2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题（含解析）

这是一份2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题（含解析），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．实数3的相反数是（    ）
A．3 B． C． D．
2．下列图形中、既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A．   B．   C．     D．  
3．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．下图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体、这个几何体的主视图是（    ）
  
A．   B．   C．   D．  
5．某校对部分参加夏令营的中学生的年龄进行统计，结果如下表：
年龄岁
13
14
15
16
17
18
人数/人
5
8
11
20
9
7
则这些学生年龄的众数是（    ）
A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁
6．在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，这些球除颜色外无其他差别、随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为（    ）
A． B． C． D．
7．如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（    ）
    
A．48° B．58° C．68° D．78°
8．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（   ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线交于点M，交于点N．连接．则的长为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点D，点E为线段上的动点，作交于点F，作交射线于点G，过点G作于点H，点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形与重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（    ）
  
A．   B．    
C．     D．  

二、填空题
11．若有意义，则实数a的取值范围是 ．
12．分解因式： ．
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14．某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛，这两名运动员10次测试成绩（单位：m）的平均数是，，方差是，，那么应选 去参加比赛．（填“甲”或“乙”）
15．如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．
  
16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数（）的图象上，则的值是 ．
  
17．如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，则四边形的面积与的面积的比值为 ．
  
18．如图，在矩形中，，，点M为的中点，E是上的一点，连接，作点B关于直线的对称点，连接并延长交于点F．当最大时，点到的距离是 ．
  

三、解答题
19．先化简，再求值：，其中．
20．为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：．民族舞蹈组；．经典诵读组；．民族乐器组；．地方戏曲组．为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
  
请根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有________人；
(2)在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
(3)在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这个小组中随机抽取个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的个小组恰好是和小组的概率．
21．某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入76元．
(1)每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？
(2)某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？
22．小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
  
(1)求两楼之间的距离（结果保留根号）；
(2)求大厦的高度（结果取整数）．
（参考数据：，，，）
23．电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？
24．如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．
  
(1)求证：与相切；
(2)若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长．
25．是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．

(1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当，时，请直接写出的长．
26．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标；
(3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点的坐标．

参考答案：
1．D
【分析】根据相反数的定义进行判断即可．
【详解】解：实数3的相反数，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握知识点，只有符号不同的两个数互为相反数，是解题关键．
2．B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：选项A的图形，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故都不符合题意；
选项B中的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；
选项C中的图形，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
选项D中的图形，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．B
【分析】利用同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则、幂的乘方法则逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A. ，故该选项运算错误，不合题意；
B. ，故该选项运算正确，符合题意；
C. 与不是同类项，不能合并，故该选项运算错误，不合题意；
D. ，故该选项运算错误，不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除运算、合并同类项、幂的乘方，正确掌握运算法则是解题的关键．
4．C
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看可得第一列有1个正方形，第二列有2个正方形，第三列有1个正方形，如图所示：
     
故选C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图的定义是解题的关键．
5．D
【分析】根据众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】解：由表可知16岁出现了20次，出现次数最多，
所以众数为16岁，
故选：D．
【点睛】考查了众数．掌握众数的定义是解题的关键．
6．C
【分析】直接用白球的数量除以不透明袋子中球的总数即可．
【详解】解：恰好是白球的概率为 ，
故选C．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．
7．B
【分析】根据“两直线平行，同位角相等”和“邻补角互补”来求∠2的度数．
【详解】解：∵，
∴
∵
∴
故选：B
    
【点睛】本题考查了平行线的性质．平行线性质定理：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
8．A
【分析】根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，利用速度=路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：规定时间为天，
慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，
又快马的速度是慢马的2倍，
可列出方程．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．B
【分析】由作法可得垂直平分，由垂直平分线的性质可得，利用等边对等角、三角形内角和定理求出，过点C作于点H，则是等腰直角三角形，通过解直角三角形求出和即可．
【详解】解：由作法可得垂直平分，
，
，
．
，，
，
，
如图，过点C作于点H，则是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解直角三角形等，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形．
10．A
【分析】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴是边长为6的正三角形，
∵平分，
∴，，，
①当矩形全部在之中，即由图1到图2，此时，
  
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
②如图3时，当，
则，解得，
由图2到图3，此时，
    
如图4，记，的交点为，则是正三角形，
∴，
∴， 而，
∴，
∴

，
③如图6时，，由图3到图6，此时，
  
如图5，同理是正三角形，
∴，，，
∴

，
因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．
11．
【分析】根据二次根式有意义则被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．/
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根．
14．甲
【分析】根据方差的大小判断即可．
【详解】解：由题意知，，，
因此甲的成绩比乙的成绩稳定，应选甲去参加比赛，
故答案为：甲．
【点睛】本题考查利用方差做决策，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小，掌握方差的意义是解题的关键．
15．//1.5
【分析】先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长．
【详解】解：，
，
点D为的中点，
，
又，
，
，
中，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明是解题的关键．
16．
【分析】过点作轴于点，由旋转的性质得，，，在中求出、的长，即可得出点的坐标，代入反比例函数解析式即可求出的值．
【详解】解∶过点作轴于点，
  
由旋转的性质得，，，
∵点的坐标为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得．
∴，
∴点的坐标为，，
∵点恰好落在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化之旋转，解答本题的关键是求出点的坐标．
17．
【分析】根据平行四边形推出平行四边形，根据和相似，进而求出各个三角形的面积比，设，表示出其他三角形面积，进而作答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴
同理，
∵，
∴，
设，则，，
∴
∴
故答案为∶
【点睛】本题考查平行四边形及三角形的相似，相似比和面积比，解题的关键是根据三角形的相似比表示出三角形的面积．
18．
【分析】如图，由题意可得：在上，过作于，由点B关于直线的对称点，可得，，，，当与切于点时，最大，此时，证明，重合，可得，，求解，证明，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，由题意可得：在上，过作于，
∵点B关于直线的对称点，
∴，，，，
当与切于点时，最大，此时，
  
∴，
∴，重合，
∴，
∵矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
19．，
【分析】先用平方差公式因式分解，化除法为乘法，约分化简，最后将代入即可．
【详解】解：



，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．(1)；
(2)，补全统计图见解析；
(3)．

【分析】（1）从两个统计图可知，样本中参加组的有人，占调查人数的，由频率可求出调查人数；
（2）求出样本中选择组的学生所占的百分比，进而可求出相应的圆心角度数，求出选择组的学生人数，即可补全条形统计图；
（3）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】（1）解∶人，
故答案为∶；
（2）解：组所对应的扇形圆心角的度数为∶，
选择组的人数为∶（人），
补全条形统计图如下∶
  
（3）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下∶
  
共有种等可能出现的结果，其中个小组恰好是和小组的有种，
所以选中的个小组恰好是和小组的概率为．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用列表法或树状图求概率，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率是正确解答的总数关键．
21．(1)36；20
(2)31

【分析】（1）设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，根据“卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论;
（2）设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环个，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论.
【详解】（1）解：设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，
根据题意得， ，解得: ，
答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元；
（2）解：设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环个，
根据题意得：，
解得，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为31.
答：最多可购买甲种驱蚊手环31个.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： 找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.
22．(1)米
(2)92米

【分析】（1）作于点E，利用三角函数解即可；
（2）先证四边形是矩形，再利用三角函数解求出，进而可求．
【详解】（1）解：如图，作于点E，则，
  
由题意知，，，
故，
即两楼之间的距离为米；
（2）解：由题意知，
四边形是矩形，
，，
中，，
，
，
即大厦的高度为92米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．(1)（其中，且x为整数）
(2)当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元

【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可；
（2）设每周销售这款玩具所获的利润为W，列出W关于x的二次函数关系式，化为顶点式即可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由已知得，
解得，
因此y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）；
（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W，
由题意得，
，
W关于x的二次函数图象开口向上，
，且x为整数，
当时，W取最大值，最大值为1800，
即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的实际应用，列出周利润W关于x的二次函数关系式是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，由是的直径可得，进而可得，再根据圆周角定理可得，进而可证，，即可证明与相切；
（2）连接，，先证是等边三角形，推出，再根据圆周角定理证明，进而可得，再根据弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
  
是的直径，
，
平分交于点E，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（2）解：如图，连接，，
  
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，是的直径，
，
．
即的长为．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键．
25．(1)；
(2)仍然成立，理由见解析；
(3)或．

【分析】（1）可证得，进一步利用等腰三角形的三线合一得出结果；
（2）连接、，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出；
（3）分为两种情形∶当点在的延长线上时，作于，可得出，，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，，进一步得出结果．
【详解】（1）解∶∵是等边三角形，点是的中点，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，仍然成立，理由如下∶连接、，

∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：如图，当点在的延长线上时，作⟂于，

∵，
∴，，
∴，
∴．
由（）知∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当点在上时，作于，

由上知∶，
∴，
∴，
∴，
综上所述∶或．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”等模型．
26．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）根据直角三角形三角函数值可得，，进而可得的周长，结合已知条件可得，设，则，，从而可得方程，解方程即可；
（3）先求出，，设，过点M作轴于点N，通过证明，求出，再求出直线的解析式为，将点代入解析式求出n的值即可．
【详解】（1）解：将，代入，
可得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：，，
，，
，
，，
的周长，
的周长是线段长度的2倍，
，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
设，则，，
，，
，
解得，（舍），
，
；
（3）解：，
当时，y取最大值，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
设，过点M作轴于点N，

由题意知，
，
，
，
又，，
，
，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
将点代入，得，
解得或，
或．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等，综合性较强，难度较大，熟练运用数形结合思想，正确作出辅助线是解题的关键．