专题02 排列数组合数的计算-2024年新高考数学题型全归纳之排列组合

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专题02 排列数组合数的计算
类型一、排列数组合数的简单计算
例1．（2023·全国·高三专题练习）若，则（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10

例2．（2023·全国·高三专题练习）若，则n等（    ）
A．8 B．4 C．3或4 D．5或6

例3．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（   ）
A．{2，8} B．{2，6}
C．{7，12} D．{8}

例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为（    ）
A．3 B．3或4 C．4 D．4或5

例5．（2023·高二课时练习）设，则______．

例6．（2023·高二课时练习）计算：______．

例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______．

例8．（2023·高二课时练习）设，则______．

例9．（2023·高二课时练习）若，则的值为______．

例10．（2023·高二课时练习）计算：______．

例11．（2023·高二课时练习）关于n的不等式的解集为______．

例12．（2023·高二课时练习）化简：______．

例13．（2023·高二课时练习）若（），则______．

例14．（2023·高二课时练习）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）猜想的值，并证明你的结果．





类型二、排列数组合数公式的应用
例15．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考）从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法．在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有种取法．显然，即有等式：成立．试根据上述想法，下面式子（其中）应等于
A． B． C． D．

例16．（多选题）（2023春·江苏常州·高二统考）对且，下列等式一定恒成立的是（    ）.
A． B．
C． D．

例17．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二龙江县第一中学校考阶段练习）从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球，共有种取法.在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，另一类是取出个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立.试根据上述思想化简下列式子：___________.

例18．（2023春·上海·高二专题练习）是否存在等差数列，使对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.




例19．（2023春·高二课时练习）规定，其中，是正整数，且，这是组合数（、是正整数，且）的一种推广.
（1）求的值；
（2）设，当为何值时，取得最小值？
（3）组合数的两个性质：①.②.是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.




例20．（2023·高二课时练习）规定，其中，m为正整数，且，这是排列数（n，m是正整数，且）的一种推广.
（1）求的值.
（2）排列数的两个性质①，②（n，m是正整数，且）是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，请说明理由.




例21．（2023·上海·高考真题）规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广．
(1)求的值．
(2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，．




例22．（2023·高二课时练习）（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若m、n、r均为正整数，试证明：．




例23．（2023·高二课时练习）请证明下列等式：
(1)；
(2)；
(3)．




例24．（2023春·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考阶段练习）（1）证明：，
（2）求和




例25．（2023·高二课时练习）（1）证明：；
（2）计算：.




例26．（2023·高二课时练习）规定，其中，，且，这是组合数（，且）的一种推广.
（1）求的值.
（2）组合数具有两个性质：①；②.这两个性质是否都能推广到（，）？若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由.




例27．（2023·高二课时练习）求证：.




例28．（2023·全国·高三专题练习）设，，其中．
（1）当时，求的值；
（2）对，证明：恒为定值．