2024版高考数学一轮总复习第2章函数第4节二次函数与幂函数课件

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必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现1．幂函数的概念一般地，函数______称为幂函数，其中α为常数．
幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数．(2)xα的系数为1.(3)解析式只有一项．
2．常见的五种幂函数的图象
3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1)．(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在(0，＋∞)上是_______．(3)如果α<0，则幂函数在(0，＋∞)上是_______，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限逼近x轴．
4．二次函数的图象与性质
二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
5．常用结论(1)“ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a＞0且Δ＜0”．(2)“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a＜0且Δ＜0”．
4．(多选题)(2022·海南中学月考)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，27)，则幂函数f(x)是(　　)A．奇函数B．偶函数 C．增函数D．减函数AC　解析：设幂函数为f(x)＝xα(α为常数)，因为其图象经过点(3，27)，所以27＝3α，解得α＝3，所以幂函数f(x)＝x3.因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又α＝3＞0，所以f(x)在R上是增函数．
关键能力·研析考点强“四翼”
考点1　幂函数的图象和性质——基础性
考点2　二次函数的解析式——综合性
考点3　二次函数的图象和性质——应用性
1．解决这类问题要优先考虑幂函数的定义以及解析式，然后结合幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第4题利用幂函数的推广性质以及函数有关性质共同得出结论．
求二次函数解析式的策略
考向1　二次函数的图象应用例2　(1)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2，1)，则函数y＝f(－x)的图象为(　　)
(2)对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)
A　解析：若01，则y＝lgax在(0，＋∞)上单调递增，y＝(a－1)x2－x的图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确，只有A满足．
1．解决二次函数图象问题的基本方法(1)排除法．抓住函数的特殊性质或特殊点．(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．2．分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息.
考向2　二次函数的单调性例3　若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．[－3，0) B．(－∞，－3]C．[－2，0] D．[－3，0]
利用二次函数的单调性解题时的注意点(1)对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数(或式)通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较．
二次函数的最值问题的类型二次函数的最值问题主要有以下几类：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
考向4　二次函数中的恒成立问题例5　已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解：由题意可知，f(x)＞2x＋m等价于x2－x＋1＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0.令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＞0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)在[－1，1]上的最小值大于0即可．因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0得m＜－1.因此，满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
由不等式恒成立求参数的取值范围将问题归结为求函数的最值，依据是a≥f(x)恒成立⇔a≥fmax(x)，a≤f(x)恒成立⇔a≤fmin(x)．
1．(2021·洛阳一中检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若a>b>c且a＋b＋c＝0，则f(x)的图象可能是(　　)
D　解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除选项A，C.又f(0)＝c＜0，排除选项B.故选D.
2．(多选题)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是(　　)A．f(－1)B．f(1)　C．f(2)D．f(5)ACD　解析：因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴是x＝2.当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．