青海省玉树藏族自治州第二民族高级中学2023届高三第七次模拟理科数学试题（含解析）

这是一份青海省玉树藏族自治州第二民族高级中学2023届高三第七次模拟理科数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
青海省玉树藏族自治州第二民族高级中学2023届高三第七次模拟理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设集合，，则（    ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，则复数（    ）
A． B．
C． D．
3．函数在上的图象大致为（    ）
A．   B．  
C．   D．  
4．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（    ）
A． B． C． D．
5．记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．若，则（    ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”下图是执行该计算过程的一个程序框图，若输出的（单位：升），则器中米的数量应为（    ）

A．升 B．升 C．升 D．升
8．的展开式的常数项为，则实数（    ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
9．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为　　
A． B． C． D．
10．设，则（    ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左焦点是，直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率是（    ）
A． B．3 C． D．6
12．已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
13．已知向量．若，则 ．
14．若x，y满足约束条件，则的最大值是 .
15．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
16．已知圆锥的底面直径为，过一母线的截面是面积的等边三角形，则该圆锥的体积为 ．

三、解答题
17．举办亲子活动，不仅能促进家庭与幼儿园之间的合作，还能增进亲子之间的感情，对促进幼儿园教育也具有重要作用.某幼儿园为了提高家长对该幼儿园举办亲子活动的满意度，随机调查了100名家长，每名家长对该幼儿园举办的亲子活动给出满意和不满意的评价，得到的数据如下表：

满意
不满意
合计
男家长


40
女家长

10

合计
75

100
(1)补充完整上面的列联表，并分别估计男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率；
(2)能否有95％的把握认为男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动的评价有差异？
参考公式：，其中.
参考数据：

0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
18．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
19．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
20．已知椭圆：的离心率为，为过椭圆右焦点的一条弦，且长度的最小值为2．
(1)求椭圆的方程．
(2)若斜率为1的直线与椭圆交于，两点，点，直线的斜率为，求线段的长度．
21．已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若，证明：.
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值，并求此时点P的坐标.

参考答案：
1．B
【解析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再利用交集的运算求解.
【详解】因为集合，，
所以
故选:B
【点睛】本题在考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2．B
【分析】由复数除法运算可化简得到结果.
【详解】.
故选：B.
3．D
【分析】先判断函数的奇偶性，排除AC，再由特殊值验证，排除B，即可得出结果.
【详解】因为，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A与C.
又因为，所以排除B.
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.
4．A
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
【详解】在中，，，
根据余弦定理：

可得 ，即
由
故.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
5．A
【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
6．A
【分析】由已知条件可得出，利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式化简可得结果.
【详解】由已知可得，
则原式．
故选：A.
7．C
【分析】由程序框图反向计算即可推导得到结果.
【详解】根据程序框图反向运算知：当输出时，，解得：；
由得：，解得：；由得：，解得：.
故选：C．
8．B
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出的值，从而列方程可求出的值
【详解】的展开式的通项，令，得，
所以，解得，
故选：B.
【点睛】此题考查二项式定理的应用，利用二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题
9．A
【分析】先求出该球面的半径，由此能求出该球面的表面积．
【详解】棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，
该球面的半径，
该球面的表面积为．
故选A．
【点睛】本题考查球面的表面积的求法，考查正方体的外接球、球的表面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
10．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故

11．D
【分析】依题意可得是线段的中点，设，根据双曲线的定义得到，，再由余弦定理得到，即可得解.
【详解】解：因为，所以是线段的中点，
设，双曲线C的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，.
由，
解得，
故双曲线C的离心率.
故选：D
12．B
【分析】根据三角函数平移变换和两角和差公式可构造方程组求得，代入即可.
【详解】，
，解得：，
.
故选：B.
13．/
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.

14．16
【分析】根据题意作出平面区域，通过平移，可得纵截距在点处取到最大值．
【详解】平面区域如图所示，即，通过平移可知当直线过点时，z取得最大值
联立方程，解得，即
的最大值为
故答案为：16．

15．
【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
16．
【分析】由截面面积可构造方程求得圆锥母线长，进而得到圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果.
【详解】由题意知：圆锥的底面半径；
设圆锥的母线长为，则，解得：，
圆锥的高，圆锥的体积.
故答案为：.
17．(1)列联表见解析，男家长的概率为，女家长的概率为.
(2)有

【分析】(1)先求女家长的总人数，再求女家长满意人数，依次可求出其他数据；
(2)将(1)中的数据代入计算即可判断.
【详解】（1）由题意可得参与调查的女家长人数为，
参与调查的女家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的人数为，
参与调查的男家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的人数为，
参与调查的男家长对该幼儿园举办的亲子活动不满意的人数为，
参与调查的家长对该幼儿园举办的亲子活动不满意的人数为，
则补充完整的列联表如下：

满意
不满意
合计
男家长
25
15
40
女家长
50
10
60
合计
75
25
100
男家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率为，
女家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率为;
（2）由（1）中列联表可得，
因为，
所以有95％的把握认为男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动的评价有差异.
18．（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设，    ⑧
则．     ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
19．（1）见解析；（2）.
【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取中点，可证得平面，得到平面的法向量；再通过向量法求得平面的法向量，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.
【详解】（1）连接，

，分别为，中点    为的中位线
且
又为中点，且 且
四边形为平行四边形
，又平面，平面
平面
（2）设，
由直四棱柱性质可知：平面
四边形为菱形    
则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则：，，，D（0，-1,0）
取中点，连接，则
四边形为菱形且    为等边三角形
又平面，平面
平面，即平面
为平面的一个法向量，且
设平面的法向量，又，
，令，则，    

二面角的正弦值为：
【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.
20．(1)
(2)

【分析】（1）由椭圆的离心率和过椭圆右焦点的弦长最小值为，得出关于的表达式，即可求出椭圆的方程.
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可得点坐标，可得直线的方程，联立直线与椭圆的方程可求得线段的长度,
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，
过椭圆右焦点的弦长的最小值为，
所以，，，所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程得，则，因为点，所以点坐标为，所以可得直线的方程为，即．
联立直线与椭圆的方程，消去得，解得，，
所以．
21．(1)0；
(2)证明见解析.

【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；
（2）即证，设，求出函数的最小值即得证.
【详解】（1）解：由题意可得.
由，得；由，得.
则在上单调递减，在上单调递增，
故.
（2）证明：要证，即证，
即证.
设，则.
由（1）可知当时，.
由，得，由，得，
则，当且仅当时，等号成立.
即.
22．(1)，
(2)，

【分析】（1）结合消元即可得出曲线C的普通方程；由即可得出直线l的直角坐标方程；
（2）设点，结合点线距离公式，讨论最大值即可
【详解】（1）由（为参数），得，故曲线C的普通方程为.
由，得，故直线l的直角坐标方程为.
（2）设点，
则点P到直线l的距离.
故当时，点P到直线l的距离取得最大值.
此时，点P的坐标为.