2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题（含解析）

这是一份2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（    ）
A． B．2023 C． D．
2．今年五一假期，湘西州接待游客160.3万人次，实现旅游收入1673000000元，旅游复苏形势喜人将1673000000用科学计数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．已知直线，将一块直角三角板按如图所示的方式摆放．若，则的度数是（    ）
  
A． B． C． D．
5．某校九年级科技创新兴趣小组的7个成员体重（单位：）如下：38，42，35，40，36，42，75，则这组数据的众数和中位数分别是（    ）
A．42，36 B．42，42 C．40，40 D．42，40
6．如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是（    ）

A． B． C． D．
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ）
A．   B．  
C．   D．  
8．一个七边形的内角和是（    ）
A． B． C． D．
9．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ）
  
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．在实数3，，，2中，最小的实数是 ．
12．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
13．分解因式：
14．在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是 ．
15．在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则 ．
16．已知一元二次方程的一个根为．则另一个根 ．
17．如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为 ．
  
18．如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
  

三、解答题
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．某校计划开展以弘扬“文化自信”为主题的系列才艺展示活动，要求每位学生从绘画、合唱、朗诵、书法中自主选择其中一项参加活动为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行同卷调查，根据统计的数据，绘制了如下图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
  
请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
(1)该校此次调查共抽取了__________名学生；
(2)在扇形统计图中，“书法”部分所对应的圆心角的度数为__________．
(3)请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；
(4)若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校参加朗诵的学生人数．
22．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．
  
(1)求证：；
(2)若．求证：四边形是菱形．
23．如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家，图书馆离小明家．小明从家出发，匀速步行了去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了回到家图（）反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．
  
请根据相关信息解答下列问题：
(1)填空：
①食堂离图书馆的距离为__________；
②小明从图书馆回家的平均速度是__________；
③小明读报所用的时间为__________．
④小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为__________．
(2)当时，请直接写出关于的函数解析式．
24．2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
25．如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
26．如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．
  
(1)求二次函数的解析式和的值．
(2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值．

参考答案：
1．B
【分析】根据相反数的定义直接求解即可．
【详解】解：的相反数是2023，
故选：B．
【点睛】本题考查相反数的求解，理解相反数的定义是解题关键．
2．C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：1673000000，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．A
【分析】根据二次根式的性质、积的乘方、合并同类项法则、完全平方公式进行化简计算即可．
【详解】解∶A．，原计算正确，符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．3与不是同类二次根式，不可以合并，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质、积的乘方、合并同类项法则、完全平方公式，掌握相关性质与法则是解题的关键．
4．C
【分析】由，，得，进而得到的度数．
【详解】∵，，
∴．
∵，
∴．
故选C．
  
【点睛】本题主要考查平行线的性质和邻补角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
5．D
【分析】根据众数是出现次数最多的数据，以及中位数是将数据排序后，位于中间位置的数据为中位数进行求解即可．
【详解】解：出现次数最多的数据为42，
∴众数为42，
排序后，位于中间位置的数据为40，
∴中位数为40；
故选D．
【点睛】本题考查求众数和中位数．熟练掌握众数和中位数的确定方法是解题的关键．
6．C
【分析】根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可．
【详解】解：这个几何体的俯视图为：

故选C．
【点睛】本题考查三视图．熟练掌握三视图的确定方法，是解题的关键．
7．A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：由，得：；
由，得：；
∴不等式组的解集为：；
在数轴上表示如下：
  
故选A．
【点睛】本题考查求不等式组的解集，并在数轴上表示出解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集．
8．B
【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可得解.
【详解】解：
.故选B.
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，熟记内角和公式是解题的关键.
9．B
【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，
  
∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于；
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．
10．D
【分析】连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可．
【详解】解：连接、、，交于，如图，

，与相切，切点分别为，，
，，平分，
，
，
，
，
，
∵
∴
∵
∴在中，，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
11．
【分析】根据负数小于0小于正数，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴最小的实数是；
故答案为：
【点睛】本题考查实数比较大小．熟练掌握负数小于0小于正数，是解题的关键．
12．
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得：
，
解得： ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
13．
【分析】先提公因式再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
14．
【分析】用红球个数除以白球与红球数量之和即可．
【详解】解：摸到红球的概率为．
答案为：．
【点睛】本题考查概率的计算，掌握简单概率计算公式是解题的关键．概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．1
【分析】根据题意可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可．
【详解】解：点与点关于轴对称，
点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
，，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查关于轴对称的两点，属于基础题，明白关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．
16．3

【分析】根据根与系数的关系得：，求出即可．
【详解】解： 则根据根与系数的关系得：，
解得：，
即方程的另一个根为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当和是一元二次方程、、为常数，的两个根时，那么，．
17．
【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出，进而求出，然后在中利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解．
【详解】解：在矩形中，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵点F是AE的中点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
18．6
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接
  
∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
19．1
【分析】先计算零次幂，特殊角的正弦值，负指数幂，求解绝对值，再合并即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础也是重要知识点，必须熟练掌握，同时考查了特殊角的三角函数值，零次幂的含义，熟练掌握零次幂，特殊角的正弦值以及负指数幂的运算法则是解题的关键．
20．，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后把的值代入计算即可．
【详解】解：



当时，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．(1)200；
(2)；
(3)见解析；
(4)该校参加朗诵的学生有800名．

【分析】（1）根据选择合唱的人数除以所占的百分比，可以计算出本次调查共抽取的学生数；
（2）用乘以“书法”部分的百分比即可得解；
（3）根据（1）的结果及图中的数据可以计算出朗诵的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（4）用2000乘以朗诵人数所占百分比即可得解．
【详解】（1）解∶该校此次调查共抽取的学生数为∶名，
故答案为∶；
（2）解：“书法”部分所对应的圆心角的度数为∶，
故答案为：；
（3）解：朗诵的人数为∶名，
补全条形统计如下：
  
（4）解：名，
答∶该校参加朗诵的学生有名．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，利用数形相结合的思想是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）连接，交于点，证明，推出四边形为平行四边形，得到，即可得证；
（2）先证明四边形是菱形，得到，进而得到，即可得证．
【详解】（1）证明：连接，交于点，
  
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
23．(1)①；②；③；④或．
(2)

【分析】（1）①由图象中的数据，可以直接写出食堂离小明家的距离和小明从家到食堂用的时间；②根据图象中的数据，用路程除以时间即可得解；③用减去即可得解；④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为，分小明去时和小明返回时两种情况构造一元一次方程求解即可；
（2）根据图象中的数据，利用待定系数法分别求出当、和时三段对应的函数解析式即可．
【详解】（1）解：①，
∴小食堂离图书馆的距离为，
故答案为∶；
②根据题意，
∴小明从图书馆回家的平均速度是，
故答案为：；
③，
故答案为：；
④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为，
当去时，小明离开家的距离为时，
∵，
∴小明到食堂时，小明离开家的距离为不足，
由题意得，
解得，
当返回时，离家的距离为时，根据题意，得，
解得；
故答案为：或．
（2）解：设时，
∵过，
∴，
解得，
∴时，
由图可知，当时，
设时，，
∵过，，
∴，
解得，
∴，
综上所述，当时，关于的函数解析式为．
【点睛】本题考查函数的图象、一元一次方程的应用以及待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．(1)、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元
(2)
(3)型30台，型120台，最大利润是570元．

【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，
（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，
（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润．
【详解】（1）设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得：
，解得：，
答：、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．
（2）设购进型品牌小电器台
由题意得：，
解得，
答：购进A种品牌小电器数量的取值范围．
（3）设获利为元，由题意得：，
∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元
∴
解得：
∴
随的增大而减小，
当台时获利最大，最大元，
答：型30台，型120台，最大利润是570元．
【点睛】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件．
25．(1)见解析
(2)

【分析】（1）先证明，再利用两角分别相等的两个三角形相似证明，利用相似三角形的性质即可求证；
（2）先利用勾股定理求出，再利用和正弦值即可求出．
【详解】（1）连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；

（2）如图，连接，
∵的平分线交于点B，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，，
∴．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正弦函数、圆周角定理的推论和勾股定理等知识，学生应理解与掌握正弦的定义、两角分别相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例、圆周角定理的推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．(1)，
(2)不存在，理由见解析
(3)

【分析】（1）将点，的坐标代入得到二元一次方程组求解可得，的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值；
（2）不存在．设，根据，可得，根据，可确定方程无实数根，即可作出判断；
（3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，，代入可得结论．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，得：，
解得：，，
∴，
∴二次函数的解析式为，；
（2）不存在．理由如下：
如图，设，
∵，，，
∴，，，
∵点在二次函数位于轴上方的图像上，且，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程无实数根，
∴不存在符合条件的点；
  
（3）如图，设交轴于点，
∵，，
∴，
∵点与点关于原点对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∵平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，
①当点与点不重合时，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当点与点重合时，此时点与点重合，
∴，，
∴，
综上所述，的值为．
    
【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键．