云南省2023届高三“云教金榜”N1联考冲刺测试数学试题（含解析）

这是一份云南省2023届高三“云教金榜”N1联考冲刺测试数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
云南省2023届高三“云教金榜”N 1联考�冲刺测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
2．已知复数满足，则（    ）
A．2 B． C．1 D．
3．已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（    ）
A．5 B． C． D．
4．若，，则（    ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥PO的高及底面圆直径均为2，若圆锥PO在球内，则球的体积的最小值为（    ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则（    ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递增 D．在上单调递增
7．已知双曲线：的右焦点为，直线：与渐近线和y轴分别交于点M，E，且，则双曲线C的方程为（    ）
A． B．
C． D．
8．已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5

二、多选题
9．已知，则（    ）
A． B． C． D．
10．如图，在正四棱柱中，，E，F，N分别是棱，，的中点，则（    ）
  
A．
B．直线BE与平面相交
C．平面
D．直线NC与平面的交点是的重心
11．已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（    ）
A．直线AB过焦点F时，最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为时，
C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5
D．
12．已知向量，，满足，，则可能成立的结果为（    ）
A． B． C． D．

三、填空题
13．若将函数的图象向右平移个单位后，函数图象关于原点对称，则 .
14．已知数列的前8项1，1，2，3，5，10，13，21，令，则的最小值点 ．
15．军训中某人对目标靶进行8次射击，已知前7次射击分别命中7环、9环、7环、10环、8环、9环、6环.若第8次射击结果不低于这8次射击环数的平均数且不高于这8次射击环数的75%分位数，则此人第8次射击的结果可能是 环.（写出有一个符合题意的值即可）
16．若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是 .

四、解答题
17．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
18．已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，求证：.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
19．如图，在三棱锥中，平面ABD，E为AB的中点，，.
  
(1)证明：平面CED；
(2)当二面角的大小为30°，求与平面ACD所成角的正弦值.
20．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.
  
试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人，其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及小概率值的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关.
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60

有抗体



没有抗体



合计



(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射疫苗，结果又有名志愿者产生抗体.
（i）用频率估计概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率，求的值；
（ⅱ）以（i）中的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记110名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量，求最大时的的值.
参考公式：（其中为样本容量）.

0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
21．已知，，对于平面内一动点，轴于点M，且.
(1)求点Р的轨迹C的方程；
(2)当时，直线与曲线C交于不同两点Q，R，与直线交于点S，与直线交于点T，若，为坐标原点，求的面积.
22．设函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，求实数的取值范围.

参考答案：
1．B
【分析】解出集合，根据交集含义即可得到答案.
【详解】，则，
故选：B.
2．C
【分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案.
【详解】
所以,
故选：C.
3．D
【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再求出点P到直线距离的最大值作答.
【详解】圆的圆心，半径，直线的方程为：，
于是点到直线：的距离，而点在圆上，
因此点到直线距离的最大值为，又，
所以面积的最大值为.
故选：D
  
4．A
【分析】由对数函数和指数函数、幂函数的性质判断．
【详解】解：∵，∴函数在上单调递减，
又∵，
∴，
∴，
即，所以选项A正确，选项B错误，
∵幂函数在上单调递增，且，
∴，所以选项C错误，
∵指数函数在R上单调递减，且，
∴，所以选项D错误，
故选：A．
5．A
【分析】根据给定条件，可得球的体积最小时，圆锥PO为球的内切圆锥，再求出球半径作答.
【详解】依题意，当球的体积最小时，圆锥PO为球的内切圆锥，因此圆锥PO的轴截面三角形外接圆是球的大圆，
设圆锥PO的轴截面等腰三角形底角为，而腰长为，则，
因此球的半径，所以球的体积的最小值为.
故选：A
6．D
【分析】综合应用三角函数的诱导公式、二倍角公式和单调性即可解决问题.
【详解】依题意可知，，记，则，
对于A选项，因为，所以，则在上不单调，
则在上不单调，故A错误；
对于B选项，因为，所以，则在上不单调，
则在上不单调，故B错误；
对于C选项，因为，所以，则在上单调递减，
则在上单调递减，故C错误；
对于D选项，因为，所以，则在上单调递增，
则在上单调递增，故D正确.
故选：D.
7．C
【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由向量等式求出点M的坐标即可求解作答.
【详解】双曲线的渐近线方程为，直线：交y轴于点，而，
由，得，即，
显然点在直线上，则，又，解得，
所以双曲线C的方程为.
故选：C
  
8．A
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期性，求出即可求解作答.
【详解】因为函数是定义域为上的奇函数，则，即，
由，得，因此，即，
则，于是函数是以4为周期的周期函数，
由，得，由，得，，
从而，
所以.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及较大自变量的抽象函数的函数值问题，根据给定的函数性质，求出函数的周期是解题的关键.
9．BD
【分析】通过举反例和不等式的性质即可判断.
【详解】对A，当时,,故A错误：
对B，得，则，故B正确；
对C，，此时，故C错误；
对D，由,所以,
所以两边同除得，选项D正确；
故选：BD.
10．ACD
【分析】建立合适的空间直角坐标系，计算即可判断A，利用平行直线确定平面即可判断B，计算结合线面垂直的判定即可判断C，利用正四面体的特点即可判断D.
【详解】对A，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，
由题意可知，，，则，，
，所以，即，故A正确；
对B，连接，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
由已知得，所以，所以四点共面，
所以直线平面，B错误；
对C，，，，
所以，即，
又因为，平面，
所以平面，C正确；
对D，设直线与平面的交点为，
由正方体知，则四面体为正四面体，
因为平面，则为正三角形重心，故D正确.
故选：ACD.
  
11．BD
【分析】对于A B项画出抛物线图象，把用直线的倾斜角表示，验证是否正确；对于C 项，可求解；对于D项举出反例即可.
【详解】对于A项，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，
过点分别作轴的垂线，垂足分别为，准线与轴的交点为，
设直线的倾斜角为，画图为：

根据抛物线的定义：，从图可知，，
，在中，，
所以，同理，
则
，故当时，
故最小值为，此时垂直于轴，所以A不正确；
对于B项，由A可知，，故B正确；
对于C项，，
当且仅当直线过焦点时等号成立，所以最大值为5，故C正确；
当直线过焦点时，，
当直线不过焦点时，不是定值，
举例当时，此时，，
即，，，故D错误；
故选：BC.
12．AD
【分析】设，根据向量模的几何意义结合圆的方程、向量数量积的坐标运算即可得到答案.
【详解】由题意，，设，
不妨设，如图动点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
动点在以为圆心，1为半径的圆上，且满足，
圆方程是，当在圆上运动时，由，得，
当且仅当，，三点共线时取等号，又由图易知，即，故选项A满足，选项B不满足；
对于选项C，D，设，则，
由，解得，所以，又，
即，所以，选项D满足，C错误，
故选：AD.
  
【点睛】关键点睛：本题的关键减少运算，将本问题进行坐标化运算，再结合圆的方程相关知识点即可判断.
13．/
【分析】首先根据三角恒等变换得，再利用平移的原则得到解析式为，最后根据其对称性即可得到答案.
【详解】因为，
就函数图象向右平移个单位后得到，
又因为函数图象关于原点对称，所以，，
因为，所以的值是.
故答案为：.
14．7
【分析】根据题意求得，结合二次函数运算求解.
【详解】由题意可得：
，
因为，且开口向上，
所以的最小值点.
故答案为：7.
15．8（答案不唯一）
【分析】设第8次射击的结果是x环，由平均数可得，再分类讨论并结合第75%分位数求出x范围作答.
【详解】设第8次射击的结果是x环，依题意，，解得，
当时，8次射击的结果由小到大排列为，
由，得8次射击环数的75%分位数为，显然符合题意，即，
当时，8次射击的结果由小到大排列为，8次射击环数的75%分位数为，
由，解得，无解，
所以，此人第8次射击的结果可能是8环.
故答案为：8
16．
【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线方程，进而将有3条切线转化为方程有三个不等实数根，再转化为函数的图像有三个交点问题，利用导数作出的图象，数形结合，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
设切点坐标为，则切线斜率，
所以切线方程为，
将代入得.
因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根，
则方程有三个不等实数根等价于函数的图像有三个交点，
设，则，
当时，单调递增；
在和上，单调递减，，
当或时，，
画出的图象如图，

要使函数的图像有三个交点，需，
即，即的取值范围是，
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义表示出切线方程，根据切线条数可得有三个不等实数根，解答此类问题常用方法是转化为函数图象的交点问题，利用导数判断函数单调性或求得极值，进而作出图像，数形结合，解决问题.
17．(1)
(2)6

【分析】（1）已知，由正弦定理和辅助角公式可得，解得 .
（2）由余弦定理和三角形面积公式，可解求，，则得到周长.
【详解】（1）中，已知，
由正弦定理可得，
∵，∴
，△ABC中，，∴ ，
∴.
（2），的面积为 ，
∴ ，解得.
由余弦定理可得：
化为.
联立 ，解得
∴，所以周长为6.
18．(1)条件选择见解析，
(2)证明见解析.

【分析】（1）选择条件①②③，利用给定条件并作变形，再结合求解作答.
（2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助数列单调性推理作答.
【详解】（1）选择①：因为，则，
两式相减得，即，
而，，则，因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
选择②：因为，则，
于是当时，，即，由，得，
即有，因此，，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
选择③：因为，又，
则，即，
显然，于是，即是以1为首项，1为公差的等差数列，
从而，即，因此，而满足上式，
所以.
（2）由（1）知，，，
因此，
则，
显然数列单调递减，于是，则，
所以.
19．(1)见解析
(2)

【分析】（1）利用线面垂直的性质得，再利用三线合一得，最后利用线面垂直的判定即可证明；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量和法向量，利用线面角的公式即可得到答案.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又因为为的中点，所以是的中线，
所以，且，平面，
所以平面.
（2）建系如图，因为平面，平面，所以，，平面平面，平面，平面，
则二面角的平面角为，所以，
又因为是边长为2的等边三角形，所以，在直角三角形中，有，结合，得到以下坐标：
，
则，
设是平面的法向量，由，即，
令，则，所以，又因为，
设与平面所成角为，则.
  
20．(1)列联表见解析，认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关；
(2)（i）20；（ⅱ）99.

【分析】（1）完善列联表，计算的观测值，再与临界值表比对作答.
（2）（i）利用对立事件、相互独立事件的概率公式求解作答；（ⅱ）利用二项分布的概率公式，列出不等式组并求解作答.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200名志愿者按指标值分布为：在内有（人），
在内有（人），在内有（人），
在内有（人），在内有(人)，
依题意，有抗体且指标值小于60的有50人，而指标值小于60的志愿者共有人，
则指标值小于60且没有抗体的志愿者有20人，指标值不小于60且没有抗体的志愿者有20人，
所以列联表如下：
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60

有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
零假设：注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60无关联，
根据列联表中数据，得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件“志愿者第一次注射疫苗产生抗体”，事件“志愿者第二次注射疫苗产生抗体”，
事件“志愿者注射2次疫苗后产生抗体”，记事件发生的概率分别为，
则，解得：，
所以.
（ⅱ）依题意，随机变量，，
显然不是最大的，即当最大时，，
于是，即，
则，整理得，解得，因此，
所以最大时，的值为99.
21．(1)当，；当，
(2)

【分析】（1）根据题意得到，分类讨论即可；
（2）设直线，联立直线方程得，，再联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，再利用弦长公式得到关系式，最后将其代入面积表达式化简即可.
【详解】（1）设，则，
从而
由，有，
若，化简整理得；
若，化简整理得.
（2）当，则
设直线，
直线与直线相交，联立得，则解得；
直线与直线相交，联立得，得；
由，得，
由得：，即，且，
，
因为，所以，即，
所以，
整理得，则，
又，，
所以.
  
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，从而得到，，再联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式和弦长关系得到，再写出面积表达式代入上式化简即可.
22．(1)单调递增区间是，单调递减区间是.
(2)

【分析】（1）直接代入求导得，则得到其单调区间；
（2）将题目转化为，设，通过二次求导和零点存在定理得到导函数的零点，再利用隐零点法结合的最值即可得到答案.
【详解】（1）时，函数的定义域为，
因为，所以，当时，，当时，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）函数的定义域为，
等价于，
设，则，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，
即在上单调递增，当，当，
所以，使得，即，所以，
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以，
设，则，而恒成立，
所以为增函数，
由，所以.
因为均为减函数，所以在上为减函数，
所以，当时，，所以实数的取值范围为
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是将题目转化为，再设新函数，通过求导和隐零点法得到，再设，得到其最值即可得到答案.