2023年广东省深圳高级中学中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省深圳高级中学中考二模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省深圳高级中学中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ）
A．正三角形 B．梯形 C．正五边形 D．正六边形
2．的结果为（  ）
A．4 B．2 C．±2 D．±4
3．“无风才到地，有风还满空．缘渠偏似雪，莫近鬓毛生”，据测定柳絮纤维的直径约为，将数据用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
4．某学校九年级（1）班六名同学定点投篮测试，每人投篮5次，投中的次数统计如下：4，2，3，4，3，2．这组数据的平均数和中位数分别为（    ）
A．3，4 B．3，3 C．4，3 D．4，4
5．一元二次方程的实数根的情况是（    ）
A．有两个不同实数根 B．有两个相同实数根
C．没有实数根 D．不能确定
6．如图，在平面直角坐标系，一次函数与的函数图象交于A和两点，当时，x的取值范围为（    ）
  
A．或 B．
C．或 D．或
7．下列命题中，假命题是（    ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．三点可以确定一个圆
C．全等三角形的对应边上中线相等 D．正n边形外角和为360°
8．数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较与的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较与的大小，以下数形结合正确的是（    ）
  
A．   B．  
C．   D．  
9．如图，平行四边形中，，，，点O为对角线交点，点E为延长线上一动点，连接交于点F，当时，求的长度为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，D是上一动点，于E，交于点F，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．因式分解： ．
12．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，B为的黄金分割点（），如图长度为，则的长度约为 ．（黄金分割率为）
​

13．对于实数，，定义一种新运算“θ”为：，例如：，则的解是 ．
14．如图，，反比例函数，在直角坐标系中A点坐标为，若反比例函数与直角三角形的边有公共点，则k的取值范围为 ．

15．如图，在矩形中，，，P为线段上一个动点，过P做 ，垂足为G，连接，取的中点E，连接，则线段的最小值为 ．
  

三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值：其中．
18．近日，教育部发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》．2022年秋季开学起，劳动课将成为中小学生的一门独立课程．消息一出，引发了不少家长和老师的关注和热议．某校为了解学生对“劳动课”重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
　　
(1)在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为_________，并补全条形统计图；
(2)该校共有学生2400人，请你估计该校对“劳动课”“非常重视”的学生人数；
(3)对“劳动课”“非常重视”的4人有一名男生，三名女生，若从中随机抽取两人作为“劳动教育宣传大使”，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到都是女生的概率．
19．图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹）

(1)在图①中，在线段上画出点，使．
(2)在图②中，画出一个格点，使是以为斜边的等腰直角三角形．
(3)在图③中，在线段上画出点，使．
20．某种服装每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多销售5件．
设每件降价元．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
每件盈利（元）
44
43
42
…

每天销售量（件）
20
25

…

每天盈利（元）
880
1075

…

（Ⅱ）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？
21．如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x＋b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．

(1)求a和k的值；
(2)将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．
22．【定义1】如图1所示，像这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角；
【定义2】站在某一位置观察测物体时，视线范围所成的角度称为视角，如图2，在M和N点对矩形观测，会有不同的视角．
(1)【判断】如图3，连接，_____．（，，）
(2)【问题解决】如图4，在平面直角坐标系中，，，直线，P为直线l上一点，连接，求的最大值．
(3)【拓展应用】学校计划组织学生春游，一条北偏东走向的路上经过紫色大厦时，小明发现在观察紫色大厦时的最大视角为，小明认为，可以通过将公路和建筑物放在如图所示的平面直角坐标系中，可以计算出此时公路距离紫色大厦的最近距离的长度．请你协助小明完成计算，直接写出答案．
  

参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．B
【详解】∵（2）3＝8，
∴＝2.
故选B.
3．D
【分析】将一个数表示成得形式，其中，为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
4．B
【分析】先将数据从小到大排列，根据数据的平均数和中位数的定义即可得出结果．
【详解】解：将数据从小到大排列为：2，2，3，3，4，4，
平均数为：；
中位数为： ；
故这组数据的平均数为3；中位数为3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查数据的平均数和中位数，先将数据从小到大排列是解题的关键．
5．A
【分析】先计算出的值，判断出的符号，进而可得出结论．
【详解】解：∵，
∴方程有两个不同实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题关键．
6．C
【分析】根据图找到二次函数大于一次函数的部分即可得出答案．
【详解】解：∵一次函数与的函数图象交于A和两点，
∴当时，x的取值范围是或．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，需要结合图象，比较简单．
7．B
【分析】根据矩形的判定定理、确定圆的条件、全等三角形的性质和多边形的外角和逐一判断即可求解．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，不符合题意；
B、不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故本选项说法是假命题，符合题意；
C、全等三角形的对应边上中线相等，是真命题，不符合题意；
D、正n边形外角和为360°，是真命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，熟练掌握真命题和假命题的定义是解题的关键．
8．D
【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解．
【详解】解：A．由图形无法利用勾股定理求得表示与的线段长度，
则无法判断大小，那么A不符合题意；
B．由图形无法利用勾股定理求得表示与的线段长度，
则无法判断大小，那么B不符合题意；
C．由图形可得，但无法求得表示的线段长度，
则无法判断大小，那么C不符合题意；
D．由图形可得，，
∵，
∴，
那么D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了数形结合进行无理数的大小比较，利用勾股定理求得对应线段的长度是解题的关键．
9．A
【分析】作于H，延长交于M，，由，令，，勾股定理得，则，得到，由四边形是平行四边形得到，，，则，得到是等腰直角三角形，则，可得，由得到，求得，证明，则，得到，由得到，即可得到的长度．
【详解】解：作于H，延长交于M，，

∵，
∴令，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10．B
【分析】取的中点O，连接，，延长交于T．证明，推出点E在以O为圆心，为半径的圆上运动，推出当与相切时，的值最大，根据切线的性质、平行线的性质及含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，，延长交于T．

∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴E在上，
∵，
∴，
∴点E在以O为圆心，为半径的圆上运动，
∵，
∴当与相切时，的值最大，
∵直线，直线都是的切线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形角的性质、直线与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是发现点E在以O为圆心，为半径的圆上运动，并推出与相切时，的值最大．
11．
【分析】根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．
【分析】根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可.
【详解】解：∵B为的黄金分割点，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟记黄金比是解题的关键.
13．/
【分析】利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】解：∵，
∴，即，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解是，
故答案为：
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
14．
【分析】由中的关系式可求得点B、点C的坐标，由此可求得直线AC的解析式．的边与反比例函数有公共点，则先可求出点B与反比例函数图像有公共点时的最小k值， 再设反比例函数与线段相交于点时k值最大，则，由知当时，k值最大，最大值为．由此确定了k的取值范围．
【详解】如图．

解：∵
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线为，
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点B相交时，最小，
设反比例函数与线段相交于点时k值最大，
则，
∵，
∴当时，k值最大，
因此，k的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数等知识点，解题的关键是熟练运用这些函数的性质．
15．
【分析】先根据题意确定最小时得位置，随着动点而动，它的运动轨迹是平行于得直线，所以当垂直于时，即E、G、P三点共线时的值最小，然后根据三角函数求出相应线段的长即可得出答案．
【详解】解：P为线段上一个动点，点E随着动点P而动，它的运动轨迹是平行于的直线，
∴当垂直于时，的值最小，
∵，
∴E、G、P三点共线，如图：
  
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
根据勾股定理可得，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数的知识，在动点问题中找出界点是解题的关键．
16．1
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开立方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：


．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17．；
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将x的值代入计算．
【详解】解：


，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式的基本性质，将分式通分和约分进行化简是关键．
18．(1)，图见解析
(2)120
(3)

【分析】（1）由“不重视”的人数和所占百分比可以求出抽查的总人数，再根据“比较重视”的人数即可得到其对应圆心角度数，用总人数减去已知三类的人数可以得到“重视”的人数，据此可以补全条形统计图；
（2）算出“非常重视”的学生人数占抽查人数的百分比，然后乘以该校学生总数即可得解；
（3）把一名男生和三名女生分别记为A、B1、B2、B3，根据题意画出树状图即可得到解答．
【详解】（1）16÷20%=80（人），
，
80-（4+16+36）=24（人），即“重视”的人数为24，
故答案为，条形统计图补全如下：

（2）（人），
答：该校对“劳动课”“非常重视”的学生人数约为120人；
（3）记男生为A，女生分别为，

∴P（都是女生）．
【点睛】本题考查数据的整理和分析，熟练掌握扇形统计图圆心角的求法、由样本所占百分比估计总体数量的方法、用列表法或树状图法求概率的方法是解题关键关键．  
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理作出图形即可；
（2）构造等腰直角三角形即可；
（3）根据，则作出对应图形即可．
【详解】（1）如图①中，点即为所求；

（2）如图②中，点即为所求；

（3）如图③中，点即为所求；

【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）每天盈利1600元，则每件应降价4元或36元

【分析】（Ⅰ）根据某种服装每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多销售5件，进行填表即可；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所求可得，解方程即可．
【详解】解：（Ⅰ）∵某种服装每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多销售5件，
∴可列表如下：
每件盈利（元）
44
43
42
…

每天销售量（件）
20
25
30
…

每天盈利（元）
880
1075
1260

…

（Ⅱ）∵每天盈利1600元，
∴，
整理得：，
解得或，
∴每天盈利1600元，则每件应降价4元或36元，
答：每天盈利1600元，则每件应降价4元或36元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解．
21．(1)a＝4，k＝8
(2)①；②4或5

【分析】（1）先将点A坐标代入直线AB的解析式中，求出a，进而求出点B坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；
（2）①先确定出点D(5，4)，进而求出点E坐标，进而求出DE，EF，即可得出结论；
②先表示出点C，D坐标，再分两种情况：Ⅰ、当BC=CD时，判断出点B在AC的垂直平分线上，即可得出结论；
Ⅱ、当BC=BD时，先表示出BC，用BC=BD建立方程求解即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点A(0，8)在直线y＝﹣2x＋b上，
∴﹣2×0＋b＝8，
∴b＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x＋8，
将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x＋8中，得﹣2×2＋8＝a，
∴a＝4，
∴B(2，4)，
将B(2，4)代入反比例函数解析式y＝(x＞0)中，得k＝xy＝2×4＝8；
（2）解：①由（1）知，B(2，4)，k＝8，
∴反比例函数解析式为y＝，
当m＝3时，
∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D(2＋3，4)，
即：D(5，4)，
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，
∴E(5，)，
∴DE＝4﹣＝，EF＝，
∴＝＝；
②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝m，
∵A(0，8)，B(2，4)，
∴C(m，8)，D(m＋2，4)，
∵△BCD是以BC为腰的等腰三角形，
∴Ⅰ、当BC＝CD时，
∴BC＝AB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴m＝2×2＝4，
Ⅱ、当BC＝BD时，
∵B(2，4)，C(m，8)，
∴BC＝，
∴＝m，
∴m＝5，
即：△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．

【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
22．(1)＜
(2)的最大值为
(3)

【分析】（1）由图可得，即可得到答案；
（2）当以为弦的圆，与直线l相切时．P即为切点时，最大，根据，即可求解；
（3）当以为弦的圆P与直线相切时，切点（H）处观察紫色大厦的视角最大，令，根据条件可证为等腰直角三角形，从而求出边长，同理可证为等腰直角三角形，从而求出，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴．
（2）解：当以为弦的圆，与直线l相切时．P即为切点时，最大．
因为此时只有点P在圆上，直线上的其它点都在圆外．如图所示：
    
令直线l与x轴，y轴的交点记为E，F，
因为直线，
则，与x轴夹角是，
将这个圆记为，令，
则，即．
又，．
所以，
解得，（舍去）．
所以．
在中，，所以，则．
所以．
即的最大值为．
（3）解：令公路与x轴，y轴的交点记为E，F；与y轴交点为Q．如图所示：
  
当以为弦的圆P与直线相切时，切点（H）处观察紫色大厦的视角最大．
令，则．
又，所以．
则，
所以为等腰直角三角形．
所以，
则．
又为等腰直角三角形，
所以．
故．
所以．
过点作垂线，则垂线经过点A，且垂线段的长为，
所以最近距离的长为：．
【点睛】本题为一次函数应用的综合题，同时考查了圆的相关知识及解一元二次方程．