四川省遂宁安居育才卓同学校2023届高三第四次强化训练理科数学试题（含解析）

这是一份四川省遂宁安居育才卓同学校2023届高三第四次强化训练理科数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省遂宁安居育才卓同学校2023届高三第四次强化训练理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若为虚数单位，已知复数，则表示复数在复平面上对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，那么“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等比数列的前项乘积为，若，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，边长为2的正方形是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，若，且，则m的取值为（    ）

A． B． C． D．
5．若双曲线的渐近线与圆相切，则（    ）
A． B． C． D．
6．2022年4月8日（当地时间），美国富豪马斯克的太空探索公司“SpaceX”首次用“龙”飞船将4人送上太空站，某班物理老师依此事实为基础，在班里举行了太空知识讲座，老师抽取了班里的10名同学（其中男生6名，女生4名）进行了相关问题的提问，然后，又从这10名同学中随机抽取4人在班里轮流发言，则抽取的女生人数不低于男生人数，且第一个发言的为男生的不同情况有（    ）
A．540种 B．1080种 C．1208种 D．1224种
7．德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式计算的近似值（其中表示的近似值）”.若输入，输出的结果可以表示为（    ）

A． B．
C． D．
8．已知锐角，满足，则的最大值是（    ）
A． B． C． D．
9．已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的体积的最大值为（    ）
A． B． C． D．
10．已知为双曲线左支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为、，直线交双曲线的一条渐近线于点，直线、的斜率为、，若以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
11．若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
12．设，，，则的大小关系正确的是（    ）．
A． B．
C． D．

二、填空题
13．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为
14．若满足约束条件，则的最大值是 ．
15．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 ．
16．如图，在直三棱柱中，，点E是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的有 .（填序号）

①直三棱柱外接球的体积为
②存在点E，使得为钝角
③截面周长的最小值为

三、解答题
17．设函数．
(1)求函数的单调增区间；
(2)在中，内角的对边分别为，若为锐角，且，，，求的面积．
18．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示.
组别







频数
25
150
200
250
225
100
50
(1)已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；
(2)在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
赠送的随机话费/元
20
40
概率


现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布列及数学期望.
附：，若，则，
，.
19．如图，在多面体中，，，四边形是矩形，，，点P在线段BF上且．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为，且.

(1)求椭圆的方程；
(2)点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线过定点.
21．已知函数（其中为自然对数的底数），．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的都有不等式成立，求实数a的值．
(3)设，证明：．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求.
23．已知函数.
(1)的最小值为M，求M的值；
(2)若，求证：.

参考答案：
1．D
【分析】根据共轭复数概念，结合除法运算得，再根据复数的几何意义求解即可.
【详解】解：由题知，，
所以，在复平面上对应的点为，位于第四象限.
故选：D
2．A
【分析】利用不等式的解法，求出集合，，利用集合元素之间的关系确定充分条件和必要条件．
【详解】由可得，即，所以，
由可得，解得，所以，
因为集合M是集合N的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
3．A
【分析】根据题意可得，结合等比数列的性质即可求解.
【详解】因为，所以，
由得.
又，所以.
故选：A.
4．D
【分析】将直观图复原，写出向量坐标，利用平行关系得到方程，求解即可.
【详解】复原图如下：,

则，
，
，，，
故选：D.
5．D
【分析】根据渐近线的公式写出直线方程，根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径列出方程求解.
【详解】双曲线的渐近线为，
即，由于对称性不妨取，
圆.即，
所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的
距离，解得或（舍去）.
故选:D.
6．D
【分析】现根据题目要求分成两类1男3女或者2男2女，然后再将选出的按要求进行排序.
【详解】从男生6名，女生4名共10人中，抽取4人，抽取的女生人数不低于男生人数的情况有：1男3女或者2男2女.
1男3女且第一个发言的为男生发言共有：种；
2男2女且第一个发言的为男生发言共有：；
抽取的女生人数不低于男生人数，且第一个发言的为男生的不同情况有：种.
故选：D.
7．C
【分析】执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.
【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：
第1次循环：，；
第2次循环：，；
第3次循环：，；

第9次循环：，，
此时满足判定条件，输出结果.
故选：C.
8．D
【分析】首先利用二倍角公式以及同角关系化简已知条件，得到，的关系，代入两角差的正切公式，结合基本不等式即可求解．
【详解】因为，
所以，
因为锐角，，所以，
所以，
因为，所以，
当且仅当时取等号，
所以的最大值是．
故选：D
9．B
【分析】作出体积最大时的剖面图，分析出此时圆与上底，两腰相切，建立合适直角坐标系，设圆心坐标为，利用圆心到腰所在直线等于半径列出方程，解出即可.
【详解】体积最大时，沿上下底面直径所在平面作出剖面图如图所示，显然此时圆与等腰梯形的上底以及两腰相切，则建立如图所示直角坐标系，

由题意得，，则，
则直线所在直线方程为，即
设，体积最大时球的半径为，
则，则点到直线的距离等于半径，
则有，
解得或，，
，此时，
则
故选：B.
10．D
【分析】设点，可得出，利用圆的几何性质可得，由，即可得出的值，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】设点，则，即有，①
由、以及以为直径的圆经过点可知，
所以，
又，，所以，，
由题意知，所以 ，②
由①和②得，由得．
故选：D.
11．B
【分析】由题意可得，由可求出数列的通项公式，利用裂项相消法可求得，求出数列的最小值，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】由题意，即，
当时，，
又，则满足，故对任意的，，
则，
，
易知是递增数列，所以，数列的最小值是，
由题意，整理可得，解得．
故选：B．
12．C
【分析】观察，构造函数约定，求导证明函数在是增函数，根据可以判断；
同时令构造函数约定，利用导数判断函数在亦是增函数，根据可得，进而得到.
【详解】由，，
令，构造函数，，
则，因为，所以
得，
下面说明，
因为，所以，即，所以，
所以当时，，所以在是增函数，
因为，所以，
即，整理可得，即，
因为，，
令，构造函数，，
则，令，
则，故在是增函数，
所以 ，所以在是增函数，
所以，即，
所以，即，
综上，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
13．
【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可.
【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：.
∴通项公式，
令，解得.
∴展开式中含项的系数为.
故答案为：.
14．12
【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置来求得的最大值.
【详解】画出不等式组表示的平面区域（阴影部分），如图所示．
要求的最大值，即求直线在轴上的截距的最小值．
数形结合可知，当直线过点时直线在轴上的截距最小，即取得最大值．
由得点的坐标为．
故的最大值为．
故答案为：

15．
【分析】根据计算，然后验证是否符合，可得结果.
【详解】当时，
由
因为不符合上式，所以
故答案为：
16．①③
【分析】取中点，中点，中点即为外接球球心，求出球半径得体积判断①，在矩形中以为直径以的圆与相切，根据点与圆的位置关系判断②， 中，固定不变，，把矩形与矩形摊平，共线时，周长最小，由此判断③．
【详解】取中点，中点，连接，矩形中可得，，
平面，所以平面，
，所以是外心，同理是的外心，
所以的中点是直三棱柱外接球的球心，
由已知，，又，所以，
所以外接球的体积为，①正确；

矩形中，，为直径的圆与相切，切点为的中点，当为切点时，．当是上其他点时，，②错误；

中，，把矩形与矩形摊平，得正方形，
当共线时，最短，最短为，
所以截面周长的最小值为，③正确．

故答案为：①③．
17．(1)
(2)

【分析】（1）利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简可得，根据正弦型函数单调区间的求法可求得结果；
（2）根据可求得，利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式即可求得结果.
【详解】（1），
令，解得：，
的单调增区间为.
（2），，
，，则，解得：，
由余弦定理得：，解得：，，
的面积.
18．(1)0.8186
(2)分布列见解析，

【分析】（1）先求得，然后结合正态分布的对称性求得正确答案.
（2）根据相互独立事件概率乘法公式求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）由题意得
.
易知，∴，
，
∴
.
（2）根据题意，可得出随即变量的可能取值有20，40，60，80.，
，，
.
∴随即变量的分布列为

20
40
60
80





∴随即变量的数学期望.
19．(1)证明见解析
(2)．

【分析】（1）由面面垂直的判定定理可得面、面，再由线面垂直的性质定理可得答案；
（2）以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量、的坐标，由线面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）∵，，，、面，
∴面，
又面，∴，
又∵，∴，
在直角梯形中，由，可得，
∵，，，
∴，∴，
又∵，，、面，
∴面，
又面，∴；
（2）如图，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
∵，，∴，
而，
设面的一个法向量为，
所以，令可得，
∴面的法向量，，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程，求得点的坐标，联立直线的方程和椭圆的方程，求得点坐标，进而求得直线的方程，从而求得点的坐标，由此求得直线的方程并确定定点坐标.
【详解】（1）因为为椭圆上一点，所以.
因为，所以，整理得，解得或.
当时，，与矛盾.所以，.
椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为，则.
因为，
由解得，.
因为，所以，整理得，
所以，.
所以，所以.
令，得.
所以，
所以.
所以.
所以直线过定点.
21．(1)答案见解析；
(2)；
(3)证明见解析.

【分析】（1）求出，分类讨论以及，根据导函数的符号即可得出函数的单调性；
（2）由已知得，求出，经分析可得.构造，可知在上单调递增.分以及，根据零点存在定理可知都有唯一解，有，进而得到的单调性和最小值.令，可得，又可证得，即可得到，进而求出a的值；
（3）由（1）知，当时，可推出成立，且仅在时取等号.令，进而推得.代入根据等比数列前项和公式即可证明.
【详解】（1）解：函数定义域为R，．
①当时，恒成立，函数在区间上单调递增；
②当时，解可得.
解，得，所以函数在上单调递增；
解，得，所以函数在上单调递减.
综上所述，当时，函数在区间上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）令，定义域为，
.
①当时，单调递增，的值域为R，不符合题意；
②当时，，也不符合题意；
③当时，令，则 恒成立，
所以在上单调递增.
当时，，又，根据零点存在定理以及函数的单调性可知，有，即有唯一解，有，此时；
当时，，又，根据零点存在定理以及函数的单调性可知，有，即有唯一解，有，此时.
综上所述，对，都有唯一解，有，此时.
又当时，，即，所以在上单调递减；
当时，，即，所以在上单调递增.
所以，
故只需.
令，上式即转化为，设，则.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以，当时，有最大值，所以，
所以.
又，所以，所以.
由，解得．
综上所述，满足条件的实数a的值为1.
（3）证明：由（1）知，当 时，对任意实数x，都有，
即，当且仅当时，等号成立.
令，，2，3，…，，，
则，即，
所以
．
【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，函数的极值点，以及证明不等式．解题关键是问题的转化．如不等式恒成立，转化为求函数的最值或取值范围，不等式的证明采用 ，这个关键的不等式入手， 从而再用换元法证得结论．解题中注意变化的技巧与方法．
22．(1)
(2)

【分析】（1）对曲线C的极坐标方程变形后，利用求出答案；
（2）将直线的参数方程化为，联立椭圆方程后，利用的几何意义求弦长.
【详解】（1）变形为，
即，
因为，故，
即；
（2）变形为，
与联立得：，
故，
故.
23．(1)
(2)见解析

【分析】(1)去绝对值，写成分段函数，分类讨论.
(2)利用柯西不等式、排序不等式证明.
【详解】（1）当时，=，
当，取到最小值；
当时，，
；
当时，=，
当时，取到最小值；
综上所述，的最小值为，即M的值为.
（2）由柯西不等式有：

令，由排序不等式有：
即，所以，
因为，所以，根据对勾函数的图像，，
即.