2023年湖北省武汉市洪山区中考模拟数学试题（二）（含解析）

这是一份2023年湖北省武汉市洪山区中考模拟数学试题（二）（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省武汉市洪山区中考模拟数学试题（二）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（    ）
A． B．2023 C． D．
2．下列成语，是必然事件的是（　　）
A．画饼充饥 B．不期而遇 C．水中捞月 D．旭日东升
3．下列是几个汽车的标志，其中是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是(   )

A． B． C． D．
6．已知、为一元二次方程的两个根，则的值为（    ）
A．2 B． C．1 D．
7．已知反比例函数的图象经过，，下列命题：
①若 则；
②若，；
③过点作轴，垂足为点，作 轴，垂足为点，若，则四边形的面积为，其中真命题的个数是（    ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
8．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：L）与时间（单位：min）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ）

A．每分钟进水 B．每分钟出水
C．容器中水为的时间是或 D．第2或容器内的水恰为10升
9．如图，是用4块型瓷砖，4块型瓷砖和8块型瓷砖不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，其中型瓷砖形状是一个含角的直角三角形，图案中A型瓷砖的总面积与型瓷砖的总面积之比为（    ）

A． B． C． D．
10．若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ）
A． B． C．2023 D．

二、填空题
11．写出一个小于2的无理数： ．
12．某种病毒直径为，用科学记数法表示为 ．
13．把形状完全相同风景不同的两张图片全部从中剪断，再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取两张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为 ．
14．如图，为了测量河宽，先在A处测得对岸点在其北偏东方向，然后沿河岸直行到点，在点测得对岸点在其北偏西方向，经过计算河宽是30米，则从A点到点的距离为 米．（结果保留根号）

15．二次函数的部分图象如图所示．对称轴为，图象过点，且，以下结论：
①；
②；
③关于的不等式的解集：；
④若，且，则；
其中正确的结论是 ．
  
16．如图，在中，是的中点，为上一点，且，连接，若，，则的长为 ．
  

三、解答题
17．解不等式组：，请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
  
(4)原不等式组的解集为 ．
18．如图，四边形为矩形，对角线交于点，交延长线于点．
  
(1)求证：；
(2)直接写出　　．
19．为了落实关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：．趣味数学；．博乐阅读；．快乐英语；．硬笔书法．全校共有100名学生选择了课程，为了解选课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试．将他们的成绩（百分制）绘制成频数分布直方图．

(1)根据题中信息，估计该校共有 人，选课程学生成绩在的有 人．
(2)如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课中，若第一次都选了课程，那么他俩第二次同时选课程或的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
20．如图，为的直径，点在上，垂直过点的直线于点，平分．
  
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求．
21．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
  
(1)在图1中，作点关于的对称点；
(2)在图2中，画线段，使；
(3)在图3中，为上一点，作点关于的对称点．
22．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．

(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
23．问题背景：（1）如图①，已知，点在线段上，求证：；
尝试运用：（2）如图②，在和中，，，点在边上．
①求的值；②若，求的值．
拓展创新：（3）如图③，在四边形中，，，，，直接写出的长．
  
24．如图1，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的动点．
  
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)如图2，连接，点在上，若点在第一象限，且，求线段长度的最大值；
(3)如图3，连接、，已知，是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．B
【分析】根据相反数的定义直接求解即可．
【详解】解：的相反数是2023，
故选：B．
【点睛】本题考查相反数的求解，理解相反数的定义是解题关键．
2．D
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可区别各类事件．
【详解】解：A、画饼充饥是不可能事件，不符合题意；
B、不期而遇是随机事件，不符合题意；
C、水中捞月是不可能事件，不符合题意；
D、旭日东升是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．A
【详解】A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选A．
4．D
【分析】根据整式的相关运算法则将各项计算后进行判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，则A不符合题意；
、，则不符合题意；
、，则不符合题意；
、，则符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查整式的运算，掌握整式的相关运算法则是解题的关键．
5．D
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．
【详解】左视图有2层3列，第一层有3个正方形，第二层有一个正方形；每列上正方形的分布从左到右分别是2，1，1个．
故选D．
【点睛】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
6．A
【分析】利用根与系数的关系求得，，利用根的定义得到，，即可得到，，然后将其代入整理后的代数式求值即可．
【详解】解：、为一元二次方程的两个根，
，，，，
，，






．
故选：．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
7．C
【分析】利用反比例函数的增减性、对称性、反比例函数比例系数的几何意义分别回答即可．
【详解】解：①，比例系数，
图象分别位于第一、三象限，在所在的每一个象限随着的增大而减小，
当时，，
故①是假命题；
②当、两点关于原点对称时，，则，
故②是真命题；
③若，则．
过点作轴，垂足为点，作 轴，垂足为点，则四边形的面积为，
故③是真命题；
真命题有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．解题的关键是掌握反比例函数的性质以及比例系数的几何意义．
8．C
【分析】根据第一段可计算出进水速度，第二段计算出水速度，可以判断A、B两项，由出水速度和进水速度结合图象可列出各段的表达式，可以判断C项，再根据图象可判断D项．
【详解】解：A、由图象第一段计算进水速度，该项说法正确，故此选项不符合题意；
B、由图象第二段，若不出水应进水：，实际进水，故出水量为：，所以出水速度，该项说法正确，故此选项不符合题意；
C、可得第一段表达式：，第二段表达式：，第三段表达式：，
当第二段为时：，
解得：，
当第三段为时：，
解得，该项说法错误，故此选项符合题意；
D、当时，为第一段：，
当时，为第三段，，
该项说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题是一次函数的实际应用题；关键在于读懂图象，从中获取信息，列出各段的表达式．
9．C
【分析】根据型瓷砖是一个含角的直角三角形，所以设斜边为2，则最短直角边为1，另外一条直角边为，所以型瓷砖的两条对角线是1和2，进而根据图形面积可以解决问题．
【详解】解：因为型瓷砖是一个含角的直角三角形，
所以设斜边为2，则最短直角边为1，另外一条直角边为，
所以型瓷砖的两条对角线是1和2，
所以型瓷砖总面积，
型瓷砖的总面积，
所以型瓷砖总面积，
所以型瓷砖的总面积与型瓷砖的总面积之比为．
故选：．
【点睛】本题考查正方形的性质，含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．B
【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可．
【详解】解：三个实数，，满足，且，





．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关键是理解清楚所给的条件．
11．（不唯一）
【分析】根据无理数的大小判断即可；
【详解】∵＜2；
故答案为（不唯一）．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．
12．
【分析】绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【详解】解：,
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
13．
【分析】一张图片剪成的两张用A、a表示，另一张图片剪成的两张用B、b表示，通过画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：一张图片剪成的两张用A、a表示，另一张图片剪成的两张用B、b表示，
画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为4，
所以这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表或树状图展示所有等可能的结果，再找出某事件所占得结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率．
14．
【分析】根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
在中，，米，
（米），
在中，，
（米），
米，
从点到点的距离为米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．①②④
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断①；根据对称性可判断②；根据不等式和二次函数图象的交点可判断③；根据抛物线与轴的交点和一元二次方程根与系数的关系即可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
，
，
交轴的正半轴，
，
，
故①正确；
，对称轴是直线，
抛物线与轴的交点为，
对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，
；
故②正确；
，
，
，
或；
故③错误；
，
，
，
；
故④正确；
综上，正确结论的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式等，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
16．
【分析】延长到，使，连接、、，作于，作于，证明和全等，得出四边形为平行四边形，四边形为等腰梯形，再证明，设出三角形三边，利用三角形面积求出即可．
【详解】解：如图所示，延长到，使，连接、、，作于，作于，
  
是的中点，
，
，且，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
四边形为等腰梯形，
，
，即是等腰三角形，
，
，，
，
，
，
设，，
，，
，即，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的性质的应用，三角形全等的性质、勾股定理即三角形面积的计算是解题关键．
17．(1)
(2)
(3)见解析
(4)

【分析】（1）根据不等式的性质，移项即可；
（2）根据不等式的性质，移项，合并同类项即可；
（3）根据大有向右拐，小于向左拐画图即可；
（4）根据数轴确定不等式组是解集即可．
【详解】（1）解：由不等式①，得，
故答案为：．
（2）解：由不等式②，得，
故答案为：．
（3）解：将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，
  
（4）解：原不等式组的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．
18．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由矩形的对边平行且相等得出，，结合已知条件，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，于是得出，从而问题得证；
（2）根据矩形的性质得出，，再根据等底同高得出、、△、的面积都相等，即等于矩形的面积的四分之一，再根据直角三角形的面积公式计算的面积，从而得出和的面积之间的关系．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）解：四边形为矩形，
，，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟知矩形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
19．(1)500，30
(2)树状图见解析，

【分析】（1）根据选课程的人数对应分率为列式可得学校人数；由30人中有9人成绩在估计100人中成绩在的人数；
（2）列树状图求出总的结果数，再用概念公式求出概念即可．
【详解】（1）解：
估计该校共有500人；

选课程学生成绩在的有30人；
故答案为：500，30；
（2）解：根据题意列树状图如下：

共有9种等可能的结果数，其中他俩第二次同时选择课程或课程的有2种，
他俩第二次同时选择课程或课程的概率是．
【点睛】本题考查列树状图求概念和用样本估计总体，解题的关键是掌握列树状图的方法和概念公式．
20．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，推出，推出，推出，根据切线判定推出即可；
（2）过点作于，加（1）结论得出矩形，得出，利用勾股定理得出，继而得出，由即可得答案．
【详解】（1）证明：连接，
  
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线．
（2）解：过点作于，
  
，
四边形为矩形，
，
∵直径，
∴，
，
∴，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，平行线性质和判定，等腰三角形性质，切线的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）根据根据题意得点A，K，N三点共线，取格点L作直线交网格线于点B，即可；
（2）取格点，连接，延长交网格线与点，连接，取的中点G，与网格线交于点F，连接，则为的中位线，设交于点，点即为所求；
（3）取格点M，N，D，连接，作直线，交于点，连接，交与点，连接，延长交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：如图1中，点即为所求；
（2）解：如图2中，线段即为所求；
（3）解：如图3中，点即为所求．

【点睛】本题考查作图——轴对称变换，三角形中位线定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．(1)；点B的坐标为
(2)该运动员此次跳水失误了，见解析
(3)

【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式，令得出点B的坐标为；
（2）当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为，将代入解析式得，根据，确定该运动员此次跳水失误了；
（3）根据题意得到点E，M，N ，当抛物线过点M时，，分情况求出值，进而根据点D在之间得出．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
由最高点即顶点坐标为可知，
将原点代入求得，
∴抛物线的解析式为，
令得，解得（舍），，
∴点B的坐标为；
（2）解：当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为，
将代入解析式得，
，
∴该运动员此次跳水失误了；
（3）解：．
∵，点E的坐标为，
∴点M，N的坐标分别为，
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，
∴当抛物线过点M时，，
把代入，得；
同理，当抛物线过点时，，
由点D在之间得．
【点睛】本题考查二次函数实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、根据计算做决策及求参数范围等，读懂题意，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
23．（1）见解析；（2）①；②；（3）
【分析】（1）由题意得出，，则，可证得结论；
（2）①根据含角的直角三角形的性质得，证明，，由相似三角形的性质即可得出；
②由①可得，，，可得，利用勾股定理求出，可得，即可求解；
（3）过点作，过点作交于点，证明，可得，可得，则，根据含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：，
，，
，，
；
（2）解：①，，
，
，
，，
，
，，
，，
，
；
②，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：过点作，过点作交于点，
  
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)存在，或

【分析】（1）利用抛物线顶点坐标已知，将抛物线设为顶点式，代入点，求得抛物线解析式；
（2）先由抛物线的解析式，求出抛物线与坐标轴的三个交点、、，则直角的各个内角三角函数值和边长均可求，且直线的解析式可求，因为，可以过作轴与，交于，则可以证得，利用相等的角的三角函数值相等这个结论，得到与的数量关系，设出点坐标，可以得到点坐标，表示出的长度，继而求得的长度，得到一个二次函数，根据的横坐标范围，讨论这个二次函数最值问题，在顶点处取得最值，即可解决．
（3）根据题意，可以画图，得到可以在轴上方和轴下方两种情况，先看在轴下方，利用、、三点坐标，可以证得，延长交于点，则是一个直角三角形，构造一线三直角模型，可以求得的解析式，从而联立与抛物线解析式，求出交点的横坐标，当在轴上方时，可以先求出关于轴对称点的坐标，先求出直线的解析式，再联立直线与抛物线解析式，求出交点的横坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，代入点，得，
，
抛物线解析式为：．
（2）解：如图1，过作轴于，交于，
  
，
，
，
，
，
令，则，
，
令，则，解得或，
，
，，
，
，
设直线为，代入点，得，
直线为，
∵点在抛物线的图像，点在直线的图像上，且点与点的横坐标相等，
∴设，则，
，
，
，
在第一象限，
，
时，最大值为．
（3）解：①如图2，当在轴下方时，，延长交延长线于，过作轴平行线，过作轴平行线，两线交于点，过作于，
  
，，，
，
同理，，，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
又，
，
，
设直线为，代入点，解得，
直线为，
联立，
，解得或，
的横坐标为；
②如图3，当在轴上方时，
  
关于轴的对称点为，则，连接交抛物线于点，可设直线为，代入点，解得，
直线为
联立，
，
或，
的横坐标为，
综上，的横坐标为或．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了线段最值问题，解决关键就是做横平竖直线，将“斜线段”转化成“垂线段”，利用函数思想解决最值问题，第三问考查了角的存在性问题，要注意画图，分类讨论，利用一线三直角模型来解决问题．