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2022-2023学年湖南省长沙麓山国际实验学校高二（上）入学数学试卷
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙麓山国际实验学校高二（上）入学数学试卷，共22页。试卷主要包含了多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙麓山国际实验学校高二（上）入学数学试卷
一、单项选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．（5分）设，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．（5分）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（ ）
A．80 B．96 C．108 D．110
3．（5分）为保障妇女权益、促进妇女发展、推动男女平等，我国于2011年颁布实施《中国妇女发展纲要（2011﹣2020年）》（以下简称（《纲要》）．《纲要》实施以来，我国积极推动和支持妇女参政议政，妇女参与决策和管理的比例明显提高，妇女的政治权利得到有力保障和加强.2018年召开的第十三届全国人民代表大会共有女代表742名，政协第十三届（2018年）全国委员会中有女委员440人．第一到十三届历届全国人大女代表、政协女委员所占比重如图：
下列结论错误的是（ ）
A．第十三届全国人大女代表所占比重比第十一届提高3.6个百分点
B．第十三届全国政协女委员所占比重比第四届提高10个百分点以上
C．从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值低于12%
D．第十三届全国人大代表的人数不高于3000人
4．（5分）设非零向量，的夹角为θ，定义运算．下列叙述错误的是（ ）
A．若，则
B．.（为任意非零向量）
C．.设在△ABC中，，，则
D．.若，则
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，sinA+2sinBcosC＝0，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心为O，其中底面ABCD为正方形，若平面ABCD过球心O，且∠PBD＝45°，，则异面直线PA，CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．乙与丁不相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，当直线DD1与平面MNE所成的角最大时，λ＝（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ）
A．中位数为3 B．方差为
C．众数为2和3 D．第85%分位数为4.5
（多选）10．（5分）在某次数学考试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某道多项选择题的正确答案是ABC，且某同学不会做该题，下列结论正确的是（ ）
A．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是
B．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是
C．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是
D．该同学随机选择选项，能得分的概率是
（多选）11．（5分）如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CDAB＝1，E为AB中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC，则（ ）
A．平面PED⊥平面EBCD
B．PC与平面PED所成角的正切值为
C．二面角P﹣DC﹣B的大小为
D．PC⊥ED
（多选）12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A．若a＝1，b＝2，则A可以是
B．若，a＝1，，则b＝1
C．若△ABC是锐角三角形，a＝2，b＝3，则边长c的取值范围是
D．若sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinAsinC，则角A的取值范围是
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设复数z满足|z|＝|z﹣2﹣2i|，则|z|的最小值为 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若m，则实数m＝ ．
15．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别为A1B1，B1C1，C1A1的中点，AB＝2，M为BD的中点，则下列说法正确的是 ．
①AF，BE为异面直线；
②EM∥平面ADF；
③若BE⊥CF，则；
④若∠BEC＝60°，则直线A1C与平面BCC1B1所成的角为45°．
16．（5分）如图所示，要修建一个形状为等腰直角三角形的广场ABC，∠ABC＝90°，且在广场外修建一块三角形草地BCD，满足BD＝2，CD＝1．
①若，则AD＝ ；
②欲使A、D之间距离最长，则cos∠BDC＝ ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分.解答题应写出文字说明过程或演算步骤）
17．（10分）已知向量（1，），（﹣2，0）．
（Ⅰ）求的坐标以及与之间的夹角；
（Ⅱ）当t∈[﹣1，]时，求的取值范围．
18．（12分）随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示．
（1）求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数；（结果用小数表示，小数点后保留两位有效数字）
（2）现按照分层抽样的方法从年龄在[40，50）和[60，70]的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在[60，70]的概率．
19．（12分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）当角B为钝角时，若点E满足，，BE＝1，求BC的长度．
20．（12分）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，．甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
21．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，腰长为2，P为△ABC外一点，∠BPC＝90°．
（1）若PC，求PA长；
（2）若∠APB＝30°，求tan∠PBA．
22．（12分）已知在长方形ABCD中，，点E是AD的中点，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE．
（1）求证：在四棱锥A﹣BCDE中，AB⊥AC；
（2）在线段AC上是否存在点F，使二面角A﹣BE﹣F的余弦值为？若存在，找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年湖南省长沙麓山国际实验学校高二（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．（5分）设，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【解答】解：，
则．
故选：B．
2．（5分）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（ ）
A．80 B．96 C．108 D．110
【解答】解：设高二x人，则x+x﹣50+500＝1350，x＝450，
所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400
因为，所以，高二学生抽取人数为：108，
故选：C．
3．（5分）为保障妇女权益、促进妇女发展、推动男女平等，我国于2011年颁布实施《中国妇女发展纲要（2011﹣2020年）》（以下简称（《纲要》）．《纲要》实施以来，我国积极推动和支持妇女参政议政，妇女参与决策和管理的比例明显提高，妇女的政治权利得到有力保障和加强.2018年召开的第十三届全国人民代表大会共有女代表742名，政协第十三届（2018年）全国委员会中有女委员440人．第一到十三届历届全国人大女代表、政协女委员所占比重如图：
下列结论错误的是（ ）
A．第十三届全国人大女代表所占比重比第十一届提高3.6个百分点
B．第十三届全国政协女委员所占比重比第四届提高10个百分点以上
C．从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值低于12%
D．第十三届全国人大代表的人数不高于3000人
【解答】对于A，第十三届全国人大女代表所占比重为24.9%，
第十一届为21.3，提高3.6个百分点，故A正确；
对于B，第十三届全国政协女委员所占比重为20.4%，第四届为9%，
提高11.4个百分点，故B正确；
对于C，从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值为：
（6.7+11.4+8.1+9.0+13.1+12.8+13.9+13.7+15.5+16.7+17.7+17.8+20.4）%＝13.6%，高于12%，故C错误；
对于D，第十三届全国人大代表的人数约为，故D正确．
故选：C．
4．（5分）设非零向量，的夹角为θ，定义运算．下列叙述错误的是（ ）
A．若，则
B．.（为任意非零向量）
C．.设在△ABC中，，，则
D．.若，则
【解答】解：对于选项A，定义运算，又若，则sinθ＝0，即θ＝0，即与同向共线，即，即选项A正确；
对于选项B，不妨取，且，则（为任意非零向量）显然不成立，即选项B错误；
对于选项C，设在△ABC中，，，则，则，即选项C正确；
对于选项D，若，又，sinθ∈[0，1]，则，即选项D正确，
故选：B．
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，sinA+2sinBcosC＝0，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：∵sinA+2sinBcosC＝0，
∴，化简得2a2+b2﹣c2＝0，即a2，
由余弦定理知，，
∴，
∴，
∴△ABC的面积．
故选：B．
6．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心为O，其中底面ABCD为正方形，若平面ABCD过球心O，且∠PBD＝45°，，则异面直线PA，CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，∴∠PAB即为所求异面直线PA与CD所成角，
由可得，
又∠PBD＝45°，
∴PB＝PD，∴PO⊥BD，∴，
∴．
故选：B．
7．（5分）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．乙与丁不相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
【解答】解：设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P（A），P（B），P（C），P（D），
则P（A）＝P（B），P（C），P（D），
对于A，P（AC）＝0≠P（A）P（C），∴甲与丙不是相互独立事件，故A错误；
对于B，P（BD），∴乙与丁相互独立，故B错误；
对于C，P（AD），∴甲与丁相互独立，故C正确；
对于D，P（BC）P（B）P（C），∴乙与丙不相互独立，故D错误．
故选：C．
8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，当直线DD1与平面MNE所成的角最大时，λ＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，
则M（，0，1），N（1，0，），C（0，1，0），B1（1，1，1），D（0，0，0），D1（0，0，1），
∴λλ（﹣1，0，﹣1），E（1﹣λ，1，1﹣λ），（，0，），（λ，1，﹣λ），
设平面MNE的一个法向量为（x，y，z），
则，∴，令x＝1，可得（1，2λ，1），
又（0，0，1），
设直线DD1与平面MNE所成的角为θ，
则sinθ＝|cos，|，
当2λ0，即λ时，sinθ有最大值，即直线DD1与平面MNE所成的角最大．
故选：C．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ）
A．中位数为3 B．方差为
C．众数为2和3 D．第85%分位数为4.5
【解答】解：将数据从小到大排序为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，
故中位数为，故A正确；
数据中2，3，出现次数最多，∴众数2和3，故C正确；
平均数是3，
方差为[（1﹣3）2+（2﹣3）2×3+（3﹣3）2×3+（4﹣3）2+（5﹣3）2×2]，故B正确；
第85百分位数是数据中至少有85%的数据小于或等于该数，
∴从小到大第9个数字5为该组的第85百分位数，故D错误．
故选：ABC．
（多选）10．（5分）在某次数学考试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某道多项选择题的正确答案是ABC，且某同学不会做该题，下列结论正确的是（ ）
A．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是
B．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是
C．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是
D．该同学随机选择选项，能得分的概率是
【解答】解：该同学随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为A，B，C，D．
随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD．
随机选三个选项，共有4个基本事件，分别为ABC，ABD，ACD，BCD．
随机选四个选项，共有1个基本事件，即ABCD．
仅随机选一个选项，能得分的概率是，故A错误．
随机至少选择二个选项，能得分的概率是，故B正确．
仅随机选三个选项，能得分的概率是，故C正确．
随机选择选项，能得分的概率是，故D错误．
故选：BC．
（多选）11．（5分）如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CDAB＝1，E为AB中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC，则（ ）
A．平面PED⊥平面EBCD
B．PC与平面PED所成角的正切值为
C．二面角P﹣DC﹣B的大小为
D．PC⊥ED
【解答】解：对于A，∵AB∥CD，BC⊥AB，CD＝BCAB＝BE，
∴四边形BCDE是正方形，∴DE⊥AE，DE⊥BE，
故翻折后DE⊥PE，∵PE＝AE＝1，EC，PC，
∴PE2+EC2＝PC2，故PE⊥EC，又DE∩EC＝E，DE、EC⊂平面BCDE，
∴PE⊥平面BCDE，又PE⊂平面PDE，
∴平面PED⊥平面BCDE，故A正确，
对于B，由CD⊥平面PDE可得∠CPD为PC与平面PDE所成角，
∴tan∠CPD，故B错误．
对于C，由PE⊥平面BCDE可得PE⊥CD，又CD⊥DE，PE∩DE＝E，
∴CD⊥平面PDE，故CD⊥PD，
∴∠PDE为二面角P﹣DC﹣B的平面角，
∵PE＝DE＝1，PE⊥DE，∴∠PDE，故C正确；
对于D，∵DE∥BC，∴∠PCB为异面直线PC与DE所成的角，
∵DE⊥PE，DE⊥BE，PE∩BE＝E，PE、BE⊂平面PBE，∴DE⊥平面PBE，
∴DE⊥PB，又DE∥BC，∴BC⊥PB，
∴∠PCB，故D错误；
故选：AC．
（多选）12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A．若a＝1，b＝2，则A可以是
B．若，a＝1，，则b＝1
C．若△ABC是锐角三角形，a＝2，b＝3，则边长c的取值范围是
D．若sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinAsinC，则角A的取值范围是
【解答】解：对选项A，，解得，故A错误；
对选项B，，解得b＝1或b＝2，故B错误．
对选项C，因为△ABC是锐角三角形，
所以，整理可得，解得，
故C正确．
对选项D，因为sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinAsinC，
所以a2≤b2+c2﹣ac，b2+c2﹣a2≥ac，，
即，又因为0＜A＜π，所以，故D正确．
故选：CD．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设复数z满足|z|＝|z﹣2﹣2i|，则|z|的最小值为 ．
【解答】解：设z＝a+bi，a，b∈R，
∵|z|＝|z﹣2﹣2i|，
∴|a+bi|＝|（a﹣2）+（b﹣2）i|，
∴a2+b2＝（a﹣2）2+（b﹣2）2，
∴a+b＝2，
∴|z|，
当a＝1时，|z|取得最小值．
故答案为：．
14．（5分）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若m，则实数m＝ ．
【解答】解：因为，则，
所以mm，
因为点B，P，N三点共线，所以m，则m，
故答案为：．
15．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别为A1B1，B1C1，C1A1的中点，AB＝2，M为BD的中点，则下列说法正确的是 ②③ ．
①AF，BE为异面直线；
②EM∥平面ADF；
③若BE⊥CF，则；
④若∠BEC＝60°，则直线A1C与平面BCC1B1所成的角为45°．
【解答】解：对于①：如图，连接EF，由题意得EF∥AB，所以A，B，E，F四点共面，所以AF，BE不是异面直线，①错误；
对于②：取DA的中点N，连接FN，MN，得，
所以EF∥MN，EF＝MN，则四边形EFNM是平行四边形，
所以EM∥FN，因为FN⊂面AFD，所以EM∥面ADF，②正确；
对于③：取AB的中点Q，连接CQ，FQ，由EF，QB平行且相等知：四边形EFQB为平行四边形，
则有FQ∥BE，又BE⊥CF，即∠QFC＝90°，
设AA1＝x，则，
∴2x2+2＝3，解得，③正确；
对于④：由∠BEC＝60°，BE＝CE，可知△BCE为正三角形，CE＝BC＝2，
连接A1E，易知A1E⊥平面BCC1B1，故∠A1CE即直线A1C与平面BCC1B1所成的角，
，所以④错误；
故答案为：②③．
16．（5分）如图所示，要修建一个形状为等腰直角三角形的广场ABC，∠ABC＝90°，且在广场外修建一块三角形草地BCD，满足BD＝2，CD＝1．
①若，则AD＝ ；
②欲使A、D之间距离最长，则cos∠BDC＝ ．
【解答】解：①在△BCD中，由BD＝2，CD＝1，，
得BC，
∴BC2+CD2＝BD2，即∠BCD，
在等腰直角三角形ABC中，可得AC，
又∠BCA，∴∠ACD，
由余弦定理可得，AD
；
②设∠DBC＝α，则α∈（0，），∠BDC＝θ，则AB＝BC，
在△ABD中，由正弦定理可得：⇒sinα，
在△ABC中，由余弦定理可得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos（α）
＝9﹣4cosθ﹣22×（﹣sinα）＝9﹣4cosθ+4sinα
＝9﹣4cosθ+4sinθ＝9+4sin（θ）．
当θπ时，AD取最大值9+4，
此时cos∠BDC＝cos．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分.解答题应写出文字说明过程或演算步骤）
17．（10分）已知向量（1，），（﹣2，0）．
（Ⅰ）求的坐标以及与之间的夹角；
（Ⅱ）当t∈[﹣1，]时，求的取值范围．
【解答】解：（I）∵（1，），（﹣2，0），
∴，
设与之间的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∴cosθ，
∴．
（II），
当时，，
故的取值范围为．
18．（12分）随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示．
（1）求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数；（结果用小数表示，小数点后保留两位有效数字）
（2）现按照分层抽样的方法从年龄在[40，50）和[60，70]的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在[60，70]的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图的面积之和为1知，
10×（0.007+0.018+a+0.025+0.020）＝1，
解得a＝0.030；
∵10×（0.007+0.018）＝0.25＜0.5，
10×（0.007+0.018+0.030）＝0.55＞0.5，
∴把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数为4048.33；
（2）∵0.030：0.020＝3：2，
∴从年龄在[40，50）的投资者中抽取3人，记为A、B、C，
从年龄在[60，70]的投资者中抽取2人，记为1，2；
则从这5人中随机抽取2人进行投资调查，
有（A，B），（A，C），（A，1），（A，2），（B，C），（B，1），（B，2），（C，1），（C，2），（1，2），共10种情况；
至少有1人年龄在[60，70]的有（A，1），（A，2），（B，1），（B，2），（C，1），（C，2），（1，2），共7种情况；
故至少有1人年龄在[60，70]的概率为．
19．（12分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）当角B为钝角时，若点E满足，，BE＝1，求BC的长度．
【解答】解：（1）∵
∴，
∴，
∴，而0＜B＜π，∴或．
（2）由（1）知当B为纯角时，，
（解法一）∵，
∴，
∴，
∴
整理得：，即
∴
故BC的长度为．
（解法二）∵，设EC＝m，则AE＝2m，设BC＝x，
在△ABC有：AC2＝AB2+BC2﹣2AB⋅BCcosB，
∴，①
又在△ABE，△ABC中有：
∴
∴x2＝3m2②
②代入①有：
解得（舍去负值）
故BC的长度为．
20．（12分）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，．甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【解答】解：（1）设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，
则A1A2＝“甲赢得比赛”，B1B2＝“乙赢得比赛”，
∵P（A1），P（A2），P（B1），P（B2），
∴P（A1A2）＝P（A1）P（A2），
同理P（B1B2）＝P（B1）P（B2），
∵，
∴派甲参赛获胜的概率更大．
（2）由（1）知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙赢得比赛”，
∵P（）＝1﹣P（A1A2）＝1，P（）＝1﹣P（B1B2）＝1，
于是C∪D＝“两人中至少有一人赢得比赛”，
∴P（C∪D）＝1﹣P（）＝1﹣P（）P（）＝1．
21．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，腰长为2，P为△ABC外一点，∠BPC＝90°．
（1）若PC，求PA长；
（2）若∠APB＝30°，求tan∠PBA．
【解答】解：（1）在直角△BPC中，∠BPC＝90°，BC＝2，PC，
∴根据勾股定理得：BP＝1，即BPBC，
∴∠BCP＝30°，
∵等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，
∴在△PCA中，∠PCA＝75°，AC＝2，
根据余弦定理，PA2＝PC2+AC2﹣2PC•AC•cos75°，
∵cos75°＝cos（45°+30°），
∴PA2＝3+8﹣225+2，
则PA；
（2）设∠PBA＝x，则∠PBC＝x﹣90°，∠PAB＝150°﹣x，
在直角△BPC中，BP＝2cos（90°﹣x），
在△PAB中，根据正弦定理得：，即sin（150°﹣x）sinx，
化简得tanx，
则tan∠PBA．
22．（12分）已知在长方形ABCD中，，点E是AD的中点，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE．
（1）求证：在四棱锥A﹣BCDE中，AB⊥AC；
（2）在线段AC上是否存在点F，使二面角A﹣BE﹣F的余弦值为？若存在，找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】证明：（1）连接CE，∵E为AD的中点，AD﹣2AB，
∵ABCD为长方形，∴AB⊥AD中，AD＝BC＝2．
在△ABE中，BE2，
同理EC＝2，BE2+EC2＝BC2，∴CE⊥BE，
在折叠后的图形中：
∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，CE⊥BE，
∴CE⊥平面ABE，
又AB⊂平面ABE，CE⊥AB，
又∵AE⊥AB，CE⊂平面AEC，AE⊂平面AEC，CE∩AE＝E，
∴AB1平面AEC，
又AC⊂平面AEC，
∴AB⊥AC，
（2）由（1）可知：△ABE、△BEC均为等腰直角三角形，过A点作底边BE的高，交BE于O点，以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
易知平面 ABE 的一个法向量为，
假设在线段 AC 上存在点F，使二面角A﹣BE﹣F 的余弦值为，
设，则，
设平面 BEF 的一个法向量为，∴，∴，
取y＝1，则，∴，
即当点F为线段 AC 靠近A的四等分点时，二面角A﹣BE﹣F的余弦值为．
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2022-2023学年湖南省长沙麓山国际实验学校高二（上）入学数学试卷
一、单项选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．（5分）设，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．（5分）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（ ）
A．80 B．96 C．108 D．110
3．（5分）为保障妇女权益、促进妇女发展、推动男女平等，我国于2011年颁布实施《中国妇女发展纲要（2011﹣2020年）》（以下简称（《纲要》）．《纲要》实施以来，我国积极推动和支持妇女参政议政，妇女参与决策和管理的比例明显提高，妇女的政治权利得到有力保障和加强.2018年召开的第十三届全国人民代表大会共有女代表742名，政协第十三届（2018年）全国委员会中有女委员440人．第一到十三届历届全国人大女代表、政协女委员所占比重如图：
下列结论错误的是（ ）
A．第十三届全国人大女代表所占比重比第十一届提高3.6个百分点
B．第十三届全国政协女委员所占比重比第四届提高10个百分点以上
C．从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值低于12%
D．第十三届全国人大代表的人数不高于3000人
4．（5分）设非零向量，的夹角为θ，定义运算．下列叙述错误的是（ ）
A．若，则
B．.（为任意非零向量）
C．.设在△ABC中，，，则
D．.若，则
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，sinA+2sinBcosC＝0，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心为O，其中底面ABCD为正方形，若平面ABCD过球心O，且∠PBD＝45°，，则异面直线PA，CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．乙与丁不相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，当直线DD1与平面MNE所成的角最大时，λ＝（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ）
A．中位数为3 B．方差为
C．众数为2和3 D．第85%分位数为4.5
（多选）10．（5分）在某次数学考试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某道多项选择题的正确答案是ABC，且某同学不会做该题，下列结论正确的是（ ）
A．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是
B．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是
C．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是
D．该同学随机选择选项，能得分的概率是
（多选）11．（5分）如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CDAB＝1，E为AB中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC，则（ ）
A．平面PED⊥平面EBCD
B．PC与平面PED所成角的正切值为
C．二面角P﹣DC﹣B的大小为
D．PC⊥ED
（多选）12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A．若a＝1，b＝2，则A可以是
B．若，a＝1，，则b＝1
C．若△ABC是锐角三角形，a＝2，b＝3，则边长c的取值范围是
D．若sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinAsinC，则角A的取值范围是
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设复数z满足|z|＝|z﹣2﹣2i|，则|z|的最小值为 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若m，则实数m＝ ．
15．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别为A1B1，B1C1，C1A1的中点，AB＝2，M为BD的中点，则下列说法正确的是 ．
①AF，BE为异面直线；
②EM∥平面ADF；
③若BE⊥CF，则；
④若∠BEC＝60°，则直线A1C与平面BCC1B1所成的角为45°．
16．（5分）如图所示，要修建一个形状为等腰直角三角形的广场ABC，∠ABC＝90°，且在广场外修建一块三角形草地BCD，满足BD＝2，CD＝1．
①若，则AD＝ ；
②欲使A、D之间距离最长，则cos∠BDC＝ ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分.解答题应写出文字说明过程或演算步骤）
17．（10分）已知向量（1，），（﹣2，0）．
（Ⅰ）求的坐标以及与之间的夹角；
（Ⅱ）当t∈[﹣1，]时，求的取值范围．
18．（12分）随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示．
（1）求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数；（结果用小数表示，小数点后保留两位有效数字）
（2）现按照分层抽样的方法从年龄在[40，50）和[60，70]的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在[60，70]的概率．
19．（12分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）当角B为钝角时，若点E满足，，BE＝1，求BC的长度．
20．（12分）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，．甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
21．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，腰长为2，P为△ABC外一点，∠BPC＝90°．
（1）若PC，求PA长；
（2）若∠APB＝30°，求tan∠PBA．
22．（12分）已知在长方形ABCD中，，点E是AD的中点，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE．
（1）求证：在四棱锥A﹣BCDE中，AB⊥AC；
（2）在线段AC上是否存在点F，使二面角A﹣BE﹣F的余弦值为？若存在，找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年湖南省长沙麓山国际实验学校高二（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．（5分）设，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【解答】解：，
则．
故选：B．
2．（5分）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（ ）
A．80 B．96 C．108 D．110
【解答】解：设高二x人，则x+x﹣50+500＝1350，x＝450，
所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400
因为，所以，高二学生抽取人数为：108，
故选：C．
3．（5分）为保障妇女权益、促进妇女发展、推动男女平等，我国于2011年颁布实施《中国妇女发展纲要（2011﹣2020年）》（以下简称（《纲要》）．《纲要》实施以来，我国积极推动和支持妇女参政议政，妇女参与决策和管理的比例明显提高，妇女的政治权利得到有力保障和加强.2018年召开的第十三届全国人民代表大会共有女代表742名，政协第十三届（2018年）全国委员会中有女委员440人．第一到十三届历届全国人大女代表、政协女委员所占比重如图：
下列结论错误的是（ ）
A．第十三届全国人大女代表所占比重比第十一届提高3.6个百分点
B．第十三届全国政协女委员所占比重比第四届提高10个百分点以上
C．从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值低于12%
D．第十三届全国人大代表的人数不高于3000人
【解答】对于A，第十三届全国人大女代表所占比重为24.9%，
第十一届为21.3，提高3.6个百分点，故A正确；
对于B，第十三届全国政协女委员所占比重为20.4%，第四届为9%，
提高11.4个百分点，故B正确；
对于C，从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值为：
（6.7+11.4+8.1+9.0+13.1+12.8+13.9+13.7+15.5+16.7+17.7+17.8+20.4）%＝13.6%，高于12%，故C错误；
对于D，第十三届全国人大代表的人数约为，故D正确．
故选：C．
4．（5分）设非零向量，的夹角为θ，定义运算．下列叙述错误的是（ ）
A．若，则
B．.（为任意非零向量）
C．.设在△ABC中，，，则
D．.若，则
【解答】解：对于选项A，定义运算，又若，则sinθ＝0，即θ＝0，即与同向共线，即，即选项A正确；
对于选项B，不妨取，且，则（为任意非零向量）显然不成立，即选项B错误；
对于选项C，设在△ABC中，，，则，则，即选项C正确；
对于选项D，若，又，sinθ∈[0，1]，则，即选项D正确，
故选：B．
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，sinA+2sinBcosC＝0，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：∵sinA+2sinBcosC＝0，
∴，化简得2a2+b2﹣c2＝0，即a2，
由余弦定理知，，
∴，
∴，
∴△ABC的面积．
故选：B．
6．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心为O，其中底面ABCD为正方形，若平面ABCD过球心O，且∠PBD＝45°，，则异面直线PA，CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，∴∠PAB即为所求异面直线PA与CD所成角，
由可得，
又∠PBD＝45°，
∴PB＝PD，∴PO⊥BD，∴，
∴．
故选：B．
7．（5分）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．乙与丁不相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
【解答】解：设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P（A），P（B），P（C），P（D），
则P（A）＝P（B），P（C），P（D），
对于A，P（AC）＝0≠P（A）P（C），∴甲与丙不是相互独立事件，故A错误；
对于B，P（BD），∴乙与丁相互独立，故B错误；
对于C，P（AD），∴甲与丁相互独立，故C正确；
对于D，P（BC）P（B）P（C），∴乙与丙不相互独立，故D错误．
故选：C．
8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，当直线DD1与平面MNE所成的角最大时，λ＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，
则M（，0，1），N（1，0，），C（0，1，0），B1（1，1，1），D（0，0，0），D1（0，0，1），
∴λλ（﹣1，0，﹣1），E（1﹣λ，1，1﹣λ），（，0，），（λ，1，﹣λ），
设平面MNE的一个法向量为（x，y，z），
则，∴，令x＝1，可得（1，2λ，1），
又（0，0，1），
设直线DD1与平面MNE所成的角为θ，
则sinθ＝|cos，|，
当2λ0，即λ时，sinθ有最大值，即直线DD1与平面MNE所成的角最大．
故选：C．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ）
A．中位数为3 B．方差为
C．众数为2和3 D．第85%分位数为4.5
【解答】解：将数据从小到大排序为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，
故中位数为，故A正确；
数据中2，3，出现次数最多，∴众数2和3，故C正确；
平均数是3，
方差为[（1﹣3）2+（2﹣3）2×3+（3﹣3）2×3+（4﹣3）2+（5﹣3）2×2]，故B正确；
第85百分位数是数据中至少有85%的数据小于或等于该数，
∴从小到大第9个数字5为该组的第85百分位数，故D错误．
故选：ABC．
（多选）10．（5分）在某次数学考试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某道多项选择题的正确答案是ABC，且某同学不会做该题，下列结论正确的是（ ）
A．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是
B．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是
C．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是
D．该同学随机选择选项，能得分的概率是
【解答】解：该同学随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为A，B，C，D．
随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD．
随机选三个选项，共有4个基本事件，分别为ABC，ABD，ACD，BCD．
随机选四个选项，共有1个基本事件，即ABCD．
仅随机选一个选项，能得分的概率是，故A错误．
随机至少选择二个选项，能得分的概率是，故B正确．
仅随机选三个选项，能得分的概率是，故C正确．
随机选择选项，能得分的概率是，故D错误．
故选：BC．
（多选）11．（5分）如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CDAB＝1，E为AB中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC，则（ ）
A．平面PED⊥平面EBCD
B．PC与平面PED所成角的正切值为
C．二面角P﹣DC﹣B的大小为
D．PC⊥ED
【解答】解：对于A，∵AB∥CD，BC⊥AB，CD＝BCAB＝BE，
∴四边形BCDE是正方形，∴DE⊥AE，DE⊥BE，
故翻折后DE⊥PE，∵PE＝AE＝1，EC，PC，
∴PE2+EC2＝PC2，故PE⊥EC，又DE∩EC＝E，DE、EC⊂平面BCDE，
∴PE⊥平面BCDE，又PE⊂平面PDE，
∴平面PED⊥平面BCDE，故A正确，
对于B，由CD⊥平面PDE可得∠CPD为PC与平面PDE所成角，
∴tan∠CPD，故B错误．
对于C，由PE⊥平面BCDE可得PE⊥CD，又CD⊥DE，PE∩DE＝E，
∴CD⊥平面PDE，故CD⊥PD，
∴∠PDE为二面角P﹣DC﹣B的平面角，
∵PE＝DE＝1，PE⊥DE，∴∠PDE，故C正确；
对于D，∵DE∥BC，∴∠PCB为异面直线PC与DE所成的角，
∵DE⊥PE，DE⊥BE，PE∩BE＝E，PE、BE⊂平面PBE，∴DE⊥平面PBE，
∴DE⊥PB，又DE∥BC，∴BC⊥PB，
∴∠PCB，故D错误；
故选：AC．
（多选）12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A．若a＝1，b＝2，则A可以是
B．若，a＝1，，则b＝1
C．若△ABC是锐角三角形，a＝2，b＝3，则边长c的取值范围是
D．若sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinAsinC，则角A的取值范围是
【解答】解：对选项A，，解得，故A错误；
对选项B，，解得b＝1或b＝2，故B错误．
对选项C，因为△ABC是锐角三角形，
所以，整理可得，解得，
故C正确．
对选项D，因为sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinAsinC，
所以a2≤b2+c2﹣ac，b2+c2﹣a2≥ac，，
即，又因为0＜A＜π，所以，故D正确．
故选：CD．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设复数z满足|z|＝|z﹣2﹣2i|，则|z|的最小值为 ．
【解答】解：设z＝a+bi，a，b∈R，
∵|z|＝|z﹣2﹣2i|，
∴|a+bi|＝|（a﹣2）+（b﹣2）i|，
∴a2+b2＝（a﹣2）2+（b﹣2）2，
∴a+b＝2，
∴|z|，
当a＝1时，|z|取得最小值．
故答案为：．
14．（5分）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若m，则实数m＝ ．
【解答】解：因为，则，
所以mm，
因为点B，P，N三点共线，所以m，则m，
故答案为：．
15．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别为A1B1，B1C1，C1A1的中点，AB＝2，M为BD的中点，则下列说法正确的是 ②③ ．
①AF，BE为异面直线；
②EM∥平面ADF；
③若BE⊥CF，则；
④若∠BEC＝60°，则直线A1C与平面BCC1B1所成的角为45°．
【解答】解：对于①：如图，连接EF，由题意得EF∥AB，所以A，B，E，F四点共面，所以AF，BE不是异面直线，①错误；
对于②：取DA的中点N，连接FN，MN，得，
所以EF∥MN，EF＝MN，则四边形EFNM是平行四边形，
所以EM∥FN，因为FN⊂面AFD，所以EM∥面ADF，②正确；
对于③：取AB的中点Q，连接CQ，FQ，由EF，QB平行且相等知：四边形EFQB为平行四边形，
则有FQ∥BE，又BE⊥CF，即∠QFC＝90°，
设AA1＝x，则，
∴2x2+2＝3，解得，③正确；
对于④：由∠BEC＝60°，BE＝CE，可知△BCE为正三角形，CE＝BC＝2，
连接A1E，易知A1E⊥平面BCC1B1，故∠A1CE即直线A1C与平面BCC1B1所成的角，
，所以④错误；
故答案为：②③．
16．（5分）如图所示，要修建一个形状为等腰直角三角形的广场ABC，∠ABC＝90°，且在广场外修建一块三角形草地BCD，满足BD＝2，CD＝1．
①若，则AD＝ ；
②欲使A、D之间距离最长，则cos∠BDC＝ ．
【解答】解：①在△BCD中，由BD＝2，CD＝1，，
得BC，
∴BC2+CD2＝BD2，即∠BCD，
在等腰直角三角形ABC中，可得AC，
又∠BCA，∴∠ACD，
由余弦定理可得，AD
；
②设∠DBC＝α，则α∈（0，），∠BDC＝θ，则AB＝BC，
在△ABD中，由正弦定理可得：⇒sinα，
在△ABC中，由余弦定理可得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos（α）
＝9﹣4cosθ﹣22×（﹣sinα）＝9﹣4cosθ+4sinα
＝9﹣4cosθ+4sinθ＝9+4sin（θ）．
当θπ时，AD取最大值9+4，
此时cos∠BDC＝cos．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分.解答题应写出文字说明过程或演算步骤）
17．（10分）已知向量（1，），（﹣2，0）．
（Ⅰ）求的坐标以及与之间的夹角；
（Ⅱ）当t∈[﹣1，]时，求的取值范围．
【解答】解：（I）∵（1，），（﹣2，0），
∴，
设与之间的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∴cosθ，
∴．
（II），
当时，，
故的取值范围为．
18．（12分）随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示．
（1）求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数；（结果用小数表示，小数点后保留两位有效数字）
（2）现按照分层抽样的方法从年龄在[40，50）和[60，70]的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在[60，70]的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图的面积之和为1知，
10×（0.007+0.018+a+0.025+0.020）＝1，
解得a＝0.030；
∵10×（0.007+0.018）＝0.25＜0.5，
10×（0.007+0.018+0.030）＝0.55＞0.5，
∴把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数为4048.33；
（2）∵0.030：0.020＝3：2，
∴从年龄在[40，50）的投资者中抽取3人，记为A、B、C，
从年龄在[60，70]的投资者中抽取2人，记为1，2；
则从这5人中随机抽取2人进行投资调查，
有（A，B），（A，C），（A，1），（A，2），（B，C），（B，1），（B，2），（C，1），（C，2），（1，2），共10种情况；
至少有1人年龄在[60，70]的有（A，1），（A，2），（B，1），（B，2），（C，1），（C，2），（1，2），共7种情况；
故至少有1人年龄在[60，70]的概率为．
19．（12分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）当角B为钝角时，若点E满足，，BE＝1，求BC的长度．
【解答】解：（1）∵
∴，
∴，
∴，而0＜B＜π，∴或．
（2）由（1）知当B为纯角时，，
（解法一）∵，
∴，
∴，
∴
整理得：，即
∴
故BC的长度为．
（解法二）∵，设EC＝m，则AE＝2m，设BC＝x，
在△ABC有：AC2＝AB2+BC2﹣2AB⋅BCcosB，
∴，①
又在△ABE，△ABC中有：
∴
∴x2＝3m2②
②代入①有：
解得（舍去负值）
故BC的长度为．
20．（12分）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，．甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【解答】解：（1）设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，
则A1A2＝“甲赢得比赛”，B1B2＝“乙赢得比赛”，
∵P（A1），P（A2），P（B1），P（B2），
∴P（A1A2）＝P（A1）P（A2），
同理P（B1B2）＝P（B1）P（B2），
∵，
∴派甲参赛获胜的概率更大．
（2）由（1）知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙赢得比赛”，
∵P（）＝1﹣P（A1A2）＝1，P（）＝1﹣P（B1B2）＝1，
于是C∪D＝“两人中至少有一人赢得比赛”，
∴P（C∪D）＝1﹣P（）＝1﹣P（）P（）＝1．
21．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，腰长为2，P为△ABC外一点，∠BPC＝90°．
（1）若PC，求PA长；
（2）若∠APB＝30°，求tan∠PBA．
【解答】解：（1）在直角△BPC中，∠BPC＝90°，BC＝2，PC，
∴根据勾股定理得：BP＝1，即BPBC，
∴∠BCP＝30°，
∵等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，
∴在△PCA中，∠PCA＝75°，AC＝2，
根据余弦定理，PA2＝PC2+AC2﹣2PC•AC•cos75°，
∵cos75°＝cos（45°+30°），
∴PA2＝3+8﹣225+2，
则PA；
（2）设∠PBA＝x，则∠PBC＝x﹣90°，∠PAB＝150°﹣x，
在直角△BPC中，BP＝2cos（90°﹣x），
在△PAB中，根据正弦定理得：，即sin（150°﹣x）sinx，
化简得tanx，
则tan∠PBA．
22．（12分）已知在长方形ABCD中，，点E是AD的中点，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE．
（1）求证：在四棱锥A﹣BCDE中，AB⊥AC；
（2）在线段AC上是否存在点F，使二面角A﹣BE﹣F的余弦值为？若存在，找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】证明：（1）连接CE，∵E为AD的中点，AD﹣2AB，
∵ABCD为长方形，∴AB⊥AD中，AD＝BC＝2．
在△ABE中，BE2，
同理EC＝2，BE2+EC2＝BC2，∴CE⊥BE，
在折叠后的图形中：
∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，CE⊥BE，
∴CE⊥平面ABE，
又AB⊂平面ABE，CE⊥AB，
又∵AE⊥AB，CE⊂平面AEC，AE⊂平面AEC，CE∩AE＝E，
∴AB1平面AEC，
又AC⊂平面AEC，
∴AB⊥AC，
（2）由（1）可知：△ABE、△BEC均为等腰直角三角形，过A点作底边BE的高，交BE于O点，以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
易知平面 ABE 的一个法向量为，
假设在线段 AC 上存在点F，使二面角A﹣BE﹣F 的余弦值为，
设，则，
设平面 BEF 的一个法向量为，∴，∴，
取y＝1，则，∴，
即当点F为线段 AC 靠近A的四等分点时，二面角A﹣BE﹣F的余弦值为．
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