专题18 环排问题-2024年新高考数学题型全归纳之排列组合

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专题18 环排问题
【方法技巧与总结】
在圆排列数中：
（1）个元素围成一圈其圆排列数为
（2）在个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为．
（3）当从个相异的元素中，每次取出颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环时完全相同，故圆环数为．对于较复杂的问题，可适当采用分步揷人、捆绑及利用种数公式处理．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（     ）
A．19 B．38 C．51 D．57

例2．（2023·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（   ）
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种

例3．（2023春·江苏苏州·高二昆山震川高级中学校考期中）现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（    ）
A． B． C． D．

例4．（2023·全国·高三专题练习）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（    ）．
A．6种 B．8种 C．12种 D．16种

例5．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（    ）.

A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种

例6．（2023春·辽宁·高三校联考阶段练习）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有种，那么这位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（    ）
A． B． C． D．

甲、乙、丙三位同学围成一个圆，“甲乙丙”、“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一排列，
其中每一个排列可以拆成以任意一个人为排首的直线排列3个，3人围成一个圆的排列数为，
由此可得n个人围成一个圆的排列数为，5位同学围成一个圆的排列数为.
故选：A
例7．（2023·高二课时练习）8人围桌而坐，共有______种坐法.

例8．（2023·全国·高三专题练习）5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）．

例9．（2023·高二课时练习）10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，则其所有不同的排列数为__________

例10．（2023·全国·高三专题练习）4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法(用数字作答)


例11．（2023·全国·高二专题练习）7颗颜色不同的珠子，可穿成________的珠子圈．

例12．（2023·全国·高三专题练习）8名学生平均分成两组，每组都围成一个个圆圈，有______种不同的围法．

例13．（2023·全国·高二专题练习）一个圆桌有十二个座位，编号为1至12.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与其孩子相邻.满足要求的坐法共有______种.

例14．（2023·江苏·高三强基计划）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作答）

例15．（2023·高二课时练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有_____________种．


例16．（2023·全国·高二专题练习）现有m位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60种，那么这m位同学围成一个圆时，不同的站法种数为______（用数字作答）．

例17．（2023·高二课时练习）有个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法？




例18．（2023·高二课时练习）有5对夫妇和，共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法）．
（1）若5对夫妇都相邻而坐，，相邻而坐，共有多少种坐法？
（2）5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，，不相邻，共有多少种坐法？




例19．（2023·全国·高三专题练习）有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？




例20．（2023·高二课时练习）8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.
（1）若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？
（2）若记录员坐于正、副组长之间（三者相邻），有多少种坐法？