四川省宜宾市叙州区第二中学校2023届高三适应性考试数学（理）试题（含解析）

这是一份四川省宜宾市叙州区第二中学校2023届高三适应性考试数学（理）试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省宜宾市叙州区第二中学校2023届高三适应性考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则下列判断正确的是（    ）
A． B． C． D．
2．已知复数，其中为虚数单位，则（    ）
A． B． C． D．
3．空气质量指数(AQI)是描述空气清洁或者污染的程度，是对二氧化硫、二氧化氮、PM10、PM2.5、一氧化碳和臭氧这6项污染物的统一评价.AQI在空气为优，在空气为良，在为轻度污染，在为中度污染，在为重度污染，300以上为严重污染.如图为我国34个省级行政区某日的AQI数据条形图.给出下列结论：

①当日超过半数以上的省级行政区空气为良；
②当日省级行政区空气被污染的比例超过20%；
③当日我国各省级行政区AQI的平均值小于100
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
其中正确的个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是一句俗语，比喻人多智慧多．假设每个“臭皮匠”单独解决某个问题的概率均为，现让三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，则至少有一人解决该问题的概率为（    ）
A． B． C． D．0．936
5．已知实数，满足约束条件，则的最大值为（    ）
A． B． C．1 D．2
6．若为实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．函数的图象大致是（    ）
A． B．
C． D．
8．在等差数列{an}中，若a6+a10=18，a3+a5+a13=12，则使an>100成立的正整数n的最小值为（    ）
A．24 B．25 C．26 D．27
9．已知函数，且，则（    ）
A． B． C． D．3
10．已知函数f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1，则下列说法正确的是（    ）
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)在[0，]上是增函数
D．f(x)在[0，]上有4个零点
11．已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是，则抛物线的准线方程为（    ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若恒成立，则的取值范围为 （    ）
A． B． C． D．

二、填空题
13．的展开式中的系数为 .
14．已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为 .
15．用0、1、2、3、4、5这六个数字组成一个无重复数字的五位数，百位和个位必须是奇数的数有 个．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为 ．

三、解答题
17．如图，平面四边形内接于一个圆，且，，为钝角，.

（1）求；
（2）若，求的面积.
18．如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，，分别是线段，，的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．
19．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘制成评分频率分布直方图，如下：

（1）在测试评分不低于80分的12名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为X，求X的分布列；
（2）为激励学生关注科技，该校科技社团预在高一学年1000名学生中，举办航天知识大赛，计划以知识问答试卷形式，以分数高低评比等级，一等奖、二等奖奖励为航天模型，三等奖无奖品，且一等奖奖品价值为二等奖的二倍，每个等级都颁发相应证书．奖品费用需社团自行联系商家赞助，已筹集到赞助费6000元．现以问卷调查结果的频率估计竞赛结果，以在测试评分不低于90分频率记为一等奖获奖概率，不低于80分不足90分频率记为二等奖获奖概率，不低于70分不足80分频率记为三等奖获奖概率，若要求赞助费尽量都使用，试估计二等奖奖品的单价应为多少元？
20．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4，椭圆经过抛物线的焦点F．
(1)求抛物线的方程及a；
(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，点N满足，且最小值为，求椭圆的离心率．
21．已知函数.
(1)当时，判断的单调性；
(2)若时，设是函数的零点，为函数极值点，求证：.
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为其中t为参数，，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求曲线，的极坐标方程；
(2)若，曲线，交于M，N两点，求的值．
23．已知函数．
(1)当m＝2时，解不等式；
(2)若函数有三个不等实根，求实数m的取值范围．

参考答案：
1．D
【分析】用列举法写出集合，再根据集合间的关系与集合的交集运算求解即可．
【详解】解：，，
，，
故选：D．
2．D
【分析】本题首先可根据复数的除法运算得出，然后通过共轭复数的性质得出，最后两者相加，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，，，
故选：D.
3．C
【分析】利用我国34个省级行政区某日的AQI数据条形图中的数据对3个命题分别经观察、计算、比较而得解.
【详解】由图中数据可知，34个省级行政区中空气为良的有18个，故①正确；
空气被污染的省级行政区个数为5+1=6，，故②不正确；
当日我国34个省级行政区AQI的平均值为，故③正确，共有2个正确的命题.
故选：C
4．D
【分析】由相互独立事件的概率公式可得三个臭皮匠都没有解决问题的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案.
【详解】“至少有一人解决该问题”的对立事件为“三人都未解决”，故所求的概率为．
故选：D
5．C
【分析】作出可行域，当目标函数过点时取得最大值，最大值为.
【详解】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大
所以联立方程，解得：，
所以的最大值为：，即：有最大值1．
故选：C．
6．D
【详解】若“0＜ab＜1”，当a，b均小于0时，b＞即“0＜ab＜1”⇒“b＜”为假命题；
若“b＜当a＜0时，ab＞1，即“b＜”⇒“0＜ab＜1”为假命题，综上“0＜ab＜1”是“b＜”的既不充分也不必要条件，故选D
7．D
【分析】根据函数为偶函数，以及在时的单调性即可由排除法解出．
【详解】因为函数的定义域为，而，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以错误；当时，，由可得，所以函数在上递减，在上递增，所以错误；而，排除，所以正确．
故选：D．
8．D
【分析】由已知建立关于首项和公差的方程组，解之可求得数列的通项，由此可得选项．
【详解】解：设等差数列{an}的公差为，
∵在等差数列{an}中，a6+a10=18，a3+a5+a13=12，
∴，解得a1=﹣26，d=5，
∴an=﹣26+5(n﹣1)=5n﹣31，
由5n﹣31>100，得，
∴使an>100成立的正整数n的最小值为27．
故选：D．
9．C
【分析】令，则为奇函数，根据已知求出，，再由即可求出答案.
【详解】解：根据题意，函数，
则，
则有，
故，
若，则，
故选：C.
10．C
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可得f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1＝sin（4x﹣），再由三角函数性质即可求解.
【详解】解：函数f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1
＝2sin22x﹣1+2sin2xcos2x＝sin4x﹣cos4x＝sin（4x﹣）．
所以函数的周期为：T＝＝，所以A不正确；
函数的最大值为，所以B不正确；
，解得，
所以f(x)在[0，]上是增函数，所以C正确；
f(x)在[0，]上有2个零点，所以D不正确．
故选：C．
11．B
【解析】设直线的方程为与抛物线联解，利用为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是得到得解
【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，直线的方程为
因为切点的纵坐标是,所以圆心的纵坐标为,即中点的纵坐标为
由得，代入直线方程
得
即
则
则
则
则准线方程为
故选：B
【点睛】涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
12．D
【分析】利用导数研究函数的单调性，再利用导数解决不等式恒成立问题，根据数形结合的思想方法即可得出结果.
【详解】的定义域为，，
令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又
所以的图像如图所示，
令，恒过定点
要使，必有图像恒在图像的下方，则，
当与的图像相切于点时，m取得最小值.
当时，，
令，则，所以
此时切线的斜率为-1，故，
故选：D

13．840
【分析】根据的展开式的通项公式可得的展开式中的系数.
【详解】的展开式中的系数为
故答案为：840
14．
【分析】由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直求得m，再求半径，即可写出圆的方程．
【详解】解：如图所示，

由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得.
所以圆心为，半径为.
所以圆的标准方程为.
故答案为：.
15．108
【分析】先安排个位和百位上的数字，再安排万位上的数字，最后安排剩下的位置上的数字即可.
【详解】根据题意，可以分三步完成：第一步，先安排个位和百位上的数字，从3个奇数中选两个排序，有种方案；第二步，安排万位上的数字，不能有0，故需要在剩下的3个数字中选1个安排，有种方案；第三步，最后安排十位和千位的数字，此时还有三个数字，只需从三个数字中选两个排列，故有种方案.
所以根据分步乘法计数原理即可得个满足条件的数.
故答案为：
16．/
【分析】数形结合可知，，且，利用中边的关系即可求得离心率.
【详解】如图所示：

由题可知，，，则，
又，，
又，则，
作交于点，
可得，，则.
在中，，
即，得，
又，化简可得，
，双曲线的离心率为.
故答案为：.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）在中，根据题中数据，由正弦定理求出，进而可到余弦值；
（2）先根据四边形有外接圆，得到，求出，在中，由余弦定理求出，再由三角形面积公式，即可得出结果.
【详解】（1）在中，，，，
由正弦定理可得，即，解得；
又为钝角，所以为锐角，则；
（2）由平面四边形内接于一个圆可得，所以，
又为钝角，所以为锐角，则，
在中，由余弦定理可得，
即，整理得，
解得，
则的面积为.
18．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先证明平面，平面，利用判定定理证明平面平面；
（2）以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系用向量法求平面与平面所成二面角的正弦值．
【详解】（1）如图，因为中点为，连接，

又是的中点，可知，
又平面，平面，
所以平面．
在矩形中，由，分别是，的中点得．
又平面，平面，所以平面．
又因为，平面，平面，
所以平面平面
（2）如图，在平面内，过点作，因为，所以．

又因为平面，所以，．
以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则，，，
因为平面，所以为平面的法向量，
设为平面的法向量．又，，
由得取得．
从而

所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
【点睛】立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．
19．（1）答案见解析；（2）二等奖奖品单价为10元．
【分析】（1）先计算出[80，90）和[90，100]的人数，然后求出X的可能取值，进而求出对应概率，即可列出分布列；
（2）设未知数列不等式，解不等式即可.
【详解】解：（1）不低于80分的12名学生中[80，90）：12×＝8（人）；
低于80分的12名学生中[90，100]：12×＝4（人）；
∴X的可能取值为0，1，2，3，
∴P（X＝0）＝；
P（X＝1）＝；
P（X＝2）＝；
P（X＝3）＝；
分布列如下：
x
0
1
2
3
p




（2）不低于90分的人数为：1000×0.015×10＝150；
不低于80不足90的人数为：100×0.03×10＝300；
设二等奖的奖品单价为x元，则一等奖奖品单价为2x元，
则有300x+2×x×150≤6000，解得x≤10，
又因为要求赞助费尽量都使用，
所以x取10，
即二等奖奖品单价为10元．
20．(1)；
(2)

【分析】(1)由条件列方程求，由此可得抛物线方程及其焦点坐标，再由条件求，(2)联立方程组，利用设而不求法结合条件求出点的轨迹，列方程求，由此可得离心率.
【详解】（1）抛物线的焦点F到其准线的距离为4
可得
抛物线的方程：
椭圆经过抛物线的焦点
椭圆的右顶点为，
所以．
（2）①当直线斜率存在时，
设直线方程为
由得，


∵
∴，即∴
∴，
∴
又∵
∴，即∴
∴N点轨迹为直线
②当直线斜率不存在时，经检验点在直线上．
∴N点轨迹方程为
最小值即点O到直线的距离
∴，即
椭圆的离心率为．
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21．(1)在单调递增；
(2)证明见解析.

【分析】（1）对函数求导，令再次求导，判断导函数的单调性以及正负取值情况，进而得到原函数的单调性；
（2）首先研究函数的单调性，根据零点存在性定理确定其零点，并且表示出，再运用赋值法求出，再次运用函数的单调性确定其取值情况，进而证出结论.
【详解】（1）当时，，
所以，
令，，
，即，
在单调递增，
，即，
在单调递增；
（2）由于，设，，
当时，，则在为减函数；
当时，，则在为增函数；
，当，，
所以存在，使得，
即，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，当，，
所以在区间必存在一个零点，
令，则：

，
设，
则，
由（1）知，，
所以在为增函数，，
所以，
根据零点存在判定定理可知，
即.
【点睛】关键点点睛：
（1）运用导数研究函数的单调性时，一次求导得不出导函数正负取值情况时，可以进行二次求导判断一阶导函数的单调性以及取值情况，进而得到原函数的单调性；
（2）本题主要考查零点问题，所以零点存在性定理要灵活使用；
（3）运用导数对不等式证明时还是要根据函数的单调性；
（4）注意保证运算的正确性.
22．(1)，
(2)

【分析】（1）消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出曲线的极坐标方程，同理可求出曲线的极坐标方程，
（2）将代入曲线的极坐标方程，化简后利用根与系数的关系，再结合极坐标的几何意义可求得结果
【详解】（1）依题意，曲线的普通方程为，
即曲线的极坐标方程为．
曲线的普通方程为，即，
故曲线的极坐标方程为．
（2）由，得，
将代入曲线的极坐标方程中，
可得，
设上述方程的两根分别是，，则，，
故．
23．(1)
(2)

【分析】（1）利用零点分段法解绝对值不等式；（2）有三个不等实根转化为有两个大于0的实根，列出不等式组，求出实数m的取值范围.
【详解】（1）当m＝2时，，
，
解得：或
综上：不等式的解集为.
（2）由题意得：有三个不等实根，
令，则与有三个交点，
结合函数图象可知，满足要有两个交点，

即有两个大于0的实根，
故，解得：
所以实数m的取值范围是.