内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学2022届高三三模文科数学试题（含解析）

这是一份内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学2022届高三三模文科数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学2022届高三三模文科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
2．设，则复数z对应的点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知命题，命题，则下列命题是真命题的是（    ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则函数的最大值和周期分别是（    ）
A．， B．，
C．2， D．2，
5．若x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）
A．1 B．7 C．9 D．10
6．若，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．在取间（－1，2）随机取1个数，则取到的数大于的概率为（    ）
A． B． C． D．
8．设函数在内有定义，下列函数必为奇函数的是（    ）
A． B． C． D．
9．正方体中，分别是中点，则直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式（    ）
A．3-2n B．3+2n C．1+2n D．1-2n
11．已知点在直线上，点在椭圆上，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
12．设函数f（x）在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．函数f（x）有极大值f(-3)和f（3） B．函数f（x）有极小值f(-3)和f（3）
C．函数f（x）有极小值f（3）和极大值f(- 3) D．函数f （x）有极小值f(-3)和极大值f（3）

二、填空题
13．已知向量，，.若，则 .
14．双曲线的焦点到其渐近线的距离是 .
15．在锐角三角形中，，，，则
16．在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥.所得多面体的三视图中，以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成这个多面体的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.



三、解答题
17．高三年级计划从甲、乙两个班中选择一个班参加学校的知识竞赛，设甲班的成绩为，乙班的成绩为，两个班以往次竞赛的成绩(满分分)统计如下:





















（1）请计算甲、乙两班的平均成绩和方差，从求得数据出发确定派哪个班参加竞赛更合适(方差保留一位小数)
（2）若，则称甲、乙属于“同一阶层”.若从上述次考试中任取三次，求至少有两次甲、乙属于“同一阶层”的概率.
附：方差
18．如图，四棱锥S-ABCD的底面是长方形，SA⊥底面ABCD，3CE=CD，SC⊥BE.

(1)证明：平面SBE⊥平面SAC；
(2)若，AD=1，求CD及三棱锥C-SBE的体积.
19．已知等差数列的前项和为，公差，且，，成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.
20．已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的最大值.
22．已知直线l的参数方程为（为常数，为参数），曲线C的参数方程为（为参数）．
（1）求直线l和曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C有公共点，求实数m的取值范围．
23．已知函数.
(1)当a=1时，求不等式的解集；
(2)若，求a的取值范围.

参考答案：
1．A
【分析】根据补集概念求解即可.
【详解】因为，，
则.
故选：A
2．C
【分析】根据复数的运算，求得，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由，可得，
所以复数在复平面内对应的点为位于第三象限.
故选：C.
3．C
【分析】分别判断命题与命题的真假，从而结合“且或非”的真假性即可得解.
【详解】对于命题，将代入，得，满足要求，
故为真命题，为假命题；
对于命题，取，则，不满足要求，
故为假命题，为真命题；
所以为假命题，为假命题，为真命题，为假命题.
故选：C.
4．A
【解析】由三角函数辅助角公式可得，再结合三角函数最值与周期的求法求解即可.
【详解】解：由函数，
所以，
又，即，
所以，
又，
即函数的最大值和周期分别是，
故选：A.
【点睛】本题考查了三角函数辅助角公式，重点考查了三角函数最值与周期的求法，属基础题.
5．A
【分析】作出可行域，作直线，平移该直线可得最优解．
【详解】作出可行域，如图，

作直线，直线中是直线的纵截距，
代入得，即．
平移直线，当直线过点时取得最小值1．
故选：A．
6．B
【分析】利用二倍角余弦公式可求的值，故可得正确的选项.
【详解】
故选：B.
7．B
【分析】利用几何概型的概率即得.
【详解】由题可知试验的全部结果构成的区域长度为，
构成事件“取到的数大于”的区域长度为，
故取到的数大于的概率为.
故选：B.
8．B
【分析】根据奇偶性的定义依次判断即可.
【详解】对A，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故A错误；
对B，中，，所以函数为奇函数，故B正确；
对C，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故C错误；
对D，为偶函数，故D错误.
故选：B.
9．A
【分析】正方体AC1中，连接BD，B1D1，AB1，证明EF//B1D1，判断的形状即可作答.
【详解】正方体中，连接BD，B1D1，AB1，如图：

因分别是中点，则，而正方体AC1的对角面BDD1B1是矩形，
于是有，则直线与所成角是或其补角，
又，即是正三角形，，
直线与所成角的余弦值是.
故选：A
10．D
【分析】先将等式化为的关系式并化简，然后根据等差数列的定义求出.
【详解】当n=1时，；当时，，于是是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以.
故选：D.
11．A
【分析】设，则点到直线的距离,然后根据三角函数求出最值.
【详解】设，则点到直线的距离
.
因为，所以，则.
故选：A.
【点睛】本题考查求椭圆上的点到直线的距离的最小值问题，属于中档题.
12．D
【分析】结合图象，讨论出原函数的单调区间，进而得到极值点的位置，最后得到答案.
【详解】由题意，时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递增；
时，，单调递减.
所以函数有极小值f(-3)和极大值f（3）.
故选：D.
13．
【分析】利用向量线性坐标运算可得，再利用向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】由，，
所以，
又因为，
所以，解得.
故答案为：
14．3
【分析】直接求出焦点及渐近线，再由点到直线的距离求解即可.
【详解】由题意得：，故双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，
则焦点到其渐近线的距离是.
故答案为：3.
15．
【分析】由三角形面积公式求A，再由余弦定理求BC.
【详解】∵ ，
∴，又，，
∴ ，又A为锐角，
∴ ，
由余弦定理可得，
∴ ，
∴ ，
故答案为：.
16．④⑤/⑤④
【分析】根据正视图，结合题意，作出几何体直观图，由此再判断，即可得到结果.
【详解】根据题意，在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥，如果图①是正视图，则几何体若如图下图（1）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次④⑤；
几何体若如图下图（2）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次⑤④；

        图（1）                              图（2）
故答案为：④⑤（或⑤④）.
17．（1）130，130，69.3，75.3，派甲班参加比赛更合适；（2）.
【分析】（1）分别计算出甲、乙两班的均值和方差，进行比较即可确定排哪个班级参赛；
（2）上述次考试中有的成绩为甲、乙属于“同一阶层”，然后枚举出所有的次考试中任选三次的情况，找出其中至少有两次甲、乙属于“同一阶段”的情况即可求得概率.
【详解】解析：



由于，，所以派甲班参加比赛更合适
上述次考试中有的成绩为甲、乙属于“同一阶层”，
从次考试中任选三次，总共有
共种结果
其中至少有两次甲、乙属于“同一阶段”的有次， 则至少有两次甲、乙属于“同一阶段”的概率为
18．(1)证明见解析；
(2)，体积为.

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面SAC，然后利用面面垂直的判定定理即证；
（2）设CE=x，结合条件可得，进而可得，再利用棱锥的体积公式即得.
【详解】（1）因为平面ABCD，又平面ABCD，
所以.
又，且，
所以平面SAC，
又平面SBE，
所以平面平面SAC.
（2）连接AC交BE于H，因为，
所以，

故，，
设CE=x，则在Rt△BCE中，，
在Rt△ABC中，，
所以，
解得，
故.
所以.
19．（Ⅰ），.（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由和表示出，再由等比中项的性质表示出，，成等比数列，可以求出和，再表示出即可；
（Ⅱ）由是首项为1，公比为3的等比数列，得到的通项公式，再表示出的通项公式，由分组求和的方法求出即可.
【详解】（Ⅰ）根据题意得：
，
由，，成等比数列可得，
∴，即，
∵，∴，
∴，.
（Ⅱ），
∴，
∴

.
【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列通项公式、分组求和求数列前项和，考查学生的计算能力，属于基础题.
20．（1），（2）证明见解析，定点
【解析】（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；
（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可
【详解】解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，
所以，得，
所以抛物线的方程为，
（2）①当直线的斜率不存在时，设，
因为直线的斜率之积为，所以，化简得，
所以，此时直线的方程为，
②当直线的斜率存在时，设其方程为，，
由，得，则，
因为的斜率之积为，所以，
即，即可，
解得（舍去），或，
所以，即，所以，即，
综上所述，直线过轴上的一定点
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得，再利用根与系数的关系可得，再结合直线的斜率之积为，可得到的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题
21．(1) 当时， 在上单调递减；当，的单调递增区间为；单调递减区间是和；当， 的单调递增区间为，单调递减区间是和；（2）.
【详解】试题分析：（1）求出的导数，通过的讨论，分别令得增区间，得减区间；（2）由题意可得恒成立，令，求出导数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论.
试题解析：（1），
，
①当时，，∴在上单调递减；
②当，由解得，∴的单调递增区间为，
单调递减区间是和；
③当，同理可得的单调递增区间为，单调递减区间是和.
（2）∵恒成立，∴恒成立，
即恒成立，
，
∴在上递增，上递减，∴，
∴，∴，
令，
∴在上递增，上递减，
∴，∴，∴实数的最大值为.
22．（1）直线的普通方程为；曲线的普通方程为；（2）.
【分析】（1）直接消去参数方程中的参数可得其普通方程；
（2）由直线与圆有公共点，可得圆心到直线的距离小于半径，从而可求出实数m的取值范围
【详解】（1）由直线的参数方程（为常数，为参数），得：．
由曲线的参数方程（为参数）得：．
故直线的普通方程为；曲线的普通方程为．
（2）∵直线与圆有公共点，圆心，半径，
∴圆心到直线的距离．
∴，即所求的取值范围为．
23．(1)
(2)

【分析】(1)分类讨论去绝对值符号，然后解不等式.
(2)由三角不等式求得，要使，只需，即可求出答案.
【详解】（1）当a=1时，，
故，即，
当x≤-1时，得5