专题11 多面手问题-2024年新高考数学题型全归纳之排列组合

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专题11 多面手问题
【方法技巧与总结】
解含有约束条件的排列组合问题，即多面手问题，可元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理．
第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种；
第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种；
第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种，
所以共有种不同的选法，
故选：A．
例2．（2023·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法
A．225 B．185 C．145 D．110
【答案】B
【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．
①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；
②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，
因此有种；
③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，
这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有种．
综上分析，共可开出种．
故选：B．
例3．（2023·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ）
A．26种 B．30种 C．37种 D．42种
【答案】C
【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：
①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法，
②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法，
③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，
则有种不同的选法．
故选：C．
例4．（2023·全国·高三专题练习）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ）
A．56种 B．68种
C．74种 D．92种
【答案】D
【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有 种，有一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有种，即共有(种)不同的选派方法．
故选：D
例5．（2023春·湖北十堰·高二统考期末）某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ）
A．26种 B．30种 C．37种 D．42种
【答案】C
【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，
据此分3种情况讨论：
①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法，
②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法，
③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，
则有种不同的选法；
故选：C．
例6．（2023春·安徽六安·高二六安一中阶段练习）在名工人中,有人只当钳工, 人只当车工,另外人既会钳工又会车工，现从人中选出人当钳工, 人当车工,则共有（    ）种不同的选法.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】按即会钳工又会车工的2人分类：
2人都不选的情况有种，
只选1人且当钳工的情况有种，
只选1人且当车工的情况有种，
选2人其中1人钳工1人车工的情况有种，
选2人都当钳工的情况有种，
选2人都当车工的情况有种，
由分类加法原理得选法有种.
故选：D.
例7．（2023春·宁夏·高二宁夏长庆高级中学校考期中）某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为
A．36种 B．33种 C．27种 D．21种
【答案】C
【解析】第一类，船两大人一小孩，船一大人一小孩：有种方法.
第二类，船一大人两小孩，船两大人：有种方法.
第三类，船一大人两小孩，船一大人，船一大人：有种方法.
第四类，船一大人一小孩，船一大人一小孩，船一大人：有种方法.
根据分类加法计数原理，共有种不同的方法. 故选C.
考点：排列、组合、分类加法计数原理.
例8．（2023·全国·高三专题练习）有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为
A．18 B．15 C．16 D．25
【答案】B
【解析】名会唱歌的从中选出两个有种,名会跳舞的选出名有种选法,但其中一名既会唱歌又会跳舞的有一个,两组不能同时用他,共有种，故选B.
例9．（2023秋·河南南阳·高二校考阶段练习）我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有______种不同的选法
【答案】216
【解析】根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.
第一类：2个只会跳舞的都不选，有种;
第二类：2个只会跳舞的有1人入选，有种;
第三类：2个只会跳舞的全入选，有种,
所以共有216种不同的选法,
故答案为：216.
例10．（2023春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有__________种.
【答案】37
【解析】第一类：参加比赛的6人中没有会划左右桨的，共有种，
第二类：参加比赛的6人中有1人会划左右桨的，共有种，
第三类：参加比赛的6人中有2人会划左右桨的，
共有种，
则共有种.
故答案为：37
例11．（2023秋·辽宁朝阳·高三校考期中）现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法．
【答案】60
【解析】因为英语翻译只能从多面手中选，所以有
（1）当选出的多面手2人从事英语翻译，没人从事俄语翻译，所以有种选法；
（2）当选出的多面手2人从事英语翻译，1人从事俄语翻译，所以有种选法；
（3）当选出的多面手2人从事英语翻译，2人从事俄语翻译，所以有种选法；
共有18+36+6=60种选法．
例12．（2023·上海·高三专题练习）6名男生4名女生共10人，要从这10个人中选出3人共同去完成某项任务，要求这3人中至少要有1个女生，则不同的选法有_________种.
【答案】100
【解析】由题意，从10个人中抽取3人所包含的基本事件个数为，
从6个男生中抽取3人所包含的基本事件个数为，
所以这3人中至少要有1个女生所包含的基本事件个数为：.
故答案为：.
例13．（2023秋·海南·高二海南华侨中学校考期末）6名学生，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，剩下1人既会唱歌又会跳舞，选出2人唱歌2人跳舞，共有______种不同的选法.（请用数学作答）
【答案】12
【解析】根据既会唱歌又会跳舞的那1个人未选中，选中唱歌，选中跳舞分类：
．
故答案为：12.
例14．（2023春·四川广安·高二四川省武胜烈面中学校校考期中）6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，共有______种不同的选法．
【答案】12
【解析】由题意可对选出的电工2人木工2人分类：
①既会电工又会木工1人没入选，有种选法；
②既会电工又会木工1人入选充当电工，有种选法；
③既会电工又会木工1人入选充当木工，有种选法；
综上，共有种选法．
故答案为：12．
例15．（2023春·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）在一次演唱会上共名演员，其中人能唱歌，人会跳舞，现要演出一个人唱歌人伴舞的节目，有___________种选派方法（填数字）.
【答案】
【解析】设既会唱歌又会跳舞的演员人数为，则，解得，
所以，只会唱歌的演员人数为，只会跳舞的演员人数为，
①若既会唱歌又会跳舞的演员一个人都没选，则不同的选派方法种数为；
②若既会唱歌又会跳舞的演员只选了个人，则这个人要么唱歌，要么伴舞，
此时，不同的选派方法种数为；
③若既会唱歌又会跳舞的演员选了个人，则这个人可以同时唱歌、同时伴舞或人唱歌人伴舞，
此时，不同的选派方法种数为；
④若既会唱歌又会跳舞的演员全选，则这个人有人唱歌人伴舞或人伴舞人唱歌，
此时，不同的选派方法种数为.
综上所述，不同的选派方法种数为.
故答案为：.
例16．（2023春·山西·高二临汾第一中学校校考期中）某公园现有甲、乙、丙三只小船，甲船可乘3人，乙船可乘2人，丙船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只(每船必须坐人)，为安全起见，儿童必须由成人陪同方可乘船，则分乘这些船只的方法有______种（用数字作答）.
【答案】18
【解析】一个大人带两个儿童时，大人的选法有种，故方法数有种. 两个大人各带一个儿童时，先排好大人，再排小孩，方法数有种.故总的方法数有种.
例17．（2023·高二课时练习）有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，有多少种不同的选法？
【解析】设集合A={只会划左舷的3人}，B={只会划右舷的4人}，C={既会划左舷又会划右舷的5人}.先分类，以集合A为基准，选择划左舷的3个人，有以下几类情况.
①从A中选3人；②从A中选2人，C中选1人；③从A中选1人，C中选2人；④从C中选3人.
对于①，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合B，C中选3人，有种选法，同理可得②③④的选法种树分别为，，.故不同的选法种树为.
故答案为：2174
例18．（2023·二年级单元测试）某公园有P,Q,R三只小艇,P艇最多可乘3人,Q艇最多可乘2人,R艇只能乘1人,现在3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小艇,规定有小孩的艇必须有大人,共有多少种不同的乘艇方法?
【解析】乘艇方法可分为两类:①乘坐艇,则方法有 (种), ②不乘坐艇,则方法有 (种),利用分类计数加法原理求解即可.
详乘艇方法可分为两类:①乘坐R艇,则方法有+1)=18(种)为选出1个大人坐R艇的方法数,为另外两个大人乘P,Q艇,括号内+1为2个小孩乘P,Q艇的方法数.②不乘坐R艇,则方法有=6+3=9(种).其中表示从3个大人中选1人坐Q艇,从2个小孩中选1个坐Q艇,且另外2个大人及1个小孩乘P艇表示从3个大人中选1个坐P艇,2个小孩乘P艇,另外2个大人坐Q艇.故不同的乘艇方法有18+9=27(种).
例19．（2023春·上海闵行·高二闵行中学校考期中）在一次演唱会上共10 名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞.
（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？
（2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？
【解析】（1）设既能唱歌又会跳舞的有人，
，
设既能唱歌又会跳舞的有3人。
（1）由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，
①只能唱歌选0人，，
②只能唱歌选1人，，
③只能唱歌选2人，，
有228种选派方法.
例20．（2023·全国·高三专题练习）有11名翻译人员，其中5名是英语翻译人员，4名是日语翻译人员，另2人英、日语均精通．现从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，则有多少种不同的选派方式？
【解析】考虑日语翻译的来源，可分为三类：
一是选全部4名只会日语翻译的人员，此时共有的选派方式有种 ;
二是从4名只会日语的翻译中选3名，另一名从即会英语又会日语的人员中选一名，此时共有的选派方式有种，
三是从4名只会日语的翻译中选2名，另两名选即会英语又会日语的人员，此时共有的选派方式有种，
因此根据分类加法原理可得，共有的选派方式有：种.
例21．（2023春·山东烟台·高二烟台二中校考阶段练习）有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英，日语都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？
【解析】设两名英，日语都精通的人员为甲，乙，则根据题意可分为三类，
第一类：两名英，日语都精通的人员都不选，则有种；
第二类：两名英，日语都精通的人员只选1人，比如选甲，如果让甲去翻译英语，则有种，如果让甲去翻译日语，则有种，所以总共有种；
第三类：两名英，日语都精通的人员都选，如果两人都去翻译英语，则有种，如果两人都去翻译日语，则有种，如果两人一个翻译英语，一个翻译日语，则有种，所以总共有种，
综上，这样的8人名单共可开出张.