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辽宁省丹东市东港市2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份辽宁省丹东市东港市2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省丹东市东港市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2分）如图是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）若m＜n，下列不等式一定成立的是（ ）
A．m﹣1＞n﹣1 B． C．n﹣m＜0 D．2﹣3m＞2﹣3n
3．（2分）当x＝1时，对于分式的说法正确的是（ ）
A．分式的值为0 B．分式的值为
C．分式无意义 D．分式有意义
4．（2分）不等式组的解集为﹣3＜x＜1，则a+b的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2
5．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，BD＝8，若△OCD的周长为12（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，3），得到线段BC，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（6，3） B．（5，3） C．（5，5） D．（6，5）
7．（2分）如图，直线y＝﹣3x与直线y＝kx+b相交于点A（a，3），直线y＝kx+b过点（3，0）（ ）
A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≤3 D．x≥3
8．（2分）如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB，AB＝17，AD＝9（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
9．（2分）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2＝3a2+3b2+3c2，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是边AB的中点，点D，E，BC上，且DO⊥EO．则下列结论中：
①图中有两对全等的三角形；
②CD+CE＝OB；
③若四边形CDOE的面积为2，则△ABC的面积为4；
④AD2+BE2＝DE2；
正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）分解因式：3x2y﹣3y＝ ．
12．（2分）如果关于x的方程有增根，那么a的值是 ．
13．（2分）如果一个多边形的每个外角都等于相邻的内角的，则这个多边形的边数是 ．
14．（2分）9x2﹣mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为 ．
15．（2分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若△DAB的面积为6cm2，△ADC的面积为2cm2，则△BDC的面积为 cm2．
16．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠ADC＝60°，AB＝，连接OE，若OE＝1
17．（2分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，CD＝3，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，则AF的长为 ．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0）（4，0），点C在y的正半轴上，且OB＝2OC，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为 ．
三、计算题（第19题每小题10分，第20题5分，共15分）
19．（10分）（1）解不等式组：；
（2）分解因式：x4﹣8x2y2+16y4．
20．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣．
四、（第21题6分，第22题7分，共13分）
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣2，4），C（﹣1，2）．
（1）若将△ABC经过一次平移后得到对应图形△A1B1C1，点A1的坐标为（1，2），请画出平移后的△A1B1C1，并直接写出△ABC上的点P（a，b）的对应点P1的坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）直接写出（1）中△ABC经过一次平移得到△A1B1C1的平移距离；
（3）在平面直角坐标系中画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2．
22．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
五、解答题：（第23题8分，第24题8分，共16分）
23．（8分）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000米，甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800米，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍
24．（8分）某超市需购进一批圆珠笔，现有甲、乙两个批发商有相同品牌的圆珠笔可供选择，甲批发商每支圆珠笔都是1.8元，到两个批发商购买所需费用分别为y甲元、y乙元．
购买圆珠笔数量
销售单价
不超过1000支时
2元/支
超过1000支部分
1.6元/支
（1）如果要购买800支圆珠笔，若全部都在甲批发商处购买，所需费用为 元；
若全部都在乙批发商处购买，所需费用为 元；
（2）当x＞1000时，请分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
（3）求该超市购买圆珠笔超过1000支时，选择哪一个批发商购买更合算．
六、（第25题8分）
25．（8分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
七、（第26题12分）
26．（12分）如图，正方形ABCO的边OA，OC都在坐标轴上（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED的延长线交线段BC于点P，连接AP
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；
（3）当∠1＝∠2时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，G，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由．
2022-2023学年辽宁省丹东市东港市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2分）如图是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）若m＜n，下列不等式一定成立的是（ ）
A．m﹣1＞n﹣1 B． C．n﹣m＜0 D．2﹣3m＞2﹣3n
【分析】根据m＜n，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵m＜n，
∴m﹣1＜n﹣1，
∴选项A不符合题意；
∵m＜n，
∴﹣m＞﹣n，
∴选项B不符合题意；
∵m＜n，
∴n﹣m＞0，
∴选项C不符合题意；
∵m＜n，
∴﹣3m＞﹣2n，
∴2﹣3m＞4﹣3n，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（2分）当x＝1时，对于分式的说法正确的是（ ）
A．分式的值为0 B．分式的值为
C．分式无意义 D．分式有意义
【分析】依据题意，当x＝1时，分式的分母（x﹣1）（2x+3）＝0，根据分式有意义的条件即可解答．
【解答】解：由题意，当x＝1时，
∴分式无意义．
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式的值，分式有意义的条件，分式的值为零的条件，属于基础题，比较简单．
4．（2分）不等式组的解集为﹣3＜x＜1，则a+b的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集为﹣3＜x＜1得出3+2b＝﹣3且＝1，求出a、b的值，再求出a+b的值即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜，
解不等式②，得x＞3+2b，
所以不等式组的解集为8+2b＜x，
∵不等式组的解集为﹣3＜x＜5，
∴3+2b＝﹣8且＝6，
解得：b＝﹣3，a＝1，
∴a+b＝5+（﹣3）＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和求代数式的值，能求出a、b的值是解此题的关键．
5．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，BD＝8，若△OCD的周长为12（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【分析】由平行四边形的性质可求OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，可求CD＝5，由勾股定理逆定理可求∠COD＝90°，由菱形的性质可求AB＝BC＝CD＝AD＝5，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝7，
∵△OCD的周长为12，
∴OC+OD+CD＝12，
∴CD＝5，
∵OC2+OD3＝25，CD2＝25，
∴OC2+OD8＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∴▱ABCD的周长为20．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理的逆定理，掌握菱形的判定是解题的关键．
6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，3），得到线段BC，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（6，3） B．（5，3） C．（5，5） D．（6，5）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
【解答】解：将线段OA向右平移5个单位长度，得到线段BC，3），8）．
故选：A．
【点评】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
7．（2分）如图，直线y＝﹣3x与直线y＝kx+b相交于点A（a，3），直线y＝kx+b过点（3，0）（ ）
A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≤3 D．x≥3
【分析】首先利用函数解析式y＝﹣3x求出a的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就可求关于x的不等式﹣3x≤kx+b的解集．
【解答】解：∵直线y＝﹣3x与y＝kx+b相交于点P（a，3），
∴7＝﹣3a，
∴a＝﹣1，
∴A（﹣6，3），
∴关于x的不等式﹣3x≤kx+b的解集是x≥﹣5，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求得两函数图象的交点坐标．
8．（2分）如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB，AB＝17，AD＝9（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【分析】由“HL”可证Rt△DFC≌Rt△BEC，Rt△AFC≌Rt△AEC，可得BE＝DF，AF＝AE，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥AD，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，
∴CF＝CE，∠DFC＝∠BEC＝90°，
在Rt△DFC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△DFC≌Rt△BEC（HL），
∴BE＝DF，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF＝AE，
∵AB＝17，AD＝9，
∴AB+AD＝AE+BE+AF﹣DF＝2AE，
∴AE＝13，
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的性质和判定、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质和角平分线的性质解答．
9．（2分）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2＝3a2+3b2+3c2，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】依据题意，将（a+b+c）2＝3a2+3b2+3c2变形得2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，然后移项得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，从而a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，即可得解．
【解答】解：由题意，（a+b+c）2＝3a5+3b2+5c2，
∴2a4+2b2+4c2＝2ab+8ac+2bc．
∴2a3+2b2+3c2﹣2ab﹣6ac﹣2bc＝0．
∴（a﹣b）4+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝3．
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0．
∴a＝b＝c．
∴△ABC为等边三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了因式分解的意义，解题时要能熟练掌握并灵活运用．
10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是边AB的中点，点D，E，BC上，且DO⊥EO．则下列结论中：
①图中有两对全等的三角形；
②CD+CE＝OB；
③若四边形CDOE的面积为2，则△ABC的面积为4；
④AD2+BE2＝DE2；
正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据三角形全等的判定可证△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE，可判断①选项；根据△AOD≌△COE，可知AD＝CE，根据勾股定理即可判断②选项；根据△AOD≌△COE，可知四边形CDOE面积＝△AOC的面积，可判断③选项；根据△AOD≌△COE，△COD≌△BOE，可知AD＝CE，BE＝CD，再根据勾股定理即可判断④选项．
【解答】解：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△COD≌△BOE
在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，
∵O是斜边AB的中点，
∴OA＝OB＝OC，OC⊥AB，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∵OC⊥AB，∠DOE＝90°，
∴∠AOD＝∠COE，
在△AOD与△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA），
同理可证：△COD≌△BOE（ASA），
故①选项不符合题意；
∵△AOD≌△COE（ASA），
∴AD＝CE，
∴CD+CE＝AC，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴AC＝OA，
∴CD+CE＝OA＝，
故②选项符合题意；
∵△AOD≌△COE（ASA），
∴△AOD的面积＝△COE的面积，
∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积，
∵O是斜边AB的中点，
∵△ABC的面积＝△AOC的面积的2倍，
∴△ABC的面积是四边形CDOE面积的8倍，
故③选项符合题意；
∵△AOD≌△COE（ASA），△COD≌△BOE（ASA），
∴AD＝CE，BE＝CD，
又∵∠ACB＝90°，
∴CD2+CE2＝DE5，
∴AD2+BE2＝DE6，
故④选项符合题意；
综上，正确的有②③④，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形性质、勾股定理等，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）分解因式：3x2y﹣3y＝ 3y（x+1）（x﹣1） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：3x2y﹣4y
＝3y（x2﹣7）
＝3y（x+1）（x﹣6），
故答案为：3y（x+1）（x﹣3）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12．（2分）如果关于x的方程有增根，那么a的值是 1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x＝2，将x＝2代入整式方程计算即可求出a的值．
【解答】解：分式方程去分母得：a+3（x﹣2）＝x﹣8，
根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，
将x＝6代入得：a＝2﹣1＝4，
故答案为：1
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．（2分）如果一个多边形的每个外角都等于相邻的内角的，则这个多边形的边数是 12 ．
【分析】根据每个外角都等于相邻内角的，并且外角与相邻的内角互补，就可求出外角的度数；根据外角度数就可求得边数．
【解答】解：设外角是x度，则相邻的内角是5x度．
根据题意得：x+5x＝180，
解得x＝30．
则多边形的边数是：360÷30＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化．
14．（2分）9x2﹣mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为 ±24 ．
【分析】这里首末两项是3和4y个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和4y乘积的2倍，故：m＝±24．
【解答】解：∵（3x±4y）2＝9x2±24xy+16y4，
∴在9x2+mxy+16y8中，m＝±24．
故答案为：＝±24．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
15．（2分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若△DAB的面积为6cm2，△ADC的面积为2cm2，则△BDC的面积为 8 cm2．
【分析】延长AD交BC于E，由垂直的定义得到∠BDA＝∠BDE＝90°，由角平分线定义得到∠ABD＝∠EBD，由三角形内角和定理得到∠BAD＝∠BED，推出BA＝BE，由等腰三角形的性质推出AD＝DE，于是得到△BDE的面积＝△DAB的面积＝6cm2，△ADC的面积＝△EDC的面积＝2cm2，即可得到△DBC的面积．
【解答】解：延长AD交BC于E，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝∠BDE＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
∴∠BAD＝∠BED，
∴BA＝BE，
∵BD⊥AE，
∴AD＝DE，
∴△BDE的面积＝△DAB的面积＝6cm2，△ADC的面积＝△EDC的面积＝8cm2，
∴△DBC的面积＝△BDE的面积+△DEC的面积＝8（cm5）．
故答案为：8．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线定义，关键是由等腰三角形的性质推出AD＝DE．
16．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠ADC＝60°，AB＝，连接OE，若OE＝1 4
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAC＝120°，AO＝CO，可证△ABE是等边三角形，可得AB＝BE＝AE，由三角形中位线定理可求AB＝2，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAC＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝60°＝∠ABC，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴BE＝BC，
又∵AO＝CO，
∴AB＝2OE＝2，
∴S△ABE＝AB4＝，
∵BE＝EC，
∴S△ABC＝2，
∴▱ABCD的面积为4，
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17．（2分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，CD＝3，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，则AF的长为 2 ．
【分析】根据勾股定理先求出BC边长，再求出DC长，过点D作DM垂直AC，可证△ADM≌△EAF，即AF＝DM，在等腰直角三角形DMC中可求DM，即可直接求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
根据勾股定理得，AB2+AC2＝BC2，
∴BC＝＝5．
又∵CD＝3，
∴BD＝5﹣3．
过点D作DM⊥AC于点M，
由已知条件得∠DAE＝90°，
∴∠DAB+∠EAF＝90°．
又∵∠DAB+∠ADM＝90°，
∴∠ADM＝∠EAF．
在Rt△ADM和Rt△EAF中，
．
∴△ADM≌△EAF（AAS），
∴AF＝DM．
在等腰Rt△DMC中，由勾股定理得，
DM2+MB3＝BD2，
∵BD＝2，
∴DM＝2，
∴AF＝DM＝2．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，证明△ADM≌△EAF是解答本题的关键．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0）（4，0），点C在y的正半轴上，且OB＝2OC，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为 （3，2）（﹣3，2）（5，﹣2） ．
【分析】需要分类讨论：以AB为边的平行四边形和以AB为对角线的平行四边形．
【解答】解：如图，①当BC为对角线时1（3，6）；
②当AC为对角线时，CM∥AB．所以M2（﹣3，7）；
③当AB为对角线时，AC∥BM．则|My|＝OC＝2，|Mx|＝OB+OA＝5，所以M2（5，﹣2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是M4（3，2），M8（﹣3，2），M2（5，﹣2）．
故答案为：（2，2）（﹣3，﹣5）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质．解题时，注意分类讨论，以防错解或漏解．
三、计算题（第19题每小题10分，第20题5分，共15分）
19．（10分）（1）解不等式组：；
（2）分解因式：x4﹣8x2y2+16y4．
【分析】（1）解两个不等式后即可求得不等式组的解集；
（2）利用平方差公式及完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）第一个不等式去括号得：2x﹣2﹣2x≤3，
移项，合并同类项得：﹣3x≤8，
系数化为1得：x≥﹣，
第二个不等式两边同乘3，去分母得：6x﹣（x+6）＜﹣3，
去括号得：6x﹣x﹣3＜﹣3，
移项，合并同类项得：5x＜﹣5，
系数化为1得：x＜﹣，
故原不等式组的解集为：﹣≤x＜﹣；
（2）原式＝（x2﹣4y2）2
＝[（x+3y）（x﹣2y）]2
＝（x+4y）2（x﹣2y）6．
【点评】本题考查解一元一次不等式组及因式分解，特别注意因式分解时必须彻底．
20．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣．
【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝•
＝3（x+2）﹣（x﹣5）
＝3x+6﹣x+2
＝2x+8，
当x＝﹣时，原式＝2×（﹣．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
四、（第21题6分，第22题7分，共13分）
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣2，4），C（﹣1，2）．
（1）若将△ABC经过一次平移后得到对应图形△A1B1C1，点A1的坐标为（1，2），请画出平移后的△A1B1C1，并直接写出△ABC上的点P（a，b）的对应点P1的坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）直接写出（1）中△ABC经过一次平移得到△A1B1C1的平移距离；
（3）在平面直角坐标系中画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出平移后的△A1B1C1，并写出△ABC上的点P（a，b）的对应点P1的坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）根据平移的性质即可写出（1）中△ABC经过一次平移得到△A1B1C1的平移距离；
（3）根据中心对称的性质即可画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C6即为所求；
∵A（﹣4，3）3的坐标为（1，2），
∴点P（a，b）的对应点P2的坐标为（a+5，b﹣1）；
（2）∵A（﹣4，3）向右平移5个单位4的坐标为（1，2），
∴＝，
∴（1）中△ABC经过一次平移得到△A1B1C4的平移距离为；
（3）如图，△A2B2C3即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．
22．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠AEB，求出∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出AF＝EF，求出△ADF≌△ECF，根据全等三角形的性质得出DF＝CF，再根据平行四边形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和平行线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
五、解答题：（第23题8分，第24题8分，共16分）
23．（8分）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000米，甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800米，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍
【分析】设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，公交车的速度是8x米/分钟，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，
根据题意得+5.5＝+，
解得x＝80．
经检验，x＝80是原分式方程的解．
答：甲步行的速度80米/分．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
24．（8分）某超市需购进一批圆珠笔，现有甲、乙两个批发商有相同品牌的圆珠笔可供选择，甲批发商每支圆珠笔都是1.8元，到两个批发商购买所需费用分别为y甲元、y乙元．
购买圆珠笔数量
销售单价
不超过1000支时
2元/支
超过1000支部分
1.6元/支
（1）如果要购买800支圆珠笔，若全部都在甲批发商处购买，所需费用为 1440 元；
若全部都在乙批发商处购买，所需费用为 1600 元；
（2）当x＞1000时，请分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
（3）求该超市购买圆珠笔超过1000支时，选择哪一个批发商购买更合算．
【分析】（1）根据已知列式计算即可；
（2）由已知列出函数关系即可；
（3）分三种情况列不等式或方程，即可解得答案．
【解答】解：（1）在甲批发商处购买，所需费用为1.8×800＝1440（元）；
在乙批发商处购买，所需费用为5×800＝1600（元）；
故答案为：1440，1600；
（2）当x＞1000时，
y甲＝1.8x，
y乙＝5×1000+1.6（x﹣1000）＝5.6x+400；
（3）若1.7x＜1.6x+400，解得x＜2000，
若8.8x＝1.2x+400，解得x＝2000，
若1.8x＞6.6x+400，解得x＞2000，
∴当x＜2000时，到甲批发商处购买合算，两家费用相同，到乙批发商处购买合算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
六、（第25题8分）
25．（8分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．
七、（第26题12分）
26．（12分）如图，正方形ABCO的边OA，OC都在坐标轴上（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED的延长线交线段BC于点P，连接AP
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；
（3）当∠1＝∠2时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，G，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由．
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理HL可证出Rt△AOG≌Rt△ADG、
（2）同理可证Rt△ABP≌Rt△ADP，根据全等三角形的性质可得出∠1＝∠DAG、∠BAP＝∠DAP，由∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP＝90°，可求出∠PAG＝∠DAG+∠DAP＝45°；
（3）由Rt△AOG≌Rt△ADG可得出∠AGO＝∠AGD，结合等角的余角相等可得出∠AGO＝∠AGD＝∠PGC，由∠AGO+∠AGD+∠PGC＝180°，可得出∠AGO＝∠AGD＝∠PGC＝60°、∠1＝∠2＝30°，再通过解含30度角的直角三角形即可求出点P的坐标；
（4）延长GE交y轴于点M1及延长GP与AB的延长线交于点M2，通过全等三角形的性质及等边三角形的性质可得出点M1及点M2为所求的点，再结合点A、点G的坐标即可求出点M的坐标．
【解答】解：（1）在Rt△AOG和Rt△ADG中，，
∴Rt△AOG≌Rt△ADG（HL），
（2）由（1）可知，
∴∠1＝∠DAG．
同理，可证Rt△ABP≌Rt△ADP，
∴∠BAP＝∠DAP．
∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP＝90°，
∴6∠DAG+2∠DAP＝90°，
∴∠PAG＝∠DAG+∠DAP＝45°．
（3）∵Rt△AOG≌Rt△ADG，
∴∠AGO＝∠AGD．
∵∠1+∠AGO＝90°，∠5+∠PGC＝90°，
∴∠AGO＝∠AGD＝∠PGC．
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC＝180°，
∴∠AGO＝∠AGD＝∠PGC＝60°，
∴∠1＝∠2＝30°．
在Rt△AOG中，AO＝5，AG2＝AO2+OG5，
∴OG＝，
∴CG＝3﹣．
在Rt△PCG中，PG＝2CG＝2（3﹣），
∴PC＝＝3，
∴点P的坐标为（3，3﹣3）．
（4）存在两个M点，如图所示．
①延长GE交y轴于点M1，
∵∠AGO＝∠PGC，∠PGC＝∠M3GO，
∴∠AGO＝∠M1GO．
在△AOG和△M1OG中，，
∴△AOG≌△M1OG（ASA），
∴AG＝M8G，
∴△AGM1为等腰三角形．
∵A（0，3），
∴点M1的坐标为（0，﹣4）；
②延长GP与AB的延长线交于点M2，作GF⊥AB于点F．
∵∠M2AG＝∠AGM8＝60°，
∴△AGM2为等边三角形，
∴GF垂直平分线AM2．
∵A（3，3），6），
∴AF＝M2F＝，
∴点M4的坐标为（2，7）．
综上所述：点M的坐标为（0，﹣3）或（4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、余角、解含30度角的直角三角形、等腰三角形的判定以及等边三角形判定与性质，解题的关键是：（1）通过证全等，找出∠1＝∠DAG、∠BAP＝∠DAP；（2）通过解含30度角的直角三角形求出OG、PC的长度；（3）利用等腰三角形的性质确定点M的位置．
2022-2023学年辽宁省丹东市东港市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2分）如图是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）若m＜n，下列不等式一定成立的是（ ）
A．m﹣1＞n﹣1 B． C．n﹣m＜0 D．2﹣3m＞2﹣3n
3．（2分）当x＝1时，对于分式的说法正确的是（ ）
A．分式的值为0 B．分式的值为
C．分式无意义 D．分式有意义
4．（2分）不等式组的解集为﹣3＜x＜1，则a+b的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2
5．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，BD＝8，若△OCD的周长为12（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，3），得到线段BC，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（6，3） B．（5，3） C．（5，5） D．（6，5）
7．（2分）如图，直线y＝﹣3x与直线y＝kx+b相交于点A（a，3），直线y＝kx+b过点（3，0）（ ）
A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≤3 D．x≥3
8．（2分）如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB，AB＝17，AD＝9（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
9．（2分）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2＝3a2+3b2+3c2，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是边AB的中点，点D，E，BC上，且DO⊥EO．则下列结论中：
①图中有两对全等的三角形；
②CD+CE＝OB；
③若四边形CDOE的面积为2，则△ABC的面积为4；
④AD2+BE2＝DE2；
正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）分解因式：3x2y﹣3y＝ ．
12．（2分）如果关于x的方程有增根，那么a的值是 ．
13．（2分）如果一个多边形的每个外角都等于相邻的内角的，则这个多边形的边数是 ．
14．（2分）9x2﹣mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为 ．
15．（2分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若△DAB的面积为6cm2，△ADC的面积为2cm2，则△BDC的面积为 cm2．
16．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠ADC＝60°，AB＝，连接OE，若OE＝1
17．（2分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，CD＝3，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，则AF的长为 ．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0）（4，0），点C在y的正半轴上，且OB＝2OC，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为 ．
三、计算题（第19题每小题10分，第20题5分，共15分）
19．（10分）（1）解不等式组：；
（2）分解因式：x4﹣8x2y2+16y4．
20．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣．
四、（第21题6分，第22题7分，共13分）
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣2，4），C（﹣1，2）．
（1）若将△ABC经过一次平移后得到对应图形△A1B1C1，点A1的坐标为（1，2），请画出平移后的△A1B1C1，并直接写出△ABC上的点P（a，b）的对应点P1的坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）直接写出（1）中△ABC经过一次平移得到△A1B1C1的平移距离；
（3）在平面直角坐标系中画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2．
22．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
五、解答题：（第23题8分，第24题8分，共16分）
23．（8分）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000米，甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800米，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍
24．（8分）某超市需购进一批圆珠笔，现有甲、乙两个批发商有相同品牌的圆珠笔可供选择，甲批发商每支圆珠笔都是1.8元，到两个批发商购买所需费用分别为y甲元、y乙元．
购买圆珠笔数量
销售单价
不超过1000支时
2元/支
超过1000支部分
1.6元/支
（1）如果要购买800支圆珠笔，若全部都在甲批发商处购买，所需费用为 元；
若全部都在乙批发商处购买，所需费用为 元；
（2）当x＞1000时，请分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
（3）求该超市购买圆珠笔超过1000支时，选择哪一个批发商购买更合算．
六、（第25题8分）
25．（8分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
七、（第26题12分）
26．（12分）如图，正方形ABCO的边OA，OC都在坐标轴上（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED的延长线交线段BC于点P，连接AP
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；
（3）当∠1＝∠2时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，G，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由．
2022-2023学年辽宁省丹东市东港市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2分）如图是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）若m＜n，下列不等式一定成立的是（ ）
A．m﹣1＞n﹣1 B． C．n﹣m＜0 D．2﹣3m＞2﹣3n
【分析】根据m＜n，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵m＜n，
∴m﹣1＜n﹣1，
∴选项A不符合题意；
∵m＜n，
∴﹣m＞﹣n，
∴选项B不符合题意；
∵m＜n，
∴n﹣m＞0，
∴选项C不符合题意；
∵m＜n，
∴﹣3m＞﹣2n，
∴2﹣3m＞4﹣3n，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（2分）当x＝1时，对于分式的说法正确的是（ ）
A．分式的值为0 B．分式的值为
C．分式无意义 D．分式有意义
【分析】依据题意，当x＝1时，分式的分母（x﹣1）（2x+3）＝0，根据分式有意义的条件即可解答．
【解答】解：由题意，当x＝1时，
∴分式无意义．
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式的值，分式有意义的条件，分式的值为零的条件，属于基础题，比较简单．
4．（2分）不等式组的解集为﹣3＜x＜1，则a+b的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集为﹣3＜x＜1得出3+2b＝﹣3且＝1，求出a、b的值，再求出a+b的值即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜，
解不等式②，得x＞3+2b，
所以不等式组的解集为8+2b＜x，
∵不等式组的解集为﹣3＜x＜5，
∴3+2b＝﹣8且＝6，
解得：b＝﹣3，a＝1，
∴a+b＝5+（﹣3）＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和求代数式的值，能求出a、b的值是解此题的关键．
5．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，BD＝8，若△OCD的周长为12（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【分析】由平行四边形的性质可求OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，可求CD＝5，由勾股定理逆定理可求∠COD＝90°，由菱形的性质可求AB＝BC＝CD＝AD＝5，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝7，
∵△OCD的周长为12，
∴OC+OD+CD＝12，
∴CD＝5，
∵OC2+OD3＝25，CD2＝25，
∴OC2+OD8＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∴▱ABCD的周长为20．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理的逆定理，掌握菱形的判定是解题的关键．
6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，3），得到线段BC，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（6，3） B．（5，3） C．（5，5） D．（6，5）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
【解答】解：将线段OA向右平移5个单位长度，得到线段BC，3），8）．
故选：A．
【点评】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
7．（2分）如图，直线y＝﹣3x与直线y＝kx+b相交于点A（a，3），直线y＝kx+b过点（3，0）（ ）
A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≤3 D．x≥3
【分析】首先利用函数解析式y＝﹣3x求出a的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就可求关于x的不等式﹣3x≤kx+b的解集．
【解答】解：∵直线y＝﹣3x与y＝kx+b相交于点P（a，3），
∴7＝﹣3a，
∴a＝﹣1，
∴A（﹣6，3），
∴关于x的不等式﹣3x≤kx+b的解集是x≥﹣5，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求得两函数图象的交点坐标．
8．（2分）如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB，AB＝17，AD＝9（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【分析】由“HL”可证Rt△DFC≌Rt△BEC，Rt△AFC≌Rt△AEC，可得BE＝DF，AF＝AE，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥AD，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，
∴CF＝CE，∠DFC＝∠BEC＝90°，
在Rt△DFC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△DFC≌Rt△BEC（HL），
∴BE＝DF，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF＝AE，
∵AB＝17，AD＝9，
∴AB+AD＝AE+BE+AF﹣DF＝2AE，
∴AE＝13，
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的性质和判定、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质和角平分线的性质解答．
9．（2分）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2＝3a2+3b2+3c2，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】依据题意，将（a+b+c）2＝3a2+3b2+3c2变形得2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，然后移项得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，从而a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，即可得解．
【解答】解：由题意，（a+b+c）2＝3a5+3b2+5c2，
∴2a4+2b2+4c2＝2ab+8ac+2bc．
∴2a3+2b2+3c2﹣2ab﹣6ac﹣2bc＝0．
∴（a﹣b）4+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝3．
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0．
∴a＝b＝c．
∴△ABC为等边三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了因式分解的意义，解题时要能熟练掌握并灵活运用．
10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是边AB的中点，点D，E，BC上，且DO⊥EO．则下列结论中：
①图中有两对全等的三角形；
②CD+CE＝OB；
③若四边形CDOE的面积为2，则△ABC的面积为4；
④AD2+BE2＝DE2；
正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据三角形全等的判定可证△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE，可判断①选项；根据△AOD≌△COE，可知AD＝CE，根据勾股定理即可判断②选项；根据△AOD≌△COE，可知四边形CDOE面积＝△AOC的面积，可判断③选项；根据△AOD≌△COE，△COD≌△BOE，可知AD＝CE，BE＝CD，再根据勾股定理即可判断④选项．
【解答】解：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△COD≌△BOE
在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，
∵O是斜边AB的中点，
∴OA＝OB＝OC，OC⊥AB，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∵OC⊥AB，∠DOE＝90°，
∴∠AOD＝∠COE，
在△AOD与△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA），
同理可证：△COD≌△BOE（ASA），
故①选项不符合题意；
∵△AOD≌△COE（ASA），
∴AD＝CE，
∴CD+CE＝AC，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴AC＝OA，
∴CD+CE＝OA＝，
故②选项符合题意；
∵△AOD≌△COE（ASA），
∴△AOD的面积＝△COE的面积，
∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积，
∵O是斜边AB的中点，
∵△ABC的面积＝△AOC的面积的2倍，
∴△ABC的面积是四边形CDOE面积的8倍，
故③选项符合题意；
∵△AOD≌△COE（ASA），△COD≌△BOE（ASA），
∴AD＝CE，BE＝CD，
又∵∠ACB＝90°，
∴CD2+CE2＝DE5，
∴AD2+BE2＝DE6，
故④选项符合题意；
综上，正确的有②③④，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形性质、勾股定理等，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）分解因式：3x2y﹣3y＝ 3y（x+1）（x﹣1） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：3x2y﹣4y
＝3y（x2﹣7）
＝3y（x+1）（x﹣6），
故答案为：3y（x+1）（x﹣3）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12．（2分）如果关于x的方程有增根，那么a的值是 1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x＝2，将x＝2代入整式方程计算即可求出a的值．
【解答】解：分式方程去分母得：a+3（x﹣2）＝x﹣8，
根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，
将x＝6代入得：a＝2﹣1＝4，
故答案为：1
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．（2分）如果一个多边形的每个外角都等于相邻的内角的，则这个多边形的边数是 12 ．
【分析】根据每个外角都等于相邻内角的，并且外角与相邻的内角互补，就可求出外角的度数；根据外角度数就可求得边数．
【解答】解：设外角是x度，则相邻的内角是5x度．
根据题意得：x+5x＝180，
解得x＝30．
则多边形的边数是：360÷30＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化．
14．（2分）9x2﹣mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为 ±24 ．
【分析】这里首末两项是3和4y个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和4y乘积的2倍，故：m＝±24．
【解答】解：∵（3x±4y）2＝9x2±24xy+16y4，
∴在9x2+mxy+16y8中，m＝±24．
故答案为：＝±24．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
15．（2分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若△DAB的面积为6cm2，△ADC的面积为2cm2，则△BDC的面积为 8 cm2．
【分析】延长AD交BC于E，由垂直的定义得到∠BDA＝∠BDE＝90°，由角平分线定义得到∠ABD＝∠EBD，由三角形内角和定理得到∠BAD＝∠BED，推出BA＝BE，由等腰三角形的性质推出AD＝DE，于是得到△BDE的面积＝△DAB的面积＝6cm2，△ADC的面积＝△EDC的面积＝2cm2，即可得到△DBC的面积．
【解答】解：延长AD交BC于E，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝∠BDE＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
∴∠BAD＝∠BED，
∴BA＝BE，
∵BD⊥AE，
∴AD＝DE，
∴△BDE的面积＝△DAB的面积＝6cm2，△ADC的面积＝△EDC的面积＝8cm2，
∴△DBC的面积＝△BDE的面积+△DEC的面积＝8（cm5）．
故答案为：8．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线定义，关键是由等腰三角形的性质推出AD＝DE．
16．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠ADC＝60°，AB＝，连接OE，若OE＝1 4
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAC＝120°，AO＝CO，可证△ABE是等边三角形，可得AB＝BE＝AE，由三角形中位线定理可求AB＝2，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAC＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝60°＝∠ABC，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴BE＝BC，
又∵AO＝CO，
∴AB＝2OE＝2，
∴S△ABE＝AB4＝，
∵BE＝EC，
∴S△ABC＝2，
∴▱ABCD的面积为4，
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17．（2分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，CD＝3，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，则AF的长为 2 ．
【分析】根据勾股定理先求出BC边长，再求出DC长，过点D作DM垂直AC，可证△ADM≌△EAF，即AF＝DM，在等腰直角三角形DMC中可求DM，即可直接求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
根据勾股定理得，AB2+AC2＝BC2，
∴BC＝＝5．
又∵CD＝3，
∴BD＝5﹣3．
过点D作DM⊥AC于点M，
由已知条件得∠DAE＝90°，
∴∠DAB+∠EAF＝90°．
又∵∠DAB+∠ADM＝90°，
∴∠ADM＝∠EAF．
在Rt△ADM和Rt△EAF中，
．
∴△ADM≌△EAF（AAS），
∴AF＝DM．
在等腰Rt△DMC中，由勾股定理得，
DM2+MB3＝BD2，
∵BD＝2，
∴DM＝2，
∴AF＝DM＝2．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，证明△ADM≌△EAF是解答本题的关键．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0）（4，0），点C在y的正半轴上，且OB＝2OC，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为 （3，2）（﹣3，2）（5，﹣2） ．
【分析】需要分类讨论：以AB为边的平行四边形和以AB为对角线的平行四边形．
【解答】解：如图，①当BC为对角线时1（3，6）；
②当AC为对角线时，CM∥AB．所以M2（﹣3，7）；
③当AB为对角线时，AC∥BM．则|My|＝OC＝2，|Mx|＝OB+OA＝5，所以M2（5，﹣2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是M4（3，2），M8（﹣3，2），M2（5，﹣2）．
故答案为：（2，2）（﹣3，﹣5）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质．解题时，注意分类讨论，以防错解或漏解．
三、计算题（第19题每小题10分，第20题5分，共15分）
19．（10分）（1）解不等式组：；
（2）分解因式：x4﹣8x2y2+16y4．
【分析】（1）解两个不等式后即可求得不等式组的解集；
（2）利用平方差公式及完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）第一个不等式去括号得：2x﹣2﹣2x≤3，
移项，合并同类项得：﹣3x≤8，
系数化为1得：x≥﹣，
第二个不等式两边同乘3，去分母得：6x﹣（x+6）＜﹣3，
去括号得：6x﹣x﹣3＜﹣3，
移项，合并同类项得：5x＜﹣5，
系数化为1得：x＜﹣，
故原不等式组的解集为：﹣≤x＜﹣；
（2）原式＝（x2﹣4y2）2
＝[（x+3y）（x﹣2y）]2
＝（x+4y）2（x﹣2y）6．
【点评】本题考查解一元一次不等式组及因式分解，特别注意因式分解时必须彻底．
20．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣．
【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝•
＝3（x+2）﹣（x﹣5）
＝3x+6﹣x+2
＝2x+8，
当x＝﹣时，原式＝2×（﹣．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
四、（第21题6分，第22题7分，共13分）
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣2，4），C（﹣1，2）．
（1）若将△ABC经过一次平移后得到对应图形△A1B1C1，点A1的坐标为（1，2），请画出平移后的△A1B1C1，并直接写出△ABC上的点P（a，b）的对应点P1的坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）直接写出（1）中△ABC经过一次平移得到△A1B1C1的平移距离；
（3）在平面直角坐标系中画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出平移后的△A1B1C1，并写出△ABC上的点P（a，b）的对应点P1的坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）根据平移的性质即可写出（1）中△ABC经过一次平移得到△A1B1C1的平移距离；
（3）根据中心对称的性质即可画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C6即为所求；
∵A（﹣4，3）3的坐标为（1，2），
∴点P（a，b）的对应点P2的坐标为（a+5，b﹣1）；
（2）∵A（﹣4，3）向右平移5个单位4的坐标为（1，2），
∴＝，
∴（1）中△ABC经过一次平移得到△A1B1C4的平移距离为；
（3）如图，△A2B2C3即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．
22．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠AEB，求出∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出AF＝EF，求出△ADF≌△ECF，根据全等三角形的性质得出DF＝CF，再根据平行四边形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和平行线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
五、解答题：（第23题8分，第24题8分，共16分）
23．（8分）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000米，甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800米，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍
【分析】设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，公交车的速度是8x米/分钟，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，
根据题意得+5.5＝+，
解得x＝80．
经检验，x＝80是原分式方程的解．
答：甲步行的速度80米/分．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
24．（8分）某超市需购进一批圆珠笔，现有甲、乙两个批发商有相同品牌的圆珠笔可供选择，甲批发商每支圆珠笔都是1.8元，到两个批发商购买所需费用分别为y甲元、y乙元．
购买圆珠笔数量
销售单价
不超过1000支时
2元/支
超过1000支部分
1.6元/支
（1）如果要购买800支圆珠笔，若全部都在甲批发商处购买，所需费用为 1440 元；
若全部都在乙批发商处购买，所需费用为 1600 元；
（2）当x＞1000时，请分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
（3）求该超市购买圆珠笔超过1000支时，选择哪一个批发商购买更合算．
【分析】（1）根据已知列式计算即可；
（2）由已知列出函数关系即可；
（3）分三种情况列不等式或方程，即可解得答案．
【解答】解：（1）在甲批发商处购买，所需费用为1.8×800＝1440（元）；
在乙批发商处购买，所需费用为5×800＝1600（元）；
故答案为：1440，1600；
（2）当x＞1000时，
y甲＝1.8x，
y乙＝5×1000+1.6（x﹣1000）＝5.6x+400；
（3）若1.7x＜1.6x+400，解得x＜2000，
若8.8x＝1.2x+400，解得x＝2000，
若1.8x＞6.6x+400，解得x＞2000，
∴当x＜2000时，到甲批发商处购买合算，两家费用相同，到乙批发商处购买合算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
六、（第25题8分）
25．（8分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．
七、（第26题12分）
26．（12分）如图，正方形ABCO的边OA，OC都在坐标轴上（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED的延长线交线段BC于点P，连接AP
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；
（3）当∠1＝∠2时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，G，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由．
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理HL可证出Rt△AOG≌Rt△ADG、
（2）同理可证Rt△ABP≌Rt△ADP，根据全等三角形的性质可得出∠1＝∠DAG、∠BAP＝∠DAP，由∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP＝90°，可求出∠PAG＝∠DAG+∠DAP＝45°；
（3）由Rt△AOG≌Rt△ADG可得出∠AGO＝∠AGD，结合等角的余角相等可得出∠AGO＝∠AGD＝∠PGC，由∠AGO+∠AGD+∠PGC＝180°，可得出∠AGO＝∠AGD＝∠PGC＝60°、∠1＝∠2＝30°，再通过解含30度角的直角三角形即可求出点P的坐标；
（4）延长GE交y轴于点M1及延长GP与AB的延长线交于点M2，通过全等三角形的性质及等边三角形的性质可得出点M1及点M2为所求的点，再结合点A、点G的坐标即可求出点M的坐标．
【解答】解：（1）在Rt△AOG和Rt△ADG中，，
∴Rt△AOG≌Rt△ADG（HL），
（2）由（1）可知，
∴∠1＝∠DAG．
同理，可证Rt△ABP≌Rt△ADP，
∴∠BAP＝∠DAP．
∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP＝90°，
∴6∠DAG+2∠DAP＝90°，
∴∠PAG＝∠DAG+∠DAP＝45°．
（3）∵Rt△AOG≌Rt△ADG，
∴∠AGO＝∠AGD．
∵∠1+∠AGO＝90°，∠5+∠PGC＝90°，
∴∠AGO＝∠AGD＝∠PGC．
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC＝180°，
∴∠AGO＝∠AGD＝∠PGC＝60°，
∴∠1＝∠2＝30°．
在Rt△AOG中，AO＝5，AG2＝AO2+OG5，
∴OG＝，
∴CG＝3﹣．
在Rt△PCG中，PG＝2CG＝2（3﹣），
∴PC＝＝3，
∴点P的坐标为（3，3﹣3）．
（4）存在两个M点，如图所示．
①延长GE交y轴于点M1，
∵∠AGO＝∠PGC，∠PGC＝∠M3GO，
∴∠AGO＝∠M1GO．
在△AOG和△M1OG中，，
∴△AOG≌△M1OG（ASA），
∴AG＝M8G，
∴△AGM1为等腰三角形．
∵A（0，3），
∴点M1的坐标为（0，﹣4）；
②延长GP与AB的延长线交于点M2，作GF⊥AB于点F．
∵∠M2AG＝∠AGM8＝60°，
∴△AGM2为等边三角形，
∴GF垂直平分线AM2．
∵A（3，3），6），
∴AF＝M2F＝，
∴点M4的坐标为（2，7）．
综上所述：点M的坐标为（0，﹣3）或（4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、余角、解含30度角的直角三角形、等腰三角形的判定以及等边三角形判定与性质，解题的关键是：（1）通过证全等，找出∠1＝∠DAG、∠BAP＝∠DAP；（2）通过解含30度角的直角三角形求出OG、PC的长度；（3）利用等腰三角形的性质确定点M的位置．
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