宁夏银川市贺兰县第二高级中学2023届高三第四次模考数学试题（含解析）

这是一份宁夏银川市贺兰县第二高级中学2023届高三第四次模考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
宁夏银川市贺兰县第二高级中学2023届高三第四次模考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设全集，集合，，则=（    ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，其中是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
4．设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（    ）
A． B．
C． D．
5．中，内角所对的边分别为.若则的面积为（    ）
A． B． C． D．
6．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（    ）
A．20 B．55 C．30 D．25
7．若展开式中的常数项为16，则实数a＝（    ）
A．1 B． C． D．
8．执行下边的程序框图，如果输入的是，，输出的结果为，则判断框中“”应填入的是（    ）

A． B． C． D．
9．已知直线与圆相交于两点，且的长度始终为，则的最大值为（    ）
A．1 B． C． D．
10．已知的外接圆的圆心为，半径为1，，在上的投影向量为，则（    ）
A． B． C．1 D．
11．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线斜率为，且和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（    ）

A． B．
C． D．
12．已知函数，若且满足，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

二、填空题
13．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 .
14．已知随机变量，若，，则的值为 .
15．函数与函数的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是 ．
16．如图（1）为陀螺实物体，图（2）为陀螺的直观图，已知，分别为圆柱两个底面圆心，设一个陀螺的外接球（圆柱上、下底面圆周与圆锥顶点均在球面上）的半径为2，球心为，点为圆锥顶点，若圆锥与圆柱的体积比为1：6，则圆柱的体积为 .
  

三、解答题
17．2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：
班号
1
2
3
4
人数
30
40
20
10
该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品，假设每位同学的作答情况相互独立.
(1)求各班参加竞赛的人数；
(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望.
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，，，分别是，的中点，是上一点，且.
  
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.
19．已知函数（，）.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知.
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为.
(1)求的解析式及最小值；
(2)若函数在区间（）上有且仅有1个零点，求的取值范围.
20．已知抛物线和圆，倾斜角为的直线过焦点，且与相切.
(1)求抛物线的方程；
(2)动点在的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设，证明点在定直线上，并求该定直线的方程.
21．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆经过极点，且其圆心的极坐标为.
(1)求直线的普通方程与圆的极坐标方程；
(2)若射线分别与圆和直线交于点（点异于坐标原点），求线段长.

参考答案：
1．D
【分析】求出集合，由补集和并集的定义即可得出答案.
【详解】因为全集，，
所以，又因为，所以
故选：D．
2．A
【解析】由条件得出复数，从而可得到答案.
【详解】由复数满足.
可得
所以
则在复数在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A
【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念和复数的几何意义，属于基础题.
3．A
【分析】根据对数函数的单调性及指数函数的单调性可得结论．
【详解】，，，
所以．
故选：．
4．A
【分析】利用等比数列的性质、等比中项的性质进行求解.
【详解】因为，且也成等比数列，
因为，，所以，
所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，
即，所以.故B，C，D错误.
故选：A.
5．C
【分析】由已知求出，即得解.
【详解】因为
所以，
所以，
所以的面积.
故选：C
6．D
【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从2名教师和5名学生中选出3人的选法，再计算其中“入选的3人没有教师”的选法数目，分析可得答案．
【详解】解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有种选法，
若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有种，
则有种不同的选取方案，
故选：D．
7．D
【分析】利用二项式定理求通项求得实数的值.
【详解】因为常数项为，则，
故选D.
8．C
【分析】利用程序框图的循环结构，不断循环直到满足为止.
【详解】根据程序框图，输入，，则，满足循环条件，，
，满足循环条件，，……，，
不满足循环条件，输出结果.故A，B，D错误.
故选：C.
9．C
【分析】利用圆的标准方程及点在直线上，结合基本不等式即可求解.
【详解】由，得圆的圆心坐标为，半径为，
由题意可知，直线经过圆的圆心，
所以，即，
又因为，
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故选：C.
10．B
【分析】先根据条件得为直角三角形，再根据投影向量的公式可得，进而可得三角形中每个角的大小，再通过计算可得答案.
【详解】解：，则为中点，又是外接圆圆心，
则为直角三角形，为在上的投影向量，
，∴，
∴，∴
，，

的外接圆半径为1，∴，∴，
∴，
故选：B.

11．D
【分析】由入射光线的斜率得出，进而得出，再由双曲线的定义得出双曲线的离心率.
【详解】因为入射光线斜率为，所以，又，，
所以，又，
所以.
故选：D
12．A
【分析】作出函数图形，结合题干和图形可得，然后将代换为，令，利用导数求出函数的值域即可求解.
【详解】由题意可知：且满足，

结合图象可知：，则有.
因为，所以，解得：.
，
令，则，
因为，所以，，则，
所以函数在上单调递减，所以，
也即，
故选：.
13．
【分析】由原命题是假命题知它的否定命题是真命题，由此求出实数的取值范围．
【详解】“，”是假命题，
则它的否定命题：“，”是真命题；
所以,，恒成立，所以，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
14．
【分析】根据数学期望与方差的公式列出式子，进行计算即可.
【详解】由题可知：
所以为
故答案为：
【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望与方差，重在考查计算以及公式记忆，属基础题.
15．
【分析】画出函数图象，利用定积分，计算出图形的面积.
【详解】解：的图象如下所示：

故两函数围成一个封闭图形的面积.
故答案为：.
16．
【分析】根据截面五边形，找到球心，根据圆锥与圆柱的体积比，求出圆锥与圆柱高的关系，已知外接球的半径为，求出，，在中求出圆柱底面半径.进而解出结果.
【详解】如图，过，，作几何体的截面，截面为五边形，
其中四边形为矩形，为等腰三角形，．
设圆柱底面半径为，圆锥与圆柱的高分别为，．
由题意知球心为矩形的中心，即为线段的中点，
因为圆锥与圆柱的体积比为，所以，
整理得．
因为陀螺的外接球的半径为，所以，整理得，
所以，，
在中，，
所以圆柱的体积为．

故答案为：.
17．(1)3,4,2,1
(2)分布列见解析，2.8

【分析】（1）根据分层抽样计算可得；
（2）根据超几何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；
【详解】（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为，
故班分别抽取（人），（人），（人），（人）.
（2）由题意，的可能取值为1,2,3,4，
,
,
,
,
所以的分布列为：

1
2
3
4





18．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）通过证明即可证明结论；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，由选择条件可得相应点坐标，可得向量坐标与平面法向量坐标，即可得线面夹角正弦值，从而可得答案．
【详解】（1）证明：，分别为，中点，，
又平面，平面，
平面；
（2）底面是边长为2的菱形，所以，又平面，平面，
所以，
如图所示，以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
  
，底面是边长为2的菱形，，
则，，．
，
又，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，所以，
设直线与平面所成角为．
则，故有，
所以直线与平面所成角的余弦值.
19．(1)选择①②，的最小值为；选择①③，的最小值为
(2)选择①②；选择①③

【分析】（1）利用三角恒等变换化简，选择①②：由周期得出，由得出，进而求出的解析式及最小值；选择①③：由周期得出，由的最大值为得出，进而求出的解析式及最小值；选择②③：由得，又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意．
（2）因为,，所以，结合三角函数的性质与函数零点的概念求解即可．
【详解】（1）由题可知，，
选择①②：
因为，所以，
又因为，所以．
所以．
当，即时，，
所以函数的最小值为．
选择①③：
因为，所以，
又因为函数的最大值为，所以．
所以，
当，即时，．
所以函数的最小值为．
选择②③：因为，所以．
又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意．
（2）选择①②：
因为,，所以，
又因为在区间（）上有且仅有1个零点，
所以，所以，所以．
选择①③：
因为,，所以，
又因为在区间（）上有且仅有1个零点，
又时，或，
所以，所以，所以．
20．(1)；
(2)证明见解析，.

【分析】（1）设直线的方程为，再根据直线和圆相切求出的值得解；
（2）依题意设，求出切线的方程和B点坐标，求出， 即可求解作答.
【详解】（1）依题意得，物线的焦点坐标为，设直线的方程为，
而圆的圆心，半径，由直线与圆相切，
得，又，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知抛物线：的准线为，设，
由，求导得，设，则以为切点的切线的斜率为，
于是切线的方程为，
令，得，即交y轴于点，
因此，，
则，设N点坐标为，从而，
所以点N在定直线上.
    
21．(1)；
(2)；

【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求解作答.
（2）变形不等式，构造函数，利用导数探讨恒成立的k的范围作答.
【详解】（1）当时，，求导得：，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2），
因为存在，使得当时，恒有成立，
则存在，使得当时，，
令，即有，恒成立，
求导得，令，，
因此函数，即函数在上单调递增，而，
当，即时，，函数在上单调递增，
，成立，从而，
当时，，，则存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
22．(1)直线普通方程为，圆的极坐标方程为
(2)

【分析】（1）消去得直线方程，确定圆心和半径，计算极坐标方程得到答案.
（2）将代入圆和直线的极坐标方程，计算即可.
【详解】（1），消去得，
圆C经过极点，且其圆心的极坐标为，圆是以为圆心，半径为2的圆.
其方程是，即，极坐标方程为；
（2）将代入得，
直线的极坐标方程是，即，
将代入得，故.