专题08 直接法模型-2024年新高考数学题型全归纳之排列组合

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专题08 直接法模型
【典型例题】
例1．（2023·浙江·高三慈溪中学校联考）从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（    ）种.
A．16 B．20 C．96 D．120

例2．（2023·四川成都·高三统考）某校在重阳节当日安排4位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，则不同的分配方案数是（    ）
A．81 B．72 C．48 D．36

例3．（2023·甘肃兰州·高二兰州一中校考）4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（    ）
A．288 B．336 C．368 D．412

例4．（云南省红河州第一中学2023届高三第二次联考数学试题）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（    ）
A．15种 B．28种 C．31种 D．63种

例5．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）
A．60种 B．90种 C．120种 D．360种

例6．（2023·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）沈阳二中24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，请问此次篮球赛学校共举办了多少场比赛？（    ）
A．51 B．42 C．39 D．36

例7．（2023·全国·高三专题练习）在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（    ）
A． B． C． D．

例8．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）2022年9月3日贵阳市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织6名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸.由于高三年级学生人数较多，要求高三教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（    ）
A．240 B．150 C．690 D．180

例9．（多选题）（2023·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）2022年在全世界范围内，气温升高是十分显著的，世界气象组织预测2022年到2026年间，有93%的概率平均气温会超过2016年，达到历史上最高气温纪录．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（    ）
A．选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种
B．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种
C．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种
D．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种

例10．（多选题）（2023春·福建·高二福建师大附中校考）新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（    ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为

例11．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）某班级计划安排学号为1～9的九名同学中的某5位，分别担任周一至周五的值日生，要求学号为奇数的同学不能安排在周一、周三、周五三天值日，则不同的安排方法有__________种．(用数字作答)

例12．（2023·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）某校三位同学报名参加数、理、化、生四门学科竞赛，每人必须报两门，由于数学是该校优势学科，所以至少有两人参赛，若要求每门学科都要有人报名，则不同的参赛方案有______种

例13．（2023·全国·模拟预测）名老师带着名学生去参加数学建模比赛，先要选人站成一排拍照，且名老师同时参加拍照时两人不能相邻．则名老师至少有人参加拍照的排列方法有______种．（用数字作答）

例14．（2023·上海金山·统考一模）从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）.

例15．（2023·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）从3个女生4个男生中选取3人参加某项活动，男生女生都要有人参加，共有_______种选法．

例16．（2023春·上海闵行·高二校考期末）书架上有2本不同的数学书，3本不同的语文书，4本不同的英语书．若从这些书中取不同科目的书两本，有____种不同的取法．

例17．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考）为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校恰好要安排2名大学生，则不同的安排方法共有__________（用数字表示结果）.

例18．（2023·北京西城·高二统考期末）从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动.
(1)共有多少种不同的选择方法？
(2)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？




例19．（2023·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考阶段练习）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中
(1)若恰好有一个空盒，则有多少种放法？
(2)若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？




例20．（2023·辽宁葫芦岛·高二校联考）将4个不同的小球放入2个不同的袋子中．
(1)若每个袋子中放2个小球，有多少种放法？
(2)若每个袋子中至少放1个小球，有多少种放法？