易错点08 三角函数与解三角形-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

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三角函数与解三角形
求值忽视角的范围
含参问题忽视对参数的讨论
混淆三角函数图象平移规则致错
忽视三角函数的值域致错
复合函数忽视内函数自变量的符号
开方没考虑正负号
易错知识
1．对于有关三角函数求值的问题，要注意角的范围，尤其是利用条件缩小角的范围，
2．对于含有整数k的问题，要注意对k进行讨论，
3．三角函数图象左右平移是针对自变量x的，
4. 对于含有二次根式的求值问题，开方时要注意考虑正负，
5. 对于与三角函数有关的复合函数单调性问题，要注意内函数的单调性，
6. 逆用三角函数公式时，要注意其结构特征，
易错分析
一、忽视角的范围致错
1．已知α是第二象限角，sin α＝eq \f(5,13)，则cs α等于( )
A．－eq \f(12,13) B．－eq \f(5,13) C.eq \f(5,13) D.eq \f(12,13)
【错解】选D，因为，又sin α＝eq \f(5,13)，∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(12,13).
【错因】
【正解】
2．已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则sin θ－cs θ的值为________．
【错解】∵sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，∴sin θcs θ＝eq \f(7,18)，∴(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(2,9)，
∴sin θ－cs θ＝eq \f(\r(2),3). 答案：eq \f(\r(2),3)
【错因】
【正解】
3．已知θ∈(0，π)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,3)，则sin θ＋cs θ＝________.
【错解】由题知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,3)＝eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)⇒tan θ＝eq \f(1,7)，又因为θ∈(0，π)，
有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(sin θ,cs θ)＝\f(1,7)，,cs2θ＋sin2θ＝1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(2),10)，,cs θ＝\f(7\r(2),10)，))或，
所以sin θ＋cs θ＝eq \f(4\r(2),5)或 答案：eq \f(4\r(2),5)或
【错因】
【正解】
4．在△ABC中，若C＝3B，则eq \f(c,b)的取值范围为( )
A．(0,3) B．(1,3) C．(1，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，3)
【错解】选A 由正弦定理可得，eq \f(c,b)＝eq \f(sin C,sin B)＝eq \f(sin 3B,sin B)＝eq \f(sinB＋2B,sin B)＝eq \f(sin B·cs 2B＋cs B·sin 2B,sin B)
＝cs 2B＋2cs2B＝4cs2B－1.又0＜B＜180°，∴cs2B1，又eq \f(c,b)>0，∴0＜eq \f(c,b)＜3.
【错因】
【正解】
二、对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负
5．化简：2eq \r(sin 8＋1)＋eq \r(2cs 8＋2)＝( )
A．4cs 4 B．－2sin 4－4cs 4
C．4sin 4 D．2sin 4+4cs 4
【错解】选D 原式＝2eq \r(1＋2sin 4cs 4)＋eq \r(4cs24)＝2eq \r(sin24＋cs24＋2sin 4cs 4)＋2cs 4
＝2sin 4＋2cs 4＋2cs 4=2sin 4＋4cs 4.
【错因】
【正解】
6．若eq \f(3π,2)