2023年江苏省常州市溧阳市一模数学试题（含解析）

这是一份2023年江苏省常州市溧阳市一模数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省常州市溧阳市一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列实数中，无理数是（    ）
A． B． C． D．2
2．下列运算结果为的是（    ）
A． B． C． D．
3．下列几何体的侧面展开图不是长方形是（    ）
A．圆柱 B．正方体 C．四棱锥 D．五棱柱
4．若，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
5．某校男子篮球队的年龄分布如表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是（    ）
年龄
13
14
15
16
17
人数
1
5
7
8
3
A．7，15 B．8，16 C．16，15 D．16，16
6．如图，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
7．如图，AB是的直径，C，D是上的两点，若，则的度数是（    ）

A．36° B．40° C．46° D．65°
8．九年级体能测试中，小苏和小林参加米折返跑，在如图①所示的跑道上进行．在整个测试过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如图②所示．下列叙述正确的是（    ）

A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B．小林跑全程的平均速度大于小苏跑全程的平均速度
C．小林前跑过的路程大于小苏前跑过的路程 D．小苏在跑最后的过程中，与小林相遇2次

二、填空题
9．计算： ．
10．原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1 700 000年误差不超过1秒．数据1 700 000用科学记数法表示 ．
11．分解因式： ．
12．函数中自变量x的取值范围是 ．
13．若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数是 ．
14．若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为 ．
15．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
16．如图，在网格内，则 ．
  
17．如图，在矩形中，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，若时，则 ．

18．如图，正方形中，点E是的中点，连接，与以为直径的半圆交于点F，连接并延长交于点P，则的值 ．
  

三、解答题
19．计算：．
20．解方程和不等式组：
(1)
(2)
21．已知：如图1，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接、．

(1)求证：；
(2)如图2，过点D作，交AB边于点，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由．
22．“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2018年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某校数学学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．

(1)图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是__________度；
(2)据统计，平均我市每天生活垃圾清运总量大约为吨，
①生活垃圾中厨余垃圾可再利用制造有机肥，其再利用率最高可达到，请问每天最多可制造出大约多少吨有机肥？
②生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为元，请估计每年（按365天算）可回收物所创造的经济总价值是多少万元？
23．在3张相同的小纸条上，分别写上线段的长度：①；②；③．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中，
(1)搅匀后从中任意抽取一支签，抽中②签的概率是__________；
(2)搅匀后从中任意抽取两支签，求这两支签的线段能与长为的线段组成一个三角形的概率．
24．每年的4月23日为“世界读书日”．为了迎接第28个世界读书日，我市图书馆决定购买甲、乙两种品牌的平板电脑若干组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别为2400元和3600元．
(1)（用二元一次方程组解答本小问）若购买甲、乙两种品牌的平板电脑共50台，恰好支出144000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？
(2)若购买甲、乙两种品牌的平板电脑共50台，每种品牌至少购买一台，且支出不超过124000元，共有几种购买方案？并说明哪种方案最省钱．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数交于点C，且，轴交反比例函数于点D．

(1)则__________， _________；
(2)若点E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作，交反比例函数于点F．若，求m的值．
26．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“相等点”．例如……都是“相等点”．
(1)函数图象上的“相等点”坐标是__________；
(2)已知的圆心在直线上且半径为5，若该圆上有且仅有一个“相等点”，请求出圆心P的坐标；
(3)若抛物线上有且仅有一个“相等点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时，在抛物线上是否存在点Q，使得，如果存在，请求出点Q坐标（用含a或c的代数式表示）：如果不存在，请说明理由．
27．如图1，将矩形放在平面直角坐标系中，点O是原点，点A坐标为，点B坐标为，点P是x轴正半轴上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形．

(1)当点Q落在对角线上时， __________；
(2)当直线经过点C时，求所在的直线函数表达式；
(3)如图2，点M是的中点，连接、．
①的最小值为__________；
②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
28．已知抛物线与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B．当时，抛物线最高点的纵坐标值为4，当时，抛物线最高点的纵坐标值为3．
(1)求a、b的关系式（用含b的代数式表示a）；
(2)若，求该抛物线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，连接，M为抛物线对称轴上一点，过点M作直线，交抛物线于C、D两点，若线段满足，求M点纵坐标的取值范围．

参考答案：
1．B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A．是整数，属于有理数，不符合题意；
B．是无理数，符合题意；
C．是分数，是有理数，不符合题意；
D．2是整数，属于有理数，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像（两个1之间依次多一个0）等有这样规律的数．
2．C
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算，进而得出答案．
【详解】解：A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．C
【分析】根据棱锥的侧面展开图不是长方形得出结论即可．
【详解】解：由题意知，四棱锥的侧面展开图不是长方形，
故选：C．
【点睛】本题主要考查简单几何体的展开图，熟练掌握简单几何体的展开图是解题的关键．
4．B
【分析】利用不等式的性质进行判断即可．
【详解】解：A．，选项说法不一定成立．如：令，，虽符合条件，但代入不等式中，不等式不成立，故不符合题意；
B．，选项说法一定成立．根据不等式性质1，不等式两边同时加1，不等号方向不改变，故符合题意；
C．，选项说法错误．根据不等式性质3，不等式两边同时乘以，不等号方向要改变，故不符合题意；
D．，选项说法不一定成立．如：令，，虽符合条件，但代入不等式中，不等式不成立，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质．不等式的性质有3条：1、不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含字母的式子，不等号的方向不变；2、不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3、不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．C
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数就是把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）进行解答即可求出答案．
【详解】解：根据数据可知：16出现的次数最多，因而众数是16；
一共是个，
把这些数从小到大排列，处在第12位和第13位的数都是15，
因此中位数是15．
故选：C．
【点睛】此题考查众数、中位数的意义及求法，一组数据出现次数最多的数就是众数，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
6．D
【分析】由，，根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数，又由邻补角的定义，即可求得的度数．
【详解】解：，，
，
，
．
故选：D．

【点睛】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等．
7．A
【分析】连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠C=∠A，然后利用余角的性质计算出∠A，从而得到∠C的度数．
【详解】解：如图，连接AD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=90°−∠ABD=90°−54°=36°，
∴∠C=∠A=36°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．D
【分析】根据函数图象可得，两人同时出发，小苏先到达终点，小林后到达终点，以此判断A选项；两人跑过的路程相同，而小苏所用时间比小林短，根据“速度路程时间”即可判断B选项；根据图象即可判断C选项；由虚线与实线的交点个数得到小苏与小林相遇的次数，以此判断D选项．
【详解】解：根据函数图象可得，两人同时出发，小苏先到达终点，小林后到达终点，故A选项错误，不符合题意；
两人跑过的路程相同，而小苏所用时间比小林短，由“速度路程时间”可得小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度，故B选项错误，不符合题意；
根据函数图象可得，小林前跑过的路程小于小苏前跑过的路程，故C选项错误，不符合题意；
小苏在跑最后的过程中，由函数图象可知，虚线与实线的交点个数为2，所以小苏与小林相遇2次，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的图象，解题关键是根据函数的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需条件，结合实际意义得出正确的结论．
9．
【分析】根据二次根式的乘法计算法则即可求解．
【详解】解：=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
10．
【分析】根据科学记数法的表示即可得出答案．
【详解】根据科学记数法的知识可得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查科学记数法的表示，熟记科学记数法的定义是解题关键．
11．
【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．且
【分析】根据开方数的非负性、分式的分母不能为0列出式子求解即可．
【详解】由开方数的非负性、分式的分母不能为0得
解得
故答案为：且．
【点睛】本题考查了开方数的非负性、分式的分母不能为0，掌握理解分式有意义的条件是解题关键．
13．
【分析】首先根据题意，求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【详解】正多边形的一个内角是，
它的一个外角是：，
多边形的外角和为，
这个正多边形的边数是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角，解题的关键是求出正多边形的外角度数．
14．
【分析】根据弧长公式求解．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式．
15．y2＞y1＞y3
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m的开口向下，对称轴是直线，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，
∵（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，
∴点（1，y3）关于对称轴x＝﹣2的对称点是（﹣5，y3），
∵﹣5＜﹣3＜﹣2，
∴y2＞y1＞y3．
故答案为：y2＞y1＞y3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
16．/
【分析】延长到格点E，使，连接，取的中点F，且点F在格点上，连接，证明，根据，得出，证明，得出，求出，即可得出．
【详解】解：延长到格点E，使，连接，取的中点F，且点F在格点上，连接，如图所示：
  
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键．
17．3
【分析】连接，利用同底面积比等于高之比，得到点为中点，再利用反比例函数的关系式的求法计算即可．
【详解】解：连接，
由题得，三角形的面积为，
，
点为中点，
，，
，，
．
故答案为：3．

【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，三角形面积的同底问题的应用是解题关键．
18．
【分析】连接，设正方形的边长是，可以证明，得到，因此，即可求出，得到的长，由，得到，因此，得到，即可求出．
【详解】解：连接，设正方形的边长是，
  
∵是半圆的直径，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵E是中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；运用相似三角形确定线段间的数量关系是解题的关键．
19．
【分析】利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，涉及负指数幂，二次根式的性质，三角函数值，绝对值，正确化简各数是解题关键．
20．(1)
(2)

【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
（2），
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
21．(1)见解析
(2)平行四边形，理由见解析

【分析】（1）根据正方形的性质和证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）证明得到，再根据得到，继而根据平行四边形的判定定理证明即可．
【详解】（1）解：证明：四边形是正方形，
，，
，
在与中，
，
，
；
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
22．(1)
(2)①吨；②万元

【分析】（1）用乘其他垃圾所占比例即可；
（2）①用我市每天生活垃圾清运总量乘以样本中厨余垃圾所占比例，然后再乘以即可；②用我市每天生活垃圾清运总量乘以样本中可回收物所占比例，可得每天可回收物的质量，然后再乘以，最后乘以每吨可创造经济总价值，计算即可．
【详解】（1）解：图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
（2）解：①（吨），
答：每天最多可制造出大约180吨有机肥；
②（万元），
答：估计每年（按365天算）可回收物所创造的经济总价值是万元．
【点睛】本题考查扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．(1)
(2)

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）先列举所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：搅匀后从中任意抽取一支签，抽中②签的概率是，
故答案为：；
（2）搅匀后从中任意抽取两支签，所有等可能结果如下：
，，，
其中这两支签的线段能与长为的线段组成一个三角形的有，这2种情况，
所以这两支签的线段能与长为的线段组成一个三角形的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
24．(1)甲种品牌的电脑购买了30台，乙种品牌的电脑购买了20台
(2)一种；甲种品牌的电脑购买49台，乙种品牌的电脑购买1台最省钱

【分析】（1）设甲种品牌的电脑购买了x台，乙种品牌的电脑购买了y台，根据题意建立二元一次方程组，求出其解即可．
（2）设甲种品牌的电脑购买了x台，乙种品牌的电脑购买了台，根据题意建立不等式组求出其解即可．
【详解】（1）设甲种品牌的电脑购买了x台，乙种品牌的电脑购买了y台，
，
解得，
答：甲种品牌的电脑购买了30台，乙种品牌的电脑购买了20台．
（2）设甲种品牌的电脑购买了x台，乙种品牌的电脑购买了台，
，
解得，
∴x的整数值为49、50、51、52、53
当时，；
当时，；
∴一共有一种方案：甲种品牌的电脑购买49台，乙种品牌的电脑购买了1台.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．
25．(1)3，18
(2)1或

【分析】（1）将点代入一次函数求出的值，然后根据求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（2）将点横坐标代入，求出纵坐标，根据即可知道的纵坐标，代入反比例函数的解析式，求出的横坐标，即可表示出的长度，同理将点纵坐标代入反比例函数求出点横坐标，从而表示出的长，根据列方程即可求解的值．
【详解】（1）解：作轴于，如图所示：

轴
∴，，
，
直线经过点，
，
解得，
直线解析式为：，
，
，
，，
点坐标为，
将点坐标代入，
得．
故答案为：3，18；
（2）轴，
点的纵坐标为3，代入，
得，
点坐标为，
将点横坐标代入，
得，
，
点纵坐标为，
代入，
得，
点坐标为，，
，
，
当时，
解方程得或，
当时，
解方程得，
点为射线上一点，
或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的关键．
26．(1)和
(2)或
(3)存在，

【分析】（1）令，即可求解；
（2）若该圆上有且仅有一个“相等点”，则圆和直线相切，进而求解；
（3）确定，得到直线和轴的夹角为，即可求解．
【详解】（1）解：令，
解得：，
则“相等点”坐标是：和，
故答案为：和；
（2）若该圆上有且仅有一个“相等点”，则圆和直线相切，设切点为，

过点作轴交直线于点，
设点，则点，
由直线知，，
则，
即，
解得：，
当时，，
当时，，
则点或；
（3）存在，理由：如图，过点作轴于，

由题意可知，与有且只有交点，
则，
整理得：，则该方程有两个相同的实数根，
即，
，
，
，
；
由根与系数的关系可知，，
则，
又两个根相等，
，
点的坐标为，，
，
则可以写成①，
令，
则，
解得：或，
则点的坐标为，，
，
，
，
，
即直线和轴的夹角为，点，，
则直线的表达式为：②，
联立①②并解得：，
即点（不合题意的值已舍去）．
【点睛】本题为二次函数综合题，本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及圆的基本知识，分类讨论，数形结合是解题的关键．
27．(1)
(2)
(3)①；②或

【分析】（1）通过点在上，证明，即可求得结果；
（2）通过直角中，得到的长度，然后通过，可以在中，得到对应的值然后求出结果；
（3）①通过，可得出点的运动轨迹，是以点为圆心，4为半径长度的圆弧，从而可知，的连线上的点为最短的长度；②通过分类讨论，，，来求得对应的的坐标．
【详解】（1）解：如图1，由折叠性质可知：，

，
又∵，
，
又，
，
，即，
，
故答案为：；
（2）如图，

，
，
，

，
设，则，，
，
，
解得：，
点的坐标为，
将和代入中，
，
解得：，
所在直线的表达式为：；
（3）如图，

①，
点的运动轨迹，是以为圆心，4为半径的圆弧，
的最小值在的连线上，如图，即为所求，
是中点，，
，
，
故答案为：；
②如图，

设，，
，
当时，
，
，
，
，，
当时，如图，点在上，

则，
，，，
，
，
，
，
，
，
当时，不符合题意，
故点坐标为，或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及应用，通过一次函数坐标图象的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质和勾股定理，来求得对应的解．
28．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）由题意得：，，整理即可求解；
（2）由待定系数法即可求解；
（3）由，得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线最高点的纵坐标值为4，
∴，
∵当时，抛物线最高点的纵坐标值为3，
即抛物线与y轴交点的纵坐标为3，
∴，
整理得：；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：，
，
则点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：或（舍去），
故抛物线的表达式为：①；
（3）由点、的坐标知，直线和轴负半轴的夹角为，
，则直线和轴负半轴的夹角为，

设点，
则直线的表达式为：②，
联立①②并整理得：，
设点、的横坐标分别为：，，
则，，
则，
，则，
即，
解得：，
即点纵坐标的取值范围为：．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是设点的坐标，表示出有关线段的长．