湖北省黄冈市重点中学2022届高三下学期5月二模数学试题（含解析）

这是一份湖北省黄冈市重点中学2022届高三下学期5月二模数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省黄冈市重点中学2022届高三下学期5月二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知复数z满足，则z的共轭复数的虚部为（    ）
A． B． C． D．
2．设集合，，且，则（    ）
A．4 B．2 C． D．
3．已知，，，则（    ）．
A． B． C． D．
4．已知A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（    ）
A． B． C． D．
5．已知函数，，则的值为（    ）
A．1 B．0 C． D．
6．若，，则（    ）
A． B． C． D．
7．直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任一点，若为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．若函数的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，则称函数为“共切”函数，下列函数中是“共切”函数的为（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．已知由样本数据，，2，3，，组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是（    ）
A．相关变量，具有正相关关系
B．去除两个样本点和后，回归直线方程为
C．去除两个样本点和后，随值增加相关变量值增加速度变小
D．去除两个样本点和后，样本的残差为0.1
10．已知点，，是椭圆上的动点，当取下列哪些值时，可以使 （    ）
A．3 B．6 C．9 D．12
11．设函数，则（    ）
A．在上有且仅有1个零点 B．的最小正周期为
C．在上单调递减 D．在上单调递减
12．在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（    ）
A．对于任意的，都有
B．对于任意的，数列不可能为常数列
C．若，则数列为递增数列
D．若，则当时，

三、填空题
13．函数的图象如图所示，记、、，则、、最大的是 .

14．已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为 ．
15．与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆，称为这个三角形的旁切圆．已知正的中心为，，点为与边相切的旁切圆上的动点，则的取值范围为 ．
16．如图，棱长为1的正方体，点沿正方形按的方向做匀速运动，点沿正方形按的方向以同样的速度做匀速运动，且点分别从点A与点同时出发，则的中点的轨迹所围成图形的面积大小是 .


四、解答题
17．在中，角的对边分别为，.有以下3个条件：①；②；③.请在以上3个条件中选择一个，求面积的最大值.
18．数列的前项和为，，，
(1)求数列的通项;
(2)求数列的前n项和.
19．在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,平面PAC⊥底面ABCD，PA=PC=

（1）求证：PB=PD;
（2）若点M,N分别是棱PA,PC的中点,平面DMN与棱PB的交点Q,则在线段BC上是否存在一点H,使得DQ⊥PH,若存在,求BH的长,若不存在,请说明理由.
20．根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：
X
1
2
3
0
概率




其中，．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有i个孩子，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多．）
(1)若，求，并根据全概率公式，求；
(2)为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等）．
①若希望增大，如何调控p的值？
②是否存在p的值使得，请说明理由．
21．动点P到定点F(0，1)的距离比它到直线的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M．
(1)求曲线C的方程；
(2)求证：；
(3)求△ ABM的面积的最小值．
22．已知函数（ …是自然对数的底数）．
（1）若在内有两个极值点，求实数 a的取值范围；
（2）时，讨论关于x的方程的根的个数．

参考答案：
1．D
【分析】利用复数的除法运算求出复数，再求其共轭复数的虚部即可.
【详解】

的共轭复数为
虚部为.
故选：D.
2．D
【分析】求得集合和，根据题意，得到，即可求解.
【详解】由题意，集合，，
因为，可得，解得.
故答案为：D.
3．C
【详解】试题分析：因为所以选C．
考点：比较大小

4．C
【分析】设球的半径为，外接圆的半径为，根据题意求出，再根据球心到的距离，即三棱锥的高，从而可得出答案.
【详解】解：设球的半径为，外接圆的半径为，
在中，由，，则
得，所以，
因为球O的表面积为，
则，解得，
所以球心到的距离，
即三棱锥的高为，
，
所以三棱锥的体积.
故选：C.
5．B
【分析】构造函数，判断函数为奇函数，即得解.
【详解】解：构造函数，则，故函数为奇函数.
又，∴，∴.
故选：B
6．D
【分析】将两边同时平方得到，进而可以缩小角的范围，得到，从而得到，然后结合二倍角以及同角的平方关系即可求出结果.
【详解】将两边同时平方，，所以，
因此，异号，故，且，则，
因此，而，，
所以，
故选：D.
7．C
【详解】由题意，双曲线渐近线方程为，联立直线，解得不妨设，，，为双曲线上的任意一点，，， 时等号成立），可得，故选C.
【 方法点睛】本题主要考查双曲线的的渐近线、向量相等的应用以及平面向量的坐标运算、不等式的性质，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，解答本题的关键是根据坐标运算．
8．D
【分析】由题意知，导函数中存在两个点，它们的函数值相等，才可能是“共切”函数，则导数不能为单调函数，由此判断A,B;对于C，求出导数，根据导数特征可以设出两点坐标，使得在这两点处导数相等，但求出切线方程，切线都不会重合，判断C;对于D，求出导数，可以找到至少有两点符合题中要求，判断D.
【详解】由“共切”函数的定义可知，导函数中自变量存在两个值，它们的函数值相等，才可能是“共切”函数，因此导数不会为单调函数；
对于，，即导函数在上单调递减，且自变量与函数值是一一对应的关系，故不会是“共切”函数；
对于，，即导函数在上单调递增，故必不是“共切”函数；
对于，，存在与，，两点处的切线斜率为相等，
分别写出切线方程为：，，
显然两直线不重合，故不是“共切”函数；
对于，，，即导函数为的周期函数，且恒成立，
故在上递增，
不妨取 ，则 ，切点分别为 ，
此时切线方程分别为 ，两切线重合，
可知至少存在、两点处的切线重合，故该函数为“共切”函数．
故选：．
9．AB
【分析】对于A，，则相关变量，具有正相关关系，故A正确；
对于B，求出，故去除样本点后的回归直线方程为，故B正确；
对于C，由于斜率为，随值增加相关变量值增加速度变大，故C错误；
对于D,样本的残差为，故D错误.
【详解】解：对于A，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3，，则相关变量，具有正相关关系，故A正确；
对于B，由代入得，则去除两个样本点和后，得到新的，，，故去除样本点后的回归直线方程为，故B正确；
对于C，由于斜率为，故相关变量，具有正相关关系且去除样本点后，随值增加相关变量值增加速度变大，故C错误，
对于D,当时，，则样本的残差为，故D错误.
故选：AB.
10．ABC
【分析】设，利用求得的最大值和最小值即可得．
【详解】设，且.
因为，
将点坐标代入椭圆，得，所以代入上式可得
.
所以，.对照选项可以取ABC.
故选：ABC．
11．ACD
【分析】由正弦二倍角公式可得，令，可知或，，由此即可判断A是否正确；根据正弦函数和正切函数的最小正周期即可判断B是否正确；对函数求导，可得，易知，由此即可判断C、D是否正确.
【详解】由正弦二倍角公式可得，，
∵，
∴或，
∴或，，
∵，∴当且仅当时，即时，满足，
∴在上有且只有一个零点，满足题意，则A正确；
由于，且的最小正周期为，的最小正周期为，
∴的最小正周期为，故B错误，
，则，
∵，∴，∴在每个连续区间上都单调递减，则C、D正确，
故选：ACD.
12．ACD
【分析】A由递推式有上，结合恒成立，即可判断：B反证法：假设为常数列，根据递推式求判断是否符合，即可判断；C、D由上，讨论、研究数列单调性，即可判断.
【详解】A：由，对有，则，即任意都有，正确；
B：由，若为常数列且，则满足，错误；
C：由且，
当时，此时且，数列递增；
当时，此时，数列递减；
所以时数列为递增数列，正确；
D：由C分析知：时且数列递减，即时，正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：选项B应用反证法，假设为常数列求通项，判断是否与矛盾；对于C、D，将递推式变形为，讨论、时研究数列的单调性.
13．
【分析】根据导数的几何意义结合的图象分析判断即可
【详解】根据导数的几何意义，、、分别为处的切线斜率，
又与处的切线单调递增，处的切线单调递减，且处的切线比处的切线更陡峭，
∴，
故最大为.
故答案为：
14．64
【分析】由题意，列出不等式组，可解得，利用赋值法求系数和，即得解
【详解】由题意知，则，
解得，又，因此，
则令，可得的系数和为．
故答案为：64
15．
【分析】作出示意图，结合向量数量积的几何意义即可求得答案.
【详解】如图所示，的旁切圆为圆，设其半径为，因为正的边长为1，所以，易知为的重心，则.

易知与相似，则，即.
由平面向量数量积的几何意义可知：表示在上的投影与的乘积，由图可知：当点P位于点E时最大，最大值为，当点P位于点F时最小，最小值为.
于是，的取值范围是.
故答案为：.
16．/
【分析】画出符合要求的图形，观察得到轨迹是菱形，并进行充分性和必要性两方面的证明，并求解出轨迹图形的面积.
【详解】如图，分别是正方形ABCD，，的中心，下面进行证明：菱形EFGC的周界即为动线段PQ的中点H的轨迹，
首先证明：如果点H是动线段PQ的中点，那么点H必在菱形EFGC的周界上，
分两种情况证明：（1）P，Q分别在某一个定角的两边上，不失一般性，设P从B到C，而Q同时从到C，由于速度相同，所以PQ必平行于，故PQ的中点H必在上；
（2）P，Q分别在两条异面直线上，不失一般性，设P从A到B，同时Q从到，由于速度相同，则，由于H为PQ的中点，连接并延长，交底面ABCD于点T，连接PT，则平面与平面交线是PT，
∵∥平面，
∴∥PT，
∴，
而，∥BC，
∴是等腰直角三角形，，从而T在AC上，可以证明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行线的唯一性，显然H在DG上，

综合（1）（2）可证明，线段PQ的中点一定在菱形EFGC的周界上；
下面证明：如果点H在菱形EFGC的周界上，则点H必定是符合条件的线段的中点.
也分两种情况进行证明：
（1）H在CG或CE上，过点H作PQ∥（或BD），而与BC及（或CD及BC）分别相交于P和Q，由相似的性质可得：PH=QH，即H是PQ的中点，同时可证：BP=（或BQ=DP），因此P、Q符合题设条件


　
（2）H在EF或FG上，不失一般性，设H在FG上，连接并延长，交平面AC于点T，显然T在AC上，过T作TP∥CB于点P，则TP∥，在平面上，连接PH并延长，交于点Q，在三角形中，G是的中点，∥AC，则H是的中点，于是，从而有，又因为TP∥CB，，所以，从而，因此P，Q符合题设条件.

由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一点，则H必是符合题设条件的动线段PQ的中点，证毕.
因为四边形为菱形，其中，所以边长为且，为等边三角形，，所以面积.
故答案为：
【点睛】对于立体几何轨迹问题，要画出图形，并要善于观察，利用所学的立体几何方面的知识，大胆猜测，小心验证，对于多种情况的，要画出相应的图形，注意分类讨论.
17．答案见解析.
【解析】若选择①：利用正弦定理得到，再利用以及两角和与差的正弦公式得到，最后利用三角形的面积公式求解即可；若选择②：利用正弦定理得到，再利用以及两角和的正弦公式得到，再利用余弦定理以及三角形的面积公式求解即可；若选择③：先利用基本不等式得到，再利用余弦定理得到，最后利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】若选择①：
由正弦定理得：
可将化为：，
又，所以，
所以，
即，
，
，
，
所以（当时取到等号），
所以面积的最大值为2.
若选择②：
由正弦定理可将化为：，
又，
所以，
所以，
即，
，
又，
，
又由余弦定理可得：
（当且仅当时取等号），
，
所以面积的最大值为.
若选择③：
因为，
所以，
（当且仅当时取等号），
又由余弦定理得：
（当且仅当时取等号），
，
（当且仅当时取等号），
所以面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式解三角形.属于中档题，三角函数的化简和解决范围问题，常涉及以下方法的应用：
（1）正弦定理的边角互化，需注意齐次问题；
（2）第三角公式：，；
（3）利用基本不等式：进行放缩；
（4）利用进行放缩；
18．(1)
(2)

【分析】（1）由可得，从而可先求出的通项公式，再根据与的关系得出答案.
（2）利用错位相减法可得出答案.
【详解】（1）则，所以
又，
∴数列是首项为1、公比为3的等比数列，．
∴当时，，又
所以
（2），
当时，；
当时，，        ①
，            ②
得：，
，
又也满足上式，．
19．(1)见证明；(2)见解析
【分析】(1) 记AC∩BD=O，连结PO，易证PO⊥AC，结合平面PAC⊥底面ABCD，可得到PO⊥底面ABCD，从而得到PO⊥BD，则有PB=PD；(2) 以O为坐标原点，射线OB，OC，OP的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量n，设，可得到点的坐标，即可表示出，由=0，可求出及，设，可表示出点及，由，可求出，从而可求出．
【详解】(1)证明：记AC∩BD=O，连结PO，
底面ABCD为正方形，OA=OC=OB=OD=2.
PA=PC，PO⊥AC，
平面PAC∩底面ABCD=AC，POÌ平面PAC，
PO⊥底面ABCD.
BDÌ底面ABCD，PO⊥BD.
PB=PD.
(2)以O为坐标原点，射线OB，OC，OP的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知OP=2.
可得P(0,0,2)，A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),
可得，M(0,-1,1), N(0,1, 1).，.
设平面的法向量n=，
，，
令，可得n=.
记，可得，
，=0，可得，，解得.
可得，.
记，可得，
，若DQ⊥PH，则，
，解得.故.

【点睛】本题考查了空间中直线与直线相等关系的证明，考查了利用空间向量证明直线与直线垂直，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题．
20．(1)，；
(2)①增加p的取值；②不存在，理由见解析.

【分析】（1）由概率之和为1列出方程，求出，计算出，利用全概率公式计算出答案；
（2）①根据概率之和为1得到，令，，求导后令导函数分子为，求导后得到其导函数小于0，故在单调递减，结合，得到，，在单调递减，得到相应的结论；
②设存在p使，又，相乘后得到，设，求导得到单调性和的最小值为，故不存在使得．
【详解】（1）由题意得：，
所以，
．
由全概率公式，得

，又，则；
（2）①由，得，
记，，则，
记，则，
故在单调递减．
∵，∴，∴，在单调递减．
因此增加p的取值，会减小，增大，即增大．
②假设存在p使，又，
将上述两式相乘，得，
化简得，，
设，则，
则在单调递减，在单调递增，的最小值为，
∴不存在使得．
21．(1)；
(2)见解析；
(3)4．

【分析】（1）利用定义判断出曲线为抛物线；
（2）设出点的坐标，利用导数分别求出过点的切线方程，求出交点的坐标为，联立直线和抛物线的方程，利用韦达定理算出，从而得到，利用向量可以计算，所以；
（3）利用焦半径公式和点到直线的距离可以求得，从而求得面积的最小值为．
【详解】（1）解：由已知，动点在直线上方，
条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，
∴ 动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
故其方程为．
（2）证：设直线的方程为：，
由得：
，
设，
则，．
由得：
，
，
∴ 直线的方程为：① ，
直线的方程为：② ，
① －② 消y得：
，
即，                    
将代入① 得：
，
，
故，

，
．
（3）解：由（2）知，点到的距离，
，
，
∴ 当时，的面积有最小值4．
【点睛】形如的抛物线，考虑其切线时可以利用导数去讨论．
22．（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）若在内有两个极值点，则 在内有两个不相等的变号根，等价于在 上有两个不相等的变号根．令，分类讨论有两个变号根时 的范围；（2）化简原式可得：，分别讨论 和时的单调性，可得 的最小值，分类讨论最小值与0的关系，结合的单调性可以得到零点个数.
【详解】（1）由题意可求得，
因为在内有两个极值点，所以 在内有两个不相等的变号根，
即在上有两个不相等的变号根．
设，则，
①当时，，
所以在上单调递增，不符合条件．
②当时，令得 ，
当，即时，，
所以在上单调递减，不符合条件；
当，即时，，
所以在上单调递增，不符合条件；
当，即时， 在上单调递减，上单调递增，
若要在上有两个不相等的变号根，则 ，解得．
综上所述，．
（2）设，
令，则，所以 在上单调递增，在上单调递减．
（ⅰ）当时，，则 ，所以．
因为，所以 ，因此在上单调递增．
（ⅱ）当时，，则 ，所以．
因为即 ，又 所以，因此 在上单调递减．
综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时， ，
当，即 时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0，
当，即 时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1，
当，即 时，
①当时， ，要使，可令，即 ；
②当时，，要使 ，
可令，即，
所以当时，有两个零点，故关于 x的方程根的个数为2，
综上所述：当时，关于 x的方程根的个数为0，
当时，关于x的方程根的个数为1，
当时，关于x的方程根的个数为2．
【点睛】本题考查已知极值点的个数求参数，以及分类讨论求函数的零点个数问题，属于难题.
关键点点睛：分类讨论求函数的零点时，（1）先从函数有无零点得到参数的一个范围；（2）函数有零点时，再判断函数零点是否在给定区间内，得到参数下一步的范围.