易错点06 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

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使用换元法忽视新变量范围致错
忽视对高次项系数的讨论致错
易错知识
1．对数函数、指数函数中容易忽略底数的取值范围；
2．在对数式中，要注意真数是大于零的；
3．函数的单调区间与在区间上单调是两个不同的概念；
4.对于最高项系数含有参数的函数，要注意对参数的讨论；
5.
易错分析
一、对数函数中忽视对底数的讨论致错
1．已知函数f(x)＝lga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【错解】已知f(x)＝lga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
知f(x)min＝f(2)＝lga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得11在区间[1,2]上恒成立，
知f(x)min＝f(2)＝lga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得14，且a0，解得x1，即函数
y＝lg5(x2＋2x－3)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．令g(x)＝x2＋2x－3，则函数g(x)
在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数
y＝lg5(x2＋2x－3)的单调递增区间是(1，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝lga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上单调递增，则a的取值范围为( )
A.∪[2，＋∞) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))∪(1,2]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(1,3)))∪[2，＋∞) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(1,3)))∪(1,2]
【错解】选A 当00恒成立，所以，解得a≥2.综上，a的取值范围为∪[2，＋∞)．
【错因】没有保证对数式中真数大于零，
【正解】选C 当01，,\f(1,a)≤\f(1,2)，,\f(1,4)a－1＋5≥0，))解得a≥2.综上，a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(1,3)))∪[2，＋∞)．
三、忽视高次项系数的讨论致错
4．函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为( )
A．－eq \f(1,4) B．0 C.eq \f(1,4) D．0或－eq \f(1,4)
【错解】选A 若f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则方程ax2－x－1=0有且仅有一个根，则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－eq \f(1,4).
【错因】没有对二次项系数a分情况讨论，
【正解】选D 若f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则方程ax2－x－1=0有且仅有一个根，当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一个零点为－1.
当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－eq \f(1,4).综上有a＝0或－eq \f(1,4).
5．若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))
【错解】选C 函数f(x)的对称轴为直线x＝－eq \f(1,a)，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a0. ②))由①得x2－5xy＋4y2＝0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))2－eq \f(5x,y)＋4＝0，解得eq \f(x,y)＝4或eq \f(x,y)＝1(不满足②，舍去)，∴eq \f(x,y)＝4.
6．已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)．若f(2a－1)0，,1－x>0))可得－1