2023年广东省珠海市金湾区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省珠海市金湾区中考一模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省珠海市金湾区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．4的平方根是（    ）
A．2 B． C． D．
2．国家统计局发布的2022年国民经济和社会发展统计公报显示，2022年年末全国人口为141175万人．“141175万”用科学记数法表示为（    ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．将边长分别为 和 的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（　　）

A． B． C． D．
5．将一块直角三角板与一把直尺按如图所示方式放置，若，则的大小为（    ）
  
A． B． C． D．
6．多项式因式分解的结果是（    ）
A． B．
C． D．
7．如图，是的直径，，则的大小为（    ）

A． B． C． D．
8．如图，切于两点，若，的半径为，则阴影部分的面积为（    ）
  
A． B． C． D．
9．已知，则的值为（    ）
A．11 B．25 C．26 D．37
10．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④对任意实数，都有．其中正确的有（    ）
  
A．①② B．②③ C．②④ D．③④

二、填空题
11．|﹣3|的倒数是 ．
12．设的整数部分为，小数部分为，则 ．
13．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值为 ．
14．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象的交点为．过点作轴平行线与过点作轴平行线交于点，则的面积为 ．
  
15．如图，正方形的边长为，是边的中点，是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长为 ．
  

三、解答题
16．先化简，再求值：，其中x=2+．
17．如图，的直径．
  
(1)过点作的切线，交的延长线于点．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求的长．
18．在第六届数字中国建设成果展览会召开之际，为培养学生对数字技术的兴趣，某校举行了“学习数字技术，走进数字时代”为主题的数字技术应用大赛，将该校九年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表：
  
成绩频数分布统计表
组别
成绩（分）
人数












(1)统计表中__________，统计图中__________，组的圆心角是__________度；
(2)组的名学生中，有名男生和名女生．从组随机抽取名学生参加数字技术体验活动，求恰好抽到名男生和名女生的概率．
19．某印刷厂每月生产甲、乙两种练习本共40万本且所有练习本当月全部卖出，其中成本、售价如表所示．
品种
甲
乙
成本
1.2元/本
0.4元/本
售价
1.6元/本
0.6元/本
(1)若该印刷厂五月份的利润为11万元，求生产甲、乙两种练习本分别是多少万本；
(2)某学校计划用7680元的经费到该印刷厂采购练习本，经商讨，该公司同意甲种练习本售价打九折，乙种练习本不能让利：若学校能采购到1万本，且不超支，问最多能购买甲种练习本多少本？
20．如图，某工程队准备在山坡（山坡视为直线）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖的仰角为，塔底的仰角为．已知塔高，塔所在的山高，，图中的点在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据：）

21．如图，为正的外接圆，为劣弧上任一点，的延长线和的延长线交于点．
  
(1)求；
(2)求证：．
22．如图，抛物线的对称轴为直线，并且经过点，交轴于另一点，交轴于点．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一点P，求点P到直线距离的最大值及此时点P的坐标；
(3)在直线下方的抛物线上是否存在点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．某班在进行正方形纸片折叠探究相关数学问题的学习活动．将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与交于点），使点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点，连接与交于点．如1图，当点恰为的中点时，甲、乙、丙三名同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
      
甲：的边__________；
乙：的周长为__________；
丙：．
(1)填充甲、乙两名同学所得结果中的数据；
(2)如题2图，当点在边上除点外的任何一处时：
①丙同学的结论还成立吗？若成立，请给出证明过程，若不成立，请说明理由；
②试问乙同学的结果是否会发生变化？请证明你的结论；
③经观察，发现四边形的面积随点位置变化而变化，若的长为，四边形的面积为，问当为何值时，最大？最大值是多少？

参考答案：
1．C
【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案．
【详解】解：4的平方根是，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根的定义，正确掌握相关定义是解题的关键．
2．D
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：141175万＝，
“141175万”用科学记数法表示为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
3．C
【分析】利用同底数幂的乘法法则、合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则，对各项进行逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意；
B. ，原选项计算错误，不符合题意；
C. ，原选项计算正确，符合题意；
D. ，原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握相应的法则，是解题的关键．
4．C
【分析】因为正方形的面积与长方形的面积相等，可知正方形的边长．
【详解】解：∵长方形的长为，宽为
∴长方形的面积：
设正方形的边长为，则可得：
∴
∵是正方形的边长，即
∴
故选：
【点睛】本题考查了长方形和正方形的面积，平方根的定义，掌握等积变形是解题的关键．
5．B
【分析】由三角形的外角性质可求得，再由平行线的性质即可求的度数．
【详解】解：如图，
  ，
，
，
直尺的对边平行，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角的定义，解题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
6．D
【分析】先提取公因式，然后按照平方差公式因式分解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式法进行因式分解，掌握提取公因式法、平方差公式是解题的关键．
7．B
【分析】由圆周角定理得到，，由直角三角形的性质，即可求出的度数．
【详解】解：是的直径，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
8．B
【分析】如图所示，连接，可证，，，根据含角的直角三角形的性质可计算出的值，由此可算出四边形的面积，再根据四边形的性质，算出的角度，可算出扇形的面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
  
∵切于，，
∴，，
∴是的角平分线，则，
∵，是公共边，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查扇形，不规则图像面积的计算方法，掌握圆的基础知识，扇形的面积计算方法，不规则图形面积的计算方法是解题的关键．
9．A
【分析】首先利用平方差公式得：，然后将整体代入原式整理，最后再将整体代入即可得出答案．
【详解】解：，
，






，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握应用平方差公式和提取公因式法进行因式分解，难点是整体思想在解题中的应用．
10．D
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴的交点位置可判断①；由时及，可判断②；由时及a与b的数量关系可判断③，由时函数取最小值可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴，
∴，故①错误；
∵时，，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，
∴，
由图象可得时，，
∴，故③正确；
由时函数取最小值可得，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11．
【详解】|﹣3|=3,3的倒数是.故答案为
12．
【分析】根据不等式的性质，无理数估算大小的方法先求出的值，再代入式子，运用平方差公式计算即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴，即的整数部分为，
∴，
∴的小数部分为，
∴




，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，无理数的估算，乘法公式计算代数式的值，掌握以上相关知识的运用是解题的关键．
13．
【分析】先利用根与系数的关系得到，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据根与系数的关系得：，
，
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
14．
【分析】令交轴于，由题意可得，即，由可得，从而得到，再由反比例函数的几何意义可得，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，令交轴于，
，
根据题意可得：关于原点对称，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数中的的几何意义，相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
15．
【分析】当点在一条直线上时，的值最小，如图所示，连接，根据折叠的性质可得，在中，求出的长，设，根据勾股定理在，中，用含的式子表示的长，由此即可求解．
【详解】解：如图所示， 连接，
  
∵将沿翻折得到，
∴，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是中点，
∴，
在中，，
∵在中，，，
∴
∴在点运动过程中，当点在一条直线上时，的值最小，如图所示，
  
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，解得，，即的长为为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解图示中线段最小值，掌握正方形与折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用等知识是解题的关键．
16．0.5
【详解】分析:先根据分式基本性质将括号里的分式进行的通分,再进行减法计算,然后再将分式进行除法计算,然后将x的值代入化简式子计算即可.
详解:,
原式=,
=,
=,
把x=2+代入上式可得:
原式=.
点睛:本题主要考查分式的通分,减法和除法计算,二次根式的计算,解决本题的关键是要熟练掌握分式和二次根式相关运算法则.
17．(1)见解析
(2)

【分析】（1）过点作的垂线交于点；
（2）连接，先根据圆周角定理得到，再利用余弦的定义得到，再根据切线的性质得到，最后在中利用正切的定义可求出的长．
【详解】（1）解：如图，为所求，
  
（2）解：如图，连接，
  ，
为的直径，
，
在中，，
，
，
为的切线，
，
在中，．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本图形，逐步操作，也考查了圆周角定理和解直角三角形．
18．(1)；；
(2)

【分析】（1）根据组的人数和百分比即可解出样本总量，由此可求的值，根据组的人数和样本总量可求出的值，根据圆心角的计算方法即可求解；
（2）用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，根据概率的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：组的人数有人，组的百分比为，
∴（人），
∴（人），
∴组的百分比为，则，
∴组的圆心角是，
故答案为：；； ．
（2）解：画树状图如下：
  
由树状图可知，共有种等可能的结果，恰好抽到名男生和名女生的结果有种．
恰好抽到名男生和名女生的概率为．
【点睛】本题主要考查统计与概率的综合，掌握统计中相关的计算方法，运用列表法与画树状图法求概率的计算方法是解题的关键．
19．(1)生产甲种练习本15万本，乙种练习本25万本
(2)甲种练习本最多能购买2000本

【分析】（1）设该印刷厂五月份生产甲种练习本万本，乙种练习本万本，根据“印刷厂每月生产甲、乙两种练习本共40万本，且利润为11万元”，列出二元一次方程组，解方程即可得到答案；
（2）设购买甲种练习本本，利用总单价＝单价×数量，结合总价不超过7680元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该印刷厂五月份生产甲种练习本万本，乙种练习本万本，由题意得，
解得：，
答：生产甲种练习本15万本，乙种练习本25万本；
（2）解：设购买甲种练习本本，
由题意得：，
解得：，
答：甲种练习本最多能购买2000本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20．
【分析】过点作于点于点，则四边形为矩形，解，得出，解，得，再根据，列出方程，求出，进而求出，然后在中利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点于点，
，
则四边形为矩形，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
坡度为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题、坡度坡角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
21．(1)
(2)见解析

【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补和为正三角形即可求出；
（2）证明即可求出．
【详解】（1）解： 为正三角形，
．
四边形为圆内接四边形，
∴；
（2）证明：由（1）知，，
∵，
又∵，
∴．
∴则
又∵，
∴．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合问题，涉及到等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用这些知识是关键．
22．(1)
(2)当点的坐标为时，点到距离的最大值为
(3)存在，点的坐标为或

【分析】（1）根据对称轴公式得到，根据抛物线经过点得到，由此求出a、b的值即可得到答案；
（2）先求出，进而求出直线的解析式为，设，且，则，可得．当时，取得最大值，的最大值为；利用勾股定理求出，如图，过点作于点，利用等面积法求出点到距离的最大值即可；
（3）分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，并且经过点，

解得
∴抛物线解析式为．
（2）解：如图所示，连接，过点作轴，与交于点．
  
∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，且对称轴为直线，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
直线的解析式为．
设，且，则，
．

当时，取得最大值，的最大值为．
此时，点的坐标为．
在中，．
如图，过点作于点．

点到距离的最大值为．
当点的坐标为时，点到距离的最大值为
（3）解：如图3-1所示，当时，设直线交x轴于，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
  
如图3-2所示，当时，设直线交y轴于，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
  
当时，则点Q在以为直径的圆上，设的中点为M，则点M到抛物线上y轴右侧上的一点的距离都小于的长，点M到点B右侧抛物线上任意一点的距离大于的长，
∴此时不存在点Q使得；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，圆周角定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
23．(1)10， 32
(2)①成立，理由见解析；②不变，证明见解析；③当时，最大值为

【分析】（1）由正方形的性质和折叠的性质可得：，设，则，由勾股定理可得，即，解方程即可得到答案；通过证明得到，求出的长即可得到答案；
（2）①过点作于点，根据正方形的性质，证明，即可得到答案；②设，则，在中，，
即，求得，通过证明得到，即可求出，即可得证；③由上述可知，可得，进而得到，根据二次函数的性质进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：由正方形的性质和折叠的性质可得：，
设，则，
恰为的中点，
，
在中，，
即，
解得：，
，，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
故答案为：10，32；
（2）解：①丙同学的结论成立，证明如下：
点关于对称，
于点，
如图，过点作于点，
，
，
，
在正方形中，，
，
；
②乙同学的结果不会发生变化，理由如下：
，
，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，
则，
；
③由上述可知：，
，
，
，
当时，取得最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．