宁夏回族自治区银川一中2023届高三第四次模拟考试数学（文）试题（含解析）

这是一份宁夏回族自治区银川一中2023届高三第四次模拟考试数学（文）试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
宁夏回族自治区银川一中2023届高三第四次模拟考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
2．有下列四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④“有些常数数列不是等比数列”的否定.其中真命题为（    ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
3．设函数，则（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（    ）
①
②
③
④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区（阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和（如图所示）.当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的长度为（    ）

A． B． C． D．
6．如图为某三棱锥的三视图，若每个视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则该三棱锥内切球半径为（    ）
  
A． B． C． D．
7．若，（），则（    ）
A． B． C．0 D．
8．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前n项和（    ）
A． B． C． D．
9．中，三边之比，则（    ）
A． B．4 C． D．
10．已知分别为的边上的中线，设，,则＝（    ）
  
A．＋ B．＋
C． D．＋
11．已知函数的图象关于点对称，则（    ）
A． B．1 C． D．2
12．已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11

二、填空题
13．在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数的模长是 .
14．在正四棱柱中，底面边长为1，高为3，则异面直线与AD所成角的余弦值是 .
15．已知数据1，3，5，7，的平均数与中位数相等，则这组数据的方差为 ．
16．设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是 .

三、解答题
17．在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值.
18．在如图所示的几何体中，，平面，，，，.

（1）证明：平面；
（2）过点作一平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积.
19．当前，短视频行业异军突起，抖音､快手､秒拍等短视频平台吸引了大量流量和网络博主的加入.红人榜的数据推出是体现各平台网络博主商业价值的榜单，每周一期，红人榜能反应最近一周网络的综合价值，以粉丝数､集均评论､集均赞，以及集均分享来进行综合衡量，红人榜单在统计时发现某平台一网络博主的累计粉丝数(百万)与入驻平台周次(周之间的关系如图所示：

设，数据经过初步处理得：，，.(其中，分别为观测数据中的周次和累计粉丝数)
（1）求出关于的线性回归模型的相关指数，若用非线性回归模型求得的相关指数，试用相关指数判断哪种模型的拟合效果较好(相关指数越接近于1，拟合效果越好)
（2）根据（1）中拟合效果较好的模型求出关于的回归方程，并由此预测入驻平台8周后，对应的累计粉丝数为多少？
附参考公式：相关指数，，.参考数据：.
20．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
21．抛物线C：上的点到抛物线C的焦点F的距离为2，A､B（不与O重合）是抛物线C上两个动点，且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)x轴上是否存在点P使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)已知点，若直线与曲线交于A，两点，求的值．
23．已知，，.
（1）求的最大值；
（2）若不等式对任意及条件中的任意恒成立，求实数 的取值范围.

参考答案：
1．D
【分析】利用函数的定义域及值域求出两个集合，再根据集合的交集、并集、补集运算以及基本关系求解即可.
【详解】因为，，所以，
所以，，
又，所以，不满足，
故选项A、B、C错误，选项D正确，
故选：D.
2．D
【分析】根据四种命题的相互转化，对每个选项进行逐一分析，即可判断命题的真假.
【详解】①“若，则互为相反数”的逆命题为若互为相反数，则，
命题为真命题；
②原命题的否命题为：两三角形不全等则面积不等，是假命题；
③若有实根，则，解得，故原命题为真，
则逆否命题也是真命题；
④每项都是0的常数列，有些常数数列不是等比数列是真命题；“有些常数数列不是等比数列”的否定是假命题.
综上所述，真命题为：①③
故选：.
3．A
【分析】根据分段函数的定义域代入相应的解析式可得答案.
【详解】∵，
∴.
故选：A．
4．B
【分析】根据线面、面面的位置关系，逐一判断可得选项.
【详解】解：对于①，若，由于m，n不一定相交，故也不一定成立，故①错误；
对于②，若，则，故②正确；
对于③，若，则m，n可能平行也可能异面，故③错误；
对于④，若，则或nα，故④错误；.
综上得命题中正确的是②，共1个，
故选：B.
5．B
【解析】设，得到的值，进而求得矩形面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时的长.
【详解】设，则，所以
，
当且仅当，即时，取“”号，
所以当时，最小．
故选:B．
【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
6．C
【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后求解内切球的半径即可．
【详解】由题意可知几何体是三棱锥，三个面是等腰直角三角形，一个面是正三角形，
如图，均为等腰直角三角形，为正三角形
  
设其内切球球心为，连接
几何体的体积为：，
设内切球的半径为，则点到平面，平面，平面，平面的距离均为
所以
可得：，
该三棱锥内切球半径为．
故选：C．
7．B
【分析】是周期为3的周期函数，计算的值，由此能求出的值．
【详解】是周期为3的周期函数，
，，，
．
故选：B．
8．A
【分析】由导数的几何意义得出，再由裂项相消求和法求解即可.
【详解】函数的图象在点，故，
所以，即，
故，
所以.
故选：A
9．C
【分析】首先由结合余弦定理得出，然后根据二倍角公式和正弦定理即可得出结果.
【详解】因为， 不妨设，
则，
由正弦定理可得
.
故选：C.
10．B
【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解.
【详解】分别为的边上的中线,
则,
,
由于，，所以,
故解得
故选：B
11．D
【分析】根据对称性可得，由此可构造方程求得结果.
【详解】图象关于点对称，，
又
，
，
，解得：，.
故选：D.
12．B
【分析】先根据题意得双曲线的方程为，再结合双曲线的定义得，故，连接，交双曲线于，交圆于，此时取得最小值，再计算即可得答案.
【详解】由题意可得，即，
渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，
焦点为，，由双曲线的定义可得，
由圆可得，半径，，
连接，交双曲线于，交圆于，
此时取得最小值，且为，
则的最小值为.
故选：B.

【点睛】本题考查双曲线方程的求解，双曲线上的点到定点的距离最值问题，考查数形结合思想，是中档题.
13．2
【分析】由向量的线性运算和复数的减法运算、模长公式可求得答案.
【详解】解：由题意可知，，则对应的复数是.
则对应的复数的模长是
故答案为：.
14．
【分析】连接，即为异面直线与AD所成的角，解三角形即可．
【详解】，即为异面直线与AD所成的角，
  
连接，在中，
正四棱柱的底面边长为1，高为3，
，
，，
∴，，
.
故异面直线与AD所成角的余弦值是．
故答案为：．
15．4
【分析】首先根据平均数与中位数相等得到，再计算方差即可.
【详解】若中位数是，则平均数为，解得（舍去）；
若中位数是，则平均数为，解得（舍去）；
若中位数是，则平均数为，解得，符合条件.
.
故答案为：
16．
【解析】根据定义及函数的单调性，可得方程有两个不等的实数根，构造函数，通过求导求得极值点，代入，求得的最大值，进而可求解.
【详解】解：因为函数为“倍胀函数”，且定义域为，所以存在，使在上的值域为.因为为增函数，所以，所以方程有两个不等的实数根.令，则，令，解得.易知在上单调递增，在上单调递减，所以.易知当时，，当时，所以要使方程有两个不等的实数根，只需，得，所以t的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，方程的根等，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于较难题.
试题以新定义函数为切入点，围绕函数的定义域与值域的关系设题，引导考生将已知条件转化为方程的根进行求解，思维层次较高，考查逻辑推理、直观想象，数学运算等核心素养.
17．(1)
(2)

【分析】（1）根据已知条件求得公差，由此求得.
（2）先判断的符号，根据等差数列前项和公式求得正确答案.
【详解】（1），，，
又，，成等比数列，所以，
化简得，解得或，又，所以，
可得数列的通项公式；
（2）由（1）得，由，得，
由，得，
所以
，
所以.
18．(1)证明见解析；(2).
【详解】分析：（1）由余弦定理结合勾股定理可证明，利用线面垂直的性质可证明，由线面垂直的判定定理可得平面；（2）取的中点，的中点，连接，截面即为所求，由（1）可知，平面，平面， 由“分割法”利用棱锥的体积公式可得结果.
详解：（1）证明：在中，.
所以，所以为直角三角形，.
又因为平面，所以.
而，所以平面.
（2）取的中点，的中点，连接，平面即为所求.
理由如下：
因为，所以四边形为平行四边形，所以，从而平面，
同理可证平面.
因为，所以平面平面.
由（1）可知，平面，平面.
因为，
，
所以，所求几何体的体积.

点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体椎体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.
19．（1），的拟合效果较好；（2），累计粉丝数万.
【解析】（1）由已知求得，与比较大小得结论；
（2）由已知数据求得与的值，可得关于的线性回归方程，取求得值即可.
【详解】（1）由已知可得，
，
，的拟合效果较好；
（2）由题意，，.
，.
回归方程为.
当时，.
预测入驻平台8周后，对应的累计粉丝数为25.6百万万.
【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题.
20．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.
（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.
【详解】（1） 的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当时，时；当x∈时，.
故f（x）在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.
所以等价于，即.
设g（x）=lnx-x+1，则.
当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.
【点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.
（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
21．(1)
(2)存在，理由见解析

【分析】（1）由焦半径公式求出，求出抛物线方程；
（2）设出直线方程，与抛物线方程联立得到点坐标，同理得到点坐标，利用得到，求出，求出定点坐标.
【详解】（1）由抛物线的定义得，解得，
则抛物线的标准方程为.
（2）依题意知直线与直线的斜率存在，设直线方程为，

由得直线方程为：，
由，解得，
由，解得
由得，假定在轴上存在点使得，设点，
则由（1）得直线斜率，直线斜率，
由得，则有，即，
整理得，
显然当时，对任意不为0的实数，恒成立，
即当时，恒成立，恒成立，
所以轴上存在点使得.
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
22．(1)C：，直线l：
(2)

【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）化直线方程为点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解．
【详解】（1）曲线C的参数方程为（为参数，），
所以，所以即曲线C的普通方程为．
直线l的极坐标方程为，则，
转换为直角坐标方程为．
（2）直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数）令点A，B对应的参数分别为，，
由代入，得，则，，即t1、t2为负，
故．
23．（1）；（2）.
【分析】（1）求结合基本不等式可求出的最大值为6，从而可求的最大值；
（2）结合基本不等式中“1”的代换，可求出，结合，可得，从而可求出的取值范围.
【详解】解：（1），
当且仅当，即时取等号，的最大值为.
（2），当且仅当，即时取等号，
的最小值为4.又， ，解得，
即的取值范围为.
【点睛】本题考查了基本不等式，考查了“1”的代换，考查了含绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式.在应用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.