）
∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴AC=BO，+x=6，
解得（舍去），
∴B（2，4），
∴BO==，
∴AC=，
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的解析式与点的坐标，正方形的性质，一元二次方程的解法，两点间的距离公式，熟练掌握抛物线的性质，灵活求解方程是解题的关键．
9．D
【分析】求解分式方程，利用使分式有意义和使分式有整数解的条件来判断符合的a的值，再将这些数代入二次函数，根据二次函数的性质即可最后确定符合的a的值，最后相加即可．
解：解分式方程，得：，且．
∴．
∴-3、-1、0、、2、3这六个数中，使x为整数的a为：0、、2、3；
将上述满足条件的a（0、、2、3）逐项代入二次函数表达式，根据二次函数的性质可知满足条件的a为：0、、2，
∴其和为：．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解分式方程和使分式方程有意义的条件，掌握分式方程的解法和二次函数的性质是解答本题的关键．
10．D
【分析】分两种情况：①当P点在OA上时，即时；②当P点在AB上时，即时，求出这两种情况下的PC长，则y=PC•OC的函数式可用x表示出来，对照选项即可判断．
解：∵△AOB是等腰直角三角形，，
∴OB=4．
①当P点在OA上时，即时，
PC=OC=，S△POC=y=PC•OC=，
是开口向上的抛物线，当时，；
②当P点在AB上时，即时，
OC=，则BC=，PC=BC=，
S△POC=y=PC•OC=，
是开口向下的抛物线，当时，．
综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，解决这类问题要先进行全面分析，根据图形变化特征或动点运动的背景变化进行分类讨论，然后动中找静，写出对应的函数式．
11．2016
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
解：∵对于二次函数，若，则当时，y有最小值k，
∴二次函数的最小值是2016．
故答案为：2016．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，把解析式化成顶点式是解题的关键．
12．1
【分析】把点的坐标代入解析式，得6=4a+2，解方程即可．
解：∵抛物线经过点，
∴6=4a+2，
解得a=1，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了抛物线与点的关系，熟记图像过点，点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．
13．
【分析】把交点坐标代入抛物线求出m的值，再代入直线求出b的值，最后联立方程组解方程即可得出另一个交点坐标．
解：将代入得，，
∴交点坐标为，
将其代入直线得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立 ，解得，，
∴另一个交点坐标为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数的性质、求一次函数解析式和两函数图象交点的求解方法，求出题中参数m和b的值是解题的关键．
14．
【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线，且开口向上，再由可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出答案．
解：∵二次函数的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵，
当时，取得最小值，
当时，，
当时，，
∴当时，y的取值范围是，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键．
15．
【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式．
解：根据题意，得，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．
16．
【分析】先判断出二次函数图像对称轴为轴，再根据二次函数的性质判断出关于轴对称即可解答．
解：二次函数的对称轴为轴，
取时，函数值相等，
关于轴对称，
，
当取时，函数值为0．
故答案为：0．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出关于轴对称是解题的关键．
17．
【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得平移后的中点坐标，再根据平移后的中点在二次函数的图象上，进而算出m的值．
解：∵△ABC的三个顶点为A(-1，-1)，B(-1，3)，C(-3，-3)，
∴AB边的中点(-1，1)，BC边的中点(-2，0)，AC边的中点(-2，-2)，
∵将△ABC向右平移m(m＞0)个单位后，
∴AB边的中点平移后的坐标为(-1+m，1)，BC边的中点平移后的坐标为(-2+m，0)，AC边的中点平移后的坐标为(-2+m，-2)，
∵二次函数的图象在x轴的下方，点(-1+m，1)在x轴的上方，
∴AB边的中点不可能在二次函数的图象上，
把(-2+m，0)代入，得
-2(-2+m)2=0，
解得m=2；
把(-2+m，-2)代入，得
-2(-2+m)2=-2，
解得m1=1，m2=3；
∴的值为1，2，3，
故答案为1，2，3．
【点拨】此题主要考查了平移的性质，中点坐标公式，二次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握二次函数图象上的点(x，y)的横纵坐标满足二次函数解析式．
18．或
【分析】分两种情况讨论，如图，当时，利用 建立方程求解即可；当 利用建立方程求解即可；从而可得答案.
解：如图，当时，

  
A，的横坐标分别为，2,
，

过作于 则



解得： （负根舍去）
当
同理可得：


解得：（负根舍去）
综上：或
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，二次函数的性质，掌握“利用勾股定理求解两点之间的距离”是解题的关键.
19．(1)点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（0，2）；(2)a≥．
【分析】（1）过点（0，2）且平行于x轴的直线，则y=2，联立方程，即可求出点A的坐标，点A关于直线x=2的对称点为B，利用轴对称性质，即可求出点B的坐标；
（2）画出函数图象，把A，B代入，求出a的值，确定a的取值范围．
（1）解：过点（0，2）且平行于x轴的直线，则y=2，
根据题意，联立方程，解得，
∴点A的坐标为（4，2），
∵点B与点A关于直线x=2对称，
∴点B的坐标为（0，2）；
（2）解：把点A（4，2）代入得，，
解得a=，
结合函数图像，（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，需满足a≥，

∴a≥．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，待定系数法确定二次函数的解析式等知识点．运用数形结合的方法是解决本题的关键．
20．见分析
解：试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y轴，顶点坐标分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2形状相同，对称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到的．
解：如图所示：

(1)抛物线y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
抛物线y＝x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．
(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到．
21．（1）m1=2，m2=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，当x＞0时，y随x的增大而减小
【分析】（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案；
（2）利用二次函数的性质得出m的值；
（3）利用二次函数的性质得出m的值.
解：（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4=2，
解得：m1=2，m2=﹣3；
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，
则最低点为：（0，1），
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，函数有最大值，
此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握二次函数的定义与性质是解答本题的关键．
22．（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）把，两点坐标代入二次函数，化简计算即可；
（2）设，根据，利用相似比，化简计算即可；
（3）当面积是四边形AOQH面积的2倍时，则有，将设代入化简即可.
解：（1）把，代入，
则有
解之得：．

（2）设
∵，
∴
∴，∴，得（取正值），
∴
∴
（3）当的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，由三角形面积公式可得：，由（2）可知
∴，
得：，，
∴或
【点拨】本题考查的是二次函数的综合运用，熟悉相关性质定理，是解题的关键.
23．（1）2；（2）；（3）是，；理由见详解．
【分析】（1）根据题意可直接利用待定系数法进行求解即可；
（2）设直线的表达式为，然后根据（1）及题意可求解直线PM的解析式，则由直线的比例系数互为相反数，进而求解问题即可；
（3）设点Q的坐标为，则有点P的坐标为，设直线的表达式为，则直线的表达式为，然后联立函数表达式，进而可根据题意求解即可．
解：（1）由题意得：，解得；
（2）设直线的表达式为，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
∵直线的比例系数互为相反数，
∴直线的表达式为，
∴，解得，
∴点Q的坐标为；
（3）是定值；理由如下：
设点Q的坐标为，
∵点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍，
∴点P的坐标为，
再设直线的表达式为，则直线的表达式为，
∴，两式相减，得，
∴，
∴直线的表达式为，
把代入，解得，
∴点P与点Q的纵坐标的差为．
【点拨】本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，熟练掌握二次函数及一次函数的性质是解题的关键．
24．（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n
【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论；
(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2．
(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．
解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案为：p＜m＜n．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．