2023年四川省泸县第四中学二模数学试题（含解析）

这是一份2023年四川省泸县第四中学二模数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省泸县第四中学二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（    ）
A． B． C． D．
2．据悉，珠海市年为亿元，其中亿元用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，平分，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
5．反比例函数y=，当x>0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是(    )
A．m<3 B．m>3 C．m<－3 D．m>－3
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
B．某种彩票中奖的概率是，则购买张这种彩票一定会中奖
C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是
D．甲．乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
7．如图，为跷跷板的中点，支柱与地面垂直，垂足为点，当跷跷板的一端着地时，跷跷板与地面的夹角，测得．则的长为（    ）

A． B． C． D．
8．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
9．下列命题为假命题的是（    ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形
10．在矩形中，顶点在第一象限且在反比例函数上，与轴交于点，且．与轴负半轴的夹角的正弦值为，连接，，则的值为（　　）

A． B． C． D．
11．已知关于x的方程有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
12．如图在矩形中，E是边的中点，于点F，于G，连接，下列四个结论：①∽；②；③；④其中正确的结论有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

二、填空题
13．已知圆锥的底面半径是20，母线长30，则圆锥的侧面积为 ．
14．因式分解： ．
15．若整数a使关于x的分式方程的解为整数，且使关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
16．已知：在中，，于点，点在直线上，，，，则的面积是 ．

三、解答题
17．计算：．
18．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若，，．求证：．

19．先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值．
20．为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．
组别
分数段
频次
频率
A
60≤x＜70
17
0.17
B
70≤x＜80
30
a
C
80≤x＜90
b
0.45
D
90≤x＜100
8
0.08
请根据所给信息，解答以下问题：
(1)表中a=______，b=______；
(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．

21．为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，连接，，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接，求的面积．

23．如图，当登山缆车的吊箱从点到达点时，其行程为200米，从点到顶点行程为240米，已知缆车行驶路线与水平面的夹角，路线与水平面的夹角，那么缆车从点到点垂直上升的距离是多少米？（结果精确到1米，已知，，，）

24．已知等腰，，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若．

(1)判断与的关系，并说明理由；
(2)若，求的值．
25．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为．

(1)求点C的坐标；
(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．B
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【详解】，
的倒数是
故答案选：B．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．
2．C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：亿．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3．C
【分析】利用完全平方公式，同底数幂的乘除法法则，积的乘方进行计算即可．
【详解】解：A、，所以此选项不正确；
B、，所以此选项不正确；
C、，所以此选项正确；
D、，所以此选项不正确；
故选：C．
【点睛】考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法法则，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．B
【分析】根据平行线的性质可得、，再根据角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分
∴
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质成为解答本题的关键．
5．C
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）的性质可得到m＋3＜0，然后解不等式即可．
【详解】∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴m＋3＜0，
∴m＜−3．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）的性质：反比例函数图象为双曲线，当k＞0，图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小；当k＜0，图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大．
6．D
【分析】根据抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义进行判断即可．
【详解】解：为确保载人航天器的每个零件合格，应采取全面调查，不能用抽查，因此选项A不符合题意；
B．某种彩票中奖的概率是，买张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；
C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是袋洗衣粉的质量，样本容量为，因此选项C不符合题意；
D．由于平均数相同，方差小的比较稳定，因此乙的射击成绩较稳定，所以选项D符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量，理解抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义是正确判断的前提．
7．B
【分析】根据题意得出，在中，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：∵为跷跷板的中点，支柱与地面垂直，，
∴，
在中，∵，
∴
∴,
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
8．C
【分析】连接 根据圆周角定理求出，，进而即可求解．
【详解】解：连接如图所示：

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是掌握：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等．
9．C
【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意．
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意．
C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题意．
D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型．
10．B
【分析】过点作轴于点，由题意可知，由，可知，设，则，利用三角函数求得，利用，求得的值，在中利用三角函数求得和的长，从而求得点的坐标，即可求得的值．
【详解】过点作轴于点，

四边形是矩形，
，
，
轴，
，轴，
，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
，
，
，
，
，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角函数，反比例函数k的几何意义等知识的综合运用，求出点C的坐标，是解决本题的关键．
11．D
【分析】分，三种情况讨论，前两种情况不合题意，第三种情况原方程化为，整理得①或②．因为②的判别式为，方程②必有两个不同实根．而原方程只有两个不同实根，故方程①无实根，所以它的判别式，得到．
【详解】解：当时，原方程无解，不合题意；
当时，则，
解得，方程只有1个实数根，不符合题意；
当时，原方程化为，
整理得①或②．
∵②的判别式，且当时，方程②不成立，
∴方程②必有两个不同实根．
∵原方程只有两个不同实根，当时，方程①不成立，
∴方程①无实根，
∴它的判别式，
解得．
故选D．
【点睛】本题主要考查了绝对值，分式方程，一元二次方程根的判别式，解决问题的关键是熟练运用绝对值的非负性，解分式方程，由根的情况写出根判别式的取值范围．
12．D
【分析】根据矩形的性质得到，，，利用，可判断∽，则可对①进行判断；通过证明，则利用平行线分线段成比例得到，则可对②进行判断；利用∽得到，所以，于是得到垂直平分，则可对③进行判断；设的面积为S，利用三角形面积公式得到，，然后利用∽得到，所以，则，于是可对④进行判断．
【详解】解：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
∽，所以①正确；
，，
，
，
而是边的中点，
，
，所以②正确；
，，
，
∽，
，
，
，
垂直平分，
，所以③正确；
设的面积为S，则，
，
∽，
，
，
即，
，
，所以④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．运用相似三角形的性质可证明线段之间的关系，也可进行几何计算．也考查了矩形的性质和线段垂直平分线的判定与性质．
13．600π
【分析】直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】依题意知母线长=30，底面半径r=20，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×20×30=600π．
故答案为600π．
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
14．
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．
【详解】解：
【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．
15．2
【分析】先求出分式方程的解可得，再由分式方程的解为整数，可得a取5，3，，然后解出不等式的解集，根据整数a使关于x的一元一次不等式组有解，可得，可求出所有满足条件的整数a的值，即可求解．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解为整数，
∴a取5，3，1，，
∵，
∴，即，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵整数a使关于x的一元一次不等式组有解，
∴，
即，
∴符合条件的a的值为3，，
∴所有满足条件的整数a的值之和为．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了含字母系数的分式方程和含字母系数的一元一次不等式组等，解决问题的关键是熟练掌握分式方程的解的概念，解分式方程，一元一次不等式组有解的情形，解一元一次不等式组， 确定分式方程的解时，注意分式方程不产生增根的情形．
16．16或
【分析】分点E在直线上和延长线上两种情况，分别画出图形，分别根据等腰三角形的性质、勾股定理、平行线等分线段定理、三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图1：连接交于G

∵等腰，，于点
∴是底边的中线
∵
∴点G为△ABC的重心
∵，，
∴
在中，由勾股定理可得：，则
∴．
如图2：作于G，

∴
∴
∵
∴
设,则
在中，由勾股定理可得：
∴，即
∴．
故答案为16或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、平行线等分线段定理等知识点，
正确求得的长是解答本题的关键．
17．1
【分析】先化简各式，再进行加减运算．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂，二次根式的运算法则，是解题的关键．
18．见解析
【分析】根据，可得，可证明
【详解】，
，即，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．原式，当时，原式
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可．
【详解】解：原式

，
根据分式有意义的条件，可有，
∴，
∴当时，
原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（1）0.3 ，45；（2）108°；（3）．
【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；
（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；
（3）画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；
【详解】（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a==0.3，b=100×0.45=45（人）．
故答案为0.3，45；
（2）360°×0.3=108°．
答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°．
（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得：

∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，
∴甲、乙两名同学都被选中的概率为=．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（1）“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）最多能购买“科普类”图书33本．
【分析】（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，根据数量＝总价÷单价，结合购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设能购买“科普类”图书m本，根据总价＝单价×数量，列出不等式，即可求解．
【详解】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，
依题意，得： ，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝18．
答：“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；
（2）设能购买“科普类”图书m本，
根据题意得：18m+15(100-m)≤1600，
解得：，
∵m为整数，
∴最多能购买“科普类”图书33本．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及不等式的应用，找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
22．（1）；（2）．
【分析】（1）过点作轴于点，设反比例函数解析式为．通过解直角三角形求出线段、的长度，即求出点的坐标，再由点的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由点在反比例函数图象上可求出点的坐标，设直线的解析式为，由点、的坐标利用待定系数法求出直线的解析式，令该解析式中即可求出点的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：（1）过点作轴于点，如图所示．

设反比例函数解析式为．
轴，
．
在中，，，，
，，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，解得：．
反比例函数解析式为．
（2）点在反比例函数的图象上，
，解得：，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将点、点代入中得：
，解得：，
一次函数解析式为．
令一次函数中，则，
解得：，即点的坐标为．
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点的坐标；（2）求出直线的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
考点：（1）反比例函数的性质；（2）一次函数的性质
23．缆车从点到点垂直上升的距离是217米．
【分析】已知AB、BD的长度，在Rt△ABC和Rt△BFD中用α、β的正切函数求出BC、DF的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，△BDF是直角三角形，
在Rt△ABC中，斜边AB＝200米，∠α＝16°，
∴BC＝AB•sinα＝200×sin16°≈200×0.28＝56（m），
在Rt△BDF中，斜边BD＝240米，∠β＝42°，
∴DF＝BD•sinβ＝240×sin42°≈240×0.67≈161，
因此缆车垂直上升的距离应该是BC＋DF＝56＋161＝217（米），
答：缆车从点到点垂直上升的距离是217米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形理解题意是解决问题的关键．
24．(1)与相切，理由见解析
(2)

【分析】（1）如图所示，连接，先由三角形内角和定理和对顶角相等证明，再根据等边对等角证明，即可得到结论；
（2）如图所示，连接交于H，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，再证明四点共圆，得到，进而证明，则由角平分线的性质得到，再证明，推出，则，即可求出，利用勾股定理求出，再由，是的直径，得到，，则；证明，即可得到．
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴与相切；

（2）解：如图所示，连接交于H，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是的直径，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
25．(1)
(2)点P到直线距离为，此时
(3)点M的坐标为或或

【分析】（1）将点A的坐标代入求出c的值，即可求出点C的坐标；
（2）过点P作轴于点D，交于点F，过点P作于点E，通过证明得出，则，求出直线的函数表达式，设点，则，将表示出来，即可求解；
（3）根据题意进行分类讨论，①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时，根据中点坐标公式，即可求解．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：，
把代入得：，
∴点C的坐标为；
（2）解：过点P作轴于点D，交于点F，过点P作于点E，
∵，，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
设直线的函数表达式为：，
将点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为：，
设点，则，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴．
把代入得：，
∴，
综上：点P到直线距离为，此时；

（3）解：由（1）可得，抛物线的表达式为：，
∴该抛物线是对称轴为直线，
∵点N再抛物线对称轴上，点M在抛物线上，
∴设点，，
①当为平行四边形的对角线时，
∵，，
∴中点为，
∵，，
∴，解得：，
∴，
∴；

②当为平行四边形的对角线时，
∵，，
∴中点为，
∵，，
∴，解得：，
∴，
∴

③当为平行四边形的对角线时，
∵，，
∴中点为，
∵，，
∴，解得：，
∴，
∴

综上：点M的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质，平行四边形的性质．