人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数一等奖课件ppt

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人教版数学九年级上册
第二十二章 二次函数
22.3.3 实际问题与二次函数
1.会根据实际问题建立适当的平面直角坐标系.
2.能把实际问题的数据转化为坐标中的点.
3.会用待定系数法求出抛物线的表达式.
4.能利用二次函数的性质分析解决问题.
重点：建立适当的平面直角坐标系．
难点：能利用二次函数的性质分析解决问题．
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
实物模型判断问题
 
解：建立如图所示的直角坐标系，
设这条抛物线表示的二次函数为y=ax².
由抛物线经过点A(2，－2)，可得－2=2²a，
 
 
当水面下降1m时，水面的纵坐标为－3.
 
 
A
(2,－2)
解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的顶点式y=ax²+2 ，
∵B点坐标(2，0) ，
代入抛物线解析式得出：a=－0.5 ，
∴抛物线解析式为y=－0.5x+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察y=－1，
把y=－1代入抛物线解析式得出：－1=－0.5x²+2 ，
 
 
 
实物模型判断问题的基本思路
①建立适当的平面直角系；
②把实际问题中的数据与点的坐标联系起来；
③用待定系数法求出抛物线的表达式；
④利用二次函数的图象及性质去分析解决问题.
②根据已知点所在的位置建立坐标系求函数表达式比较简单.
①所建立的平面直角坐标系能使求出的二次函数的表达式比较简单.
 
 
∴c=5.
 
∵点C(0，5)在抛物线上
 
解: (2)由(1)知，OC=5m，
 
∴地毯的总长度为：AB+2OC=20+2×5=30m，
∴30×1.5×20=900元
答：购买地毯需要900元.
解得x₁ =10，x₂ =－10(舍去)；
为欢迎中外游客来西藏旅游观光，拉萨市旅游局决定对拉贡公路段的噶拉山隧道进行美化施工，已知隧道的横截面为抛物线，其最大高度为7米，底部宽度OE为14米，如图以O点为原点，OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系.(1)写出顶点M的坐标，并求出抛物线的解析式.(2)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OE上，设长OA为x米，“脚手架”三根木杆AD，DC，CB的长度之和为l米，当x为何值时，l最大，最大值是多少?
为欢迎中外游客来西藏旅游观光，拉萨市旅游局决定对拉贡公路段的噶拉山隧道进行美化施工，已知隧道的横截面为抛物线，其最大高度为7米，底部宽度OE为14米，如图以O点为原点，OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系.(1)写出顶点M的坐标，并求出抛物线的解析式.
解：(1) ∵抛物线最大高度7米，底部宽度OE为14米，
∴点M的坐标为(7，7).
设抛物线的解析式为y=a(x－7)² +7，
将(0，0)代入可得：0=49a+7，
 
 
(2)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OE上，设长OA为x米，“脚手架”三根木杆AD，DC，CB的长度之和为l米，当x为何值时，l最大，最大值是多少?
解：(2)由题意得A点坐标为A(x，0)
 
由抛物线和矩形的对称性得，BE=AO=x，
∴AB=DC=14－2x，
故脚手架总长l = AD+DC+CB=2AD+AB
 
 
 
 
例2 如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at²+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高?最大高度是多少?(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门?
二次函数与几何图形
 
解：(1)由题意得：函数y=at²+5t+c的图象经过(0，0.5)、(0.8，3.5)，
 
 
 
 
 
例2 如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at²+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高?最大高度是多少?
∴他能将球直接射入球门.
(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门?
解： (2)把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，
 
 
 
因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.75米.
 
 
 
 
解： (2)这次表演成功.
 
 
因此这次表演成功.
 
 
如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
解：(1)如图，设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为y=a(x－h) ²+k，
∵h=6，k=4，
∴y=a(x－6) ²+4，
由已知：当x=0时y=1，
即1=36a+4，
 
 
∴足球第一次落地距守门员约13米.
 
∴(x－6) ²=48，
 
 
 
 
∴BD ≈ 13－6+10=17(米).
E
F
解： (3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意CD=EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位)，
 
 
 
1.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽AB=4 m，涵洞顶点O到水面的距离为1 m，根据图中的平面直角坐标系，你可推断点A的坐标是________，点B的坐标为_________，则涵洞所在的抛物线的解析式为________.
 
(2,－1)
(－2,－1)
2
2
1
设y=ax²
代入点(2,－1)得
－1=4a
 
2.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_____米.
0.5
x
y
O
设y=ax²+bx+c
c=2.5
0.25a+0.5b+c=1
4a+2b+c=2.5
所以y=2x²－4x+2.5
即y=2(x－1)²+0.5
3.小明学习了这节课后，课下竖直向上抛一个小球做实验，小球上升的高度h(m)与运动时间t(s)的函数解析式为h=at² +bt，图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是( )A.第3秒 B.第3.9秒 C.第4.5秒 D.第6.5秒
B
4
(7,0)
4．小明学习了二次函数后，以二次函数y=2x²－8x+14的图象的形状为灵感设计了一款奖杯，如下图，若AB=6，DE=2，则奖杯的高CE为( )
B
A．14 B．20 C．16 D．3
2
设y=2x²+c
代入点(3,0)得
0=18+c
所以c=－18
18
 
 
 
 
 
 
∴此球能过网.
 
 
∵1.625＞1.55，
 
 
 
 
 
①建立适当的平面直角系；
②把实际问题中的数据与点的坐标联系起来；
③用待定系数法求出抛物线的表达式；
④利用二次函数的图象及性质去分析解决问题.
课程结束
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