专题17 构造法模型、递推模型与化归策略-2024年新高考数学题型全归纳之排列组合

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专题17 构造法模型、递推模型与化归策略
【方法技巧与总结】
化归策略：处理复杂的排列组合问题时，可以把一个问题转化成一个简单的问题，通过解决这个简单的问题，从而找到解题方法，进一步解决原来的问题．
一些不易理解的排列组合题，如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型、排队模型、装盒模型等，可使问题迎刃而解．
【典型例题】
例1．（2023·重庆·校联考一模）将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（    ）
A．33 B．56 C．64 D．78
【答案】B
【解析】记分隔边的条数为，首先将方格表按图分成三个区域，如图：

分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，则，
其次证明：，
将方格表的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，
行中方格出现的颜色为，列中方格出现的颜色为，
三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含色方格的行数与列数之和，
定义当行含色方格时，，否则，
类似的定义，
所以
，
由于染色的格的行有个，列有个，则色的方格一定在这行和列的交叉方格中，从而，
所以所以①，
由于在行中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边，
类似地，在列中至少有条分隔边，
则
②
③，
下面分两种情况讨论：
1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为色，则方格表的33列中均含有色的方格，又色的方格有363个，
故至少有行含有色的方格，于是④，
由①③④得；
2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意均有，，
从而由②可得；
综上所述，分隔边条数的最小值为56.
故选：B
例2．（2023春·北京海淀·高二北大附中校考期末）几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知
（）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
（）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
（）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
（）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；
（）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，．
倒霉的李华在下落的过程中撞到了从到的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这根树枝不同的撞击次序有（    ）种．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可判断出树枝部分顺序，还剩下，，，
先看树枝在之前，有种可能，而树枝在之间，在之后，
若在之间，有种可能：
①若在之间，有种可能，
②若在之间，有种可能，
③若在之间，有种可能．
若不在之间，则有种可能，此时有种可能，
可能在之间，有种可能，可能在之间，有种可能，
综上共有．
故选：．
例3．（2023·全国·高三专题练习）几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（    ）
A．23 B．24 C．32 D．33
【答案】D
【解析】不妨设代表树枝的高度，五根树枝从上至下共九个位置，
根据甲依次撞击到树枝；乙依次撞击到树枝；丙依次撞击到树枝；丁依次撞击到树枝；戊依次撞击到树枝可得，
在前四个位置，，，且一定排在后四个位置，
（1）若排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C,则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有种排法；
（2）若不排在前四个位置中的一个位置，则按顺序排在前四个位置，由于，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法，
由分类计数原理可得，这9根树枝从高到低不同的次序有种.
故选：D.
例4．（2023秋·天津河东·高二统考期末）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（    ）

A．30 B．90 C．170 D．341
【答案】C
【解析】由题，，所以.
故选.：C
例5．（2023秋·福建福州·高三统考期中）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（    ）
A．4种 B．10种
C．12种 D．22种
【答案】B
【解析】根据题意，设在第次传球后（），有种情况球在丙手中，
即经过次传递后，球又被传回给丙，而前次传球中，每次传球都有种方法，
则前次传球的不同的传球方法共有种，
那么在第次传球后，球不在丙手中的情况有种情况，即球在乙或甲手中，只有在这些情况时，在第次传球后，球才会被传回丙，即；
易得，则，，.
故选：B．
例6．（2023春·全国·高三专题练习）跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为

A．8种 B．13种 C．21种 D．34种
【答案】C
【解析】设跳到第n格的方法有an，
则达到第n格的方法有两类，
①是向上跳一格到达第n格，方法数为an-1，
②向上跳2格到达第n格，方法数是an-2，
则an=an-1+an-2，
有数列的递推关系得到数列的前8项分别是1，1，2，3，5，8，13，21
∴跳到第8格的方法数是21，
故选C．
例7．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，，且，
可推得，，
所以，即，
所以可能取到0，1，2，7，8，9，
所以解集为，
故选：B
例8．（多选题）（2023春·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么下面说法正确的是（    ）

A．进入第二个格子走法有2种
B．进入第二个格子走法有1种
C．进入第三个格子走法有2种
D．进入第八个格子走法有21种
【答案】BCD
【解析】设跳到第格的方法有，则达到第格的方法有两类，
第一种方法是从第个格子向右跳一格到达第格，方法数为，
第二种方法是从第向右跳两格到达第格，方法数是，则，
结合条件及数列的递推关系可得到数列的前8项分别是,
A错误，BCD正确.
故选：.
例9．（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏，也不能关掉两端的2盏，满足条件的关灯方法有______种.
【答案】10
【解析】根据题意，因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻，
则需要用插空法分析：
先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，有5个符合条件的空位，
在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有种情况，
即有10种关灯方法.
故答案为：10．
例10．（2023·浙江·高三竞赛）马路上有编号为1，2，，2011的2011只路灯.为节约用电，要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯.则满足条件的关灯方法共有______.（用组合数符合表示）.
【答案】
【解析】问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯.所以，共有种关灯方法.
故答案为
例11．（2023·浙江·模拟预测）从1，2，3，…，15中选取三个不同的数组成三元数组，且满足，，则这样的数组共有______个.（用数字作答）
【答案】56
【解析】由，，得，，，
当时，可取中任一数，共有6种取法，则此时共有种取法；
当时，可取中的任一数，共有5种取法，则此时共有种取法；
同理当取时，对应的分别有10，6，3，1种取法.
综上，这样的数组共有（个）.
故答案为：56.
例12．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试）从集合中选出4个数组成的子集，使得这4个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集个数是________.
【答案】
【解析】将和等于11放在一组：
1和10，2和9，3和8，4和7，5和6．
从每一小组中取一个，
共有，
故答案为：80．
例13．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）16名社区志愿者组成4行4列的方阵，现从中选出2人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为______________.
【答案】72
【解析】从16人中选出2人，共有种选法，
若选出的2人既不在同一行又不在同一列，
则共有种选法.
故答案为：72.
例14．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）个人排成一个n行，n列的方阵，现要从中选出n个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有___________种不同的选法.
【答案】
【解析】从第行中选取一个代表，选法有种，
从第行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有种，
从第行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有种，

从第行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有种，
由分步乘法计数原理可知，不同的选法数有：，
故答案为：.
例15．（2023·全国·高三专题练习）某活动中，有42人排成6行7列，现从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_____（用数字作答）．
【答案】4200
【解析】先按顺序依次选三人共有，
再去掉顺序数：
故答案为：4200.
例16．（2023·全国·高三专题练习）一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________．
【答案】
【解析】解法一：第一次爬行可以到的任何一点，第二次爬行分到与不到，对于第二次不到的第三次爬行再分到与不到．爬行方法总数为（种）．
解法二：设从点出发爬行次仍在点的爬行方法种数为，则，，，
，
，．（亦可由递推式从第二项递推出第五项的值）
故答案为：.
例17．（2023·全国·高三竞赛）将圆周等分于点，在以其中每三点为顶点的三角形中，含有圆心的三角形个数为__________．
【答案】
【解析】任取一个分点记为P，然后将其余个分点这样标志，
自P点后，逆时针方向的连续n个点依次记为，
顺时针方向的连续n个点依次记为．
先考虑以P为顶点且含有圆心的三角形，
如图，显然这种三角形的另两个顶点必须一个属于点集，
而另一个属于点集．
且这种，含有圆心当且仅当．
现计算符合条件的三角形个数：当时，j可取值，共计k个值．
因此这种含有圆心的个数为 ，
当点P取遍个位置，共得个三角形，
由于每个三角形有三个顶点，故每个三角形重复计算了三遍，
因此符合条件的三角形个数为．

故答案为：.
例18．（2023·全国·高二专题练习）圆周上有个等分点，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_____________．
【答案】
【解析】由题意知,只有三角形的一条边过圆心,才能组成直角三角，
因为圆周上有 个等分，所以共有条直径，
每条直径可以和除去本身的两个端点外的点组成直角三角形，所以可做个直角三角形.
根据分步计数原理知,共有 个
故答案为:.
例19．（2023秋·北京·高一校考阶段练习）设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种.
【答案】
【解析】若集合中分别有一个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有四个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有四个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；总计有种．故答案应填：．
例20．（2023·全国·高三专题练习）马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
【解析】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法，所以满足条件的关灯方案有10种．
例21．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．若有一条竖直线段的为第一层，第二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第层的第个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为．

（1）求，，的值；
（2）猜想的表达式（不必证明），并求不等式的解集．
【解析】（1）由题意可得，，且.
，；
（2）由可推得，
不等式即为，
，，，，.
解不等式，可得的可能取值有、、、、、.
所以，不等式的解集为.
例22．（2023秋·江苏常州·高三统考期中）考查所有排列，将每种排列视为一个元有序实数组，设且，设为的最大项，其中.记数组为.例如，时，；时，.若数组中的不同元素个数为2.
（1）若，求所有元有序实数组的个数；
（2）求所有元有序实数组的个数.
【解析】（1）因为数组中的不同元素个数为2，
所以为1，2，3中的任意一个，即4只能为或或.
当时，则是1，2，3的任意一个排列，总数有个；
当时，则是1，2，3的一个排列，且，故为或或，总数有3个；
当时，则是1，2，3，的任意一个排列，且，故为或，总数有2个；
综上，有序实数组的个数为，
（2）因为数组中的不同元素个数为2，
所以为中的任意一个.
当时，数在中必须位于之后，而在与之间只能出现中的某些数，所以只能作出现.
当时，可为从中任意选出个元素的排列，而则为其余个元素的全排列.所以与相对应的排列个数为：.
所以所有元有序实数组的个数记为，
则



例23．（2023·全国·高三专题练习）把圆分成个不相等的扇形，并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色，但不允许相邻的扇形有相同的颜色，问共有多少种染色法？
【解析】设将圆分成个不相等的扇形时，满足题设的染法有种．
依次记个扇形为、、、，显然，
当时，先对染色，有种方法；染色后再对染色，有种方法，故．
当时，我们依次对、、、染色．
对染色，有种方法，对染色后再对染色有种方法，
同样的对、、、分别有种方法，由乘法原理共有种染色方法．
但这样做，与有可能同色．即在种染色方法中包含了与同色的染色方法．
对于与同色的情形，拆去与的边界使与合并，
便得到将圆分为个扇形时同色不相邻的染色方法，这样的情况有种．  
故，且，
设，可得，则，即，
故，且，
所以，数列是从第二项开始成以为公比的等比数列，
因此，，因此，.
例24．（2023·上海·高三竞赛）对一个边长互不相等的凸边形的边染色,每条边可染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但不允许相邻的边有相同的颜色.问:共有多少种不同的染色方法?
【答案】
【解析】
【分析】
设不同的染色方法有种.易知.
当时,首先对于边有3种不同的染法．由于边的颜色与边的颜色不同,所以,对边有2种不同的染法.类似地,对边均有2种染法.

对于边,用与边不同的2种颜色染色,但是这样也包括了它与边颜色相同的情况,而边与边颜色相同的不同染色方法数就是凸边形的不同染色方法数的种数.于是,可得
.
则
故.
综上,不同的染色方法数为.
例25．（2023·浙江·高三竞赛）把一个圆分成n（n≥2）个扇形，依次记为，每一扇形都可用红、白、蓝三种不同颜色的任一种涂色，要求相邻的扇形的颜色互不相同，问有多少种涂色法？
【答案】
【解析】
【分析】
设涂法总数为.
当时，先对涂色有三种涂法，涂色后，继涂，只有2种涂法，因而.
下面确定递归关系.
若先涂，有3种涂法；继涂，只有2种涂法，然后涂，若只求与颜色不同，则有2种涂法，…，如此下去，最后图，如只要求与颜色不同（这里未涉及与的颜色）仍有2种涂法，这样总共有种涂法，但此种涂法可分为两类；一类是与的颜色不同，这种涂法符合要求，总数为；另一类则是与的颜色相同，这种涂法不符合题设要求.如果把和合并，看成一个扇形，这类涂法相当于把圆分成个扇形，按题设要求的涂法，其总数为，于是得递归关系：
，即.
为求，令，则上式变成，得且，
∴，∴，
∴，
故总共有种涂法.
例26．（2023春·江苏南京·高二校联考期末）把圆分成个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有种方法.
(1)写出，的值；
(2)猜想，并用数学归纳法证明．

【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
分析：（1）根据题意，得；
（2）分析可得 ，用用数学归纳法证明即可
详（1）
（2）．当时，首先，对于第1个扇形，有4种不同的染法，由于第2个扇形的颜色与的颜色不同，所以，对于有3种不同的染法，类似地，对扇形，…，均有3种染法．对于扇形，用与不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形颜色相同的情况，而扇形与扇形颜色相同的不同染色方法数就是，于是可得

猜想
当时，左边，右边，所以等式成立
假设时，，
则时，
即时，等式也成立
综上
例27．（2023·全国·高三专题练习）n个学生参加一次聚会，每人带一张贺卡和一件礼物，会后每个人任取一张贺卡和一件礼物.问：发生下列情况时，有多少种可能？
(1)没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品；
(2)有人取回了他原来的物品；
(3)恰好只有一人取回他原来的物品.
【解析】(1)（1）设没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品，可以先取贺卡，n个同学均没有取回他原来的贺卡（即n个元素排列有n个动点）有种.同理，再去取礼物，也有种，
由错排公式，共有 种.
(2)（2）n个同学每人取回一张贺卡、一件礼物，共有种,
故有人取回他原来物品的取法有种.
(3)（3）根据表示n个元素有k个组合不动点的排列个数，那么用表示n个人中有一个人取回他原来的物品的可能数，
因此恰好只有一人取回他原来的物品，有三种可能，即取对贺卡、而拿错礼物；取错贺卡而拿对礼物；还有就是贺卡、礼物全取对了.
前二种情况各有种，后一种情况有种，
取法总数为:


.
例28．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，且，若，则满足条件的集合有多少个？
【解析】易知互不相等且不相邻，等价于四个黑球放入16个黑球的17个空了，
所以有个．
例29．（2023春·河北·高二校联考期中）25名防疫志愿者组成5行5列的方阵，现从中选出2人，则不同的选法种数为______；若选出的2人既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为______.
【答案】     300；     200.
【解析】从25人中选出2人，共有种选法，若选出的2人既不在同一行又不在同一列，则共有种选法.
故答案为：300；200
例30．（2023·全国·高三专题练习）贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:①次传球之后,共有___________种可能的传球方法;②次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有___________种.
【答案】         
【解析】每次传球有两种方法，所以次传球之后,共有种可能的传球方法;
设次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法为种.
则2，即
因为