2023年河南省南阳市新野县中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年河南省南阳市新野县中考一模数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省南阳市新野县中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数等于（    ）
A． B． C． D．
2．经文化和旅游部数据中心测算，今年春节假期全国国内旅游出游3.08亿人次，实现国内旅游收入3758.43亿元，其中3758.43亿用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（    ）

A． B． C． D．
4．下列立体图形中，可能被一个平面截出的截面是矩形的是（    ）
A． B． C． D．
5．下列说法不正确的是（    ）
A．为了解中央电视台《开学第1课》的收视率，采用抽样调查
B．为调查某单位职工学历情况占整体的百分比，采用扇形统计图
C．为调查神舟十四号飞船的零部件的质量，采用抽样调查
D．为调查某校初一班级学生的校服尺码，采用全面调查
6．不等式组的解集是（    ）
A． B． C． D．无解
7．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
8．丽丽与雯雯相约去天文馆参观，该馆有A、B两个入口，有C、D、E三个出口，他们从同一入口B进入后分散参观，结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是（    ）
A． B． C． D．
9．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（    ）

A． B． C． D．
10．小明设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，以保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：），观察并记录弹簧测力计的示数F（单位：N）有什么变化．小明根据实验得到的下列结论中，不正确的是（    ）

A．L与F的函数关系式为 B．当时，
C．当时， D．保持木杆水平，F的最小值为10

二、填空题
11．请写出一个与y轴正半轴相交的直线的表达式 ．
12．若将点向右平移3个单位长度，得到点B，则与点B关于x轴对称的点C的坐标是 ．
13．如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点P．若，则的度数等于 ．

14．如图，在菱形中，，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若的最小值为3，则的长为 ．

15．如图，在中，，，，点D、E分别在边、上，，，将绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是、，当A、、三点共线时，的度数为 ．


三、解答题
16．（1）计算：．
（2）化简：．
17．某校为了解八年级学生的身高状况，随机抽取40名男生、40名女生进行身高调查．根据所得数据绘制如下统计图表．根据图表中提供的信息，回答下列问题：
组别
身高










(1)求身高在之间的男生人数，并补全直方图．
(2)男生身高的中位数落在______组，女生身高的中位数落在______组．（填组别字母序号）
(3)已知该校八年级共有男生400人，女生420人，请估计八年级身高不足的学生数．
18．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B．

(1)a的值为__________，k的值为__________．
(2)请用无刻度的直尺和圆规，过点A作，交x轴于点C．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)求点C的坐标．
19．利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到重视．2022年9月，河南省发改委下发《关于2022年风电和集中式光伏发电项目建设有关事项的通知》，共73个风电项目进入河南省新能源前期项目库．风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．王丹同学站在A处测得塔杆顶端C的仰角是，她又沿方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现当一叶片到达最高位置时，测得叶片的顶端D的仰角是（点D、C、H在同一直线上）．已知塔杆的高为60米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高为10米，，求叶片的长度．（答案精确到0.1米，参考数据：）

20．洛阳是著名的牡丹之乡，有许多吟咏赞美牡丹的诗句留传于世，唐代诗人刘禹锡就有“唯有牡丹真国色，花开时节动帝京”的诗句，宋代诗人李正封的一句“国色朝酣酒，天香染夜衣”更使牡丹获得了“国色天香”的称号．3月植树节，某公司为改善工作氛围，计划采购甲、乙两种牡丹花苗，组织员工团建种植牡丹．已知购买15株甲种花苗和8株乙种花苗共需580元；购买9株甲种花苗和4株乙种花苗共需320元．
(1)购买的甲、乙两种花苗每株的价格分别是多少？
(2)若该公司计划购买甲、乙两种花苗共80株，且购买乙种花苗的数量不少于甲种花苗数量的．设购买甲种花苗m株，则当m为何值时，购买花苗的总费用最低，最低费用为多少元？
21．水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，如图1所示的是一种水车的实物图，由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．某数学兴趣小组对其进行了研究，示意图如图2所示，为立式水轮，水轮在水流的作用下，将水送至C处，再经水槽送至B处水渠，D为水轮与水面的交汇处，连接，交于点E，连接．已知与相切．

(1)求证：为等腰三角形．
(2)若米，米，且，求水渠离水面的高度．（答案精确到0.1米）
22．已知抛物线（，是常数）与轴相交于点和点，顶点为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若直线（是常数）与抛物线相交于点，与线段相交于点，当取最大值时，求点的坐标．
(3)当时，若的最大值与最小值之差为，直接写出的值．
23．综合与实践
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形．
实践操作：
第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H．
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH．

(1)在图②中，______，______；
(2)在图②中， ______；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
(3)拓展延伸：将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点落在矩形的内部或一边上，设，若，连接，的长度为m，则m的取值范围是______．

参考答案：
1．C
【分析】根据乘积是1的两数互为倒数．据此解答即可．
【详解】解：∵
∴的倒数等于
故选：C
【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
2．B
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】3758.43亿．
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
3．A
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再根据平角等于列式计算即可得解．
【详解】如图，∵直尺对边互相平行，

∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．D
【分析】根据几何体截面的概念求解即可．
【详解】解：由题意可得，可能被一个平面截出的截面是矩形的是圆柱体，
故选：D．
【点睛】本题考查的是几何体截面的形状，截面的形状既与被截几何体有关，还与截面的角度和方向有关．认真观察图中的截面是解题的关键．
5．C
【分析】根据抽样调查，全面调查的适用情况，以及扇形统计图的优点，逐个判断各选项，即可进行解答．
【详解】解：为调查神舟十四号飞船的零部件的质量，采用全面调查，故C不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抽样调查，全面调查的适用情况，以及扇形统计图的优点，解题的关键是熟练掌握抽样调查，全面调查的适用情况，以及扇形统计图可以清晰的反应各部分占总体的百分比．
6．B
【分析】先分别求出不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：
由①得，，
由②得，，
根据“小大大小中间找”的原则可知，原不等式组的解集为：．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是要遵循以下原则：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由关于x的一元二次方程有两个实数根，可知：
，
解得：；
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8．C
【分析】先画出树状图，共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种，再根据概率公式，计算即可得出结果．
【详解】解：画树状图如下：

∵共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种，
∴她们恰好从同一出口走出的概率为．
故选：C．
【点睛】本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．
9．A
【分析】首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，根据定理求出，，最后利用矩形面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴解得：，负值舍去，
∴，，
∴矩形的面积．
故选：A．
【点睛】此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，三角形函数的运用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
10．C
【分析】根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，可得出即即可得出结论．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，


故选项正确，不符合题意．
∴当时，，
故选项正确，不符合题意．
∴当时，，
∴故选项错误，符合题意．
∵一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，
∴右侧最长为，

故选项正确，不符合题意．
故选：
【点睛】本题主要考查了反比例函数与实际问题的综合，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
11．（答案不唯一）
【分析】设函数的解析式为，再根据一次函数的图象与y轴的正半轴相交可知，写出符合此条件的函数解析式即可．
【详解】解：设一次函数的解析式为，
∵一次函数的图象与y轴的正半轴相交，
∴，
∴符合条件的函数解析式可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
12．
【分析】根据点的平移规律得到，根据关于x轴对称的点的规律即可得到点C的坐标．
【详解】解：将点向右平移3个单位长度，得到点，与点B关于x轴对称的点C的坐标是，
故答案为：
【点睛】此题考查了点的平移规律和关于坐标轴对称点的规律，熟练掌握相关规律是解题的关键．
13．
【分析】利用垂直的意义，对顶角相等和三角形的内角和定理求得的度数，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质求得的度数；利用切线的性质定理求得，则可求，利用三角形的内角和定理即可求得结论．
【详解】解：，
，
，，
，
．
，
．
为的切线，
，
．
．
故答案为∶
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，垂直的意义，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
14．
【分析】连接，利用中位线的性质，要使最小，只要最小，当时，最小为6，由确定为等腰直角三角形，得出，由勾股定理得：求出即可．
【详解】解：连接，

∵，分别为，的中点，
∴，且，
要使最小，只要最小，
当时，最小，
∵的最小值为3，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键．
15．或
【分析】分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，当点在线段上时，

，，，
，，
∵将绕点B旋转至，
，，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
；
如图：当点在线段的延长线上时，

，，
，
∵将绕点B旋转至，
，，
，
，
在与中，

，
，
，点在上，
综上，的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论解决问题是本题的关键．
16．（1）（2）
【分析】（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、算术平方根的概念计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）根据分式混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式

．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算与实数的运算，解答此题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
17．(1)4人，补全图见解析
(2)D；C
(3)八年级身高不足的学生约有537人

【分析】（1）将位于这一小组内的频数相加即可求得结果．
（2）根据中位数的定义解答即可．
（3）分别表示出男、女生的人数，相加即可得解．
【详解】（1）（人），
身高在之间的男生有4人．
补全的直方图如下：

（2）∵在样本中，共有40人，
∴中位数是第20和第21人的平均数，
∴男生身高的中位数落在D组．
A：（人），
B：（人），
C：（人），
∵在样本中，共有40人，
∴中位数是第20和第21人的平均数，
∴女生身高的中位数落在C组．
故答案为：D；C．
（3）（人），
∴八年级身高不足的学生约有537人．
【点睛】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断和解决问题．
18．(1)；
(2)见解析
(3)

【分析】（1）把分别代入一次与反比例函数解析式，求解即可；
（2）根据基本作图：经过直线 上一点作已知直线的垂直作法作图即可；
（3）先求出点B坐标，求得，再过点A作轴于D，证明，得，即，求得，从而得，即可得出点C坐标．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得：；
把代入，得，
解得：．
（2）解：如图所示，直线即为所作；

（3）解：由（1）知：一次函数解析式为：，
令，则，
解得：，
∴，
∴，
过点A作轴于D，

∵，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵点C在x轴的负半轴上，
∴．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，尺规基本作图-过一点作直线的垂直，相似三角形的判定与性质，熟练掌握待定系数法求一次函数与反比例函数解析式、尺规基本作图-过一点作直线的垂直、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19．35.9米
【分析】过点B作于点E，首先得到，然后利用三角函数值求出，然后证明出是等腰直角三角形，利用线段的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点B作于点E，则．

在中，，
∴（米），
∴（米），
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴米．
∵米，
∴（米），
∴（米）．
答：叶片的长度约为35.9米．
【点睛】此题考查了三角函数的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
20．(1)甲种花苗的价格为每株20元，乙种花苗的价格为每株35元
(2)当时，购买花苗的总费用最低，最低为1840元

【分析】（1）设甲种花苗的价格为每株x元，乙种花苗的价格为每株y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买花苗的总费用为w元，根据题意表示出总费用，然后根据购买乙种花苗的数量不少于甲种花苗数量的得到，最后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设甲种花苗的价格为每株x元，乙种花苗的价格为每株y元，
依题意，得，解得．
答：甲种花苗的价格为每株20元，乙种花苗的价格为每株35元．
（2）设购买花苗的总费用为w元，
则由题意有且，
整理得．
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，购买花苗的总费用最低，最低为1840元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用和不等式的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
21．(1)见解析
(2)2.4米

【分析】（1）延长交于点A，连接，由圆周角定理可得，从而可得，再由切线的性质可得，从而可得，再利用圆周角定理可得，即可得出结论；
（2）证明，可得，从而求出，再利用锐角三角函数值即可求出结果．
【详解】（1）证明：如图，延长交于点A，连接，
∵是直径，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．

（2）解：∵，
∴，
∴，
∵米，米，
∴米，
在中，．
答：水渠离水面的高度约为2.4米．
【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、等边三角形的定义、相似三角形的判定与性质及解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）利用待定系数法即可得出答案
（2）利用待定系数法确定直线的表达式为，设，，且，可得，再利用二次函数的最值即可得出答案；
（3）由抛物线的表达式可得当时，的最小值为，当时，，可知当时，的最大值为，根据的最大值与最小值之差为，可建立关于方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵，在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）∵抛物线的表达式为，整理可得：，
∴点的坐标为，
设直线的表达式为，、，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
∵直线（是常数）与抛物线相交于点，与线段相交于点，
设，，且，
∴，
∴当时，取最大值，此时，
∴．
（3）∵抛物线的表达式为，
∴当时，的最小值为，
∵当时，若的最大值与最小值之差为，
当时，，
∴当时，的最大值为，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴．
【点睛】本题考查待定系数法确定抛物线和直线的解析式，图像上点的坐标特征，两点间距离，抛物线的最值，一元二次方程的应用．掌握抛物线的最值是解题的关键．
23．(1)；．
(2)AE或CF或BF或DE（填一条即可）证明见解析
(3)

【分析】（1）根据矩形的性质，结合折叠知识，得出，，得出，得出，即可求出；设=x，则，在Rt中，根据勾股定理，列出关于x的方程，解方程得出x的值，求出GE，CG，即可得出答案；
（2）根据，得出，根据，得出，根据折叠得出，即可得出，从而可以证明，根据相似三角形的性质，即可得出结论；
（3）先根据折叠确定点的轨迹，然后根据其轨迹找出的最大值和最小值，即可确定m的取值范围．
【详解】（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=，，
∵点D的对应点D′恰好与点H重合，
∴，
∵矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H，
∴，，，
∴，
∴，，
即，
∴；
在中，，
根据折叠可知，，，
设=x，，
在Rt中，，
即，
解得：，
∴，
，
∴；
故答案为：；．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
根据折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴空白处可以填AE或CF或BF或DE．
故答案为：AE或CF或BF或DE（填其中任意一条即可）．
（3）∵在将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点在以点C为圆心，以CD为半径的圆上，
∴当点在AC上时，最小，
即的最小值为AH，
∴，
∵点落在矩形的内部或一边上，
∴当点在点D时，最大，
∵0°