数学选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算精品习题

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第1讲 空间向量及其运算
考点分析
考点一：空间向量的共线问题
①定义：空间中有向线段所在的直线互相平行或重合，则称这些有向线段构成的向量共线或者平行．
②空间直线的方向向量：在空间直线l上取一个非零向量a，则与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行共线，即对任意向量a，都有0∥a.
③共线向量基本定理：对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b的充要条件是存在非零实数λ使a＝λb.
考点二：空间向量的共面问题
①定义：空间中平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
②空间中共面向量基本定理：若两个非零向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使得.
③空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使得，
考点三：空间中向量数量积的运算
①定义：已知两个非零向量a，b，则a，b的数量积为．
规定：零向量与任何向量的数量积均为0.
②由数量积得出的几个常用结论：
1.若非零向量垂直，则，即a⊥b⇔a·b＝0.
2.，同理
3.
题型目录
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
题型二：共线、共面向量定理的应用
题型三：空间向量的数量积
题型四：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
题型五：利用空间向量的数量积求线段的长度
典型例题
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
【例1】（2022·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（　　）
A．若，，则与所在直线平行
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．空间任意两个向量共面
D．若，则存在唯一的实数λ，使

【例2】（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（       ）
A． B． C． D．


【例3】（2022·全国·高二课时练习）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为的是（　　）
A． B．
C． D．


【例4】（2022·全国·高一单元测试）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（       ）

A． B．
C． D．
【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（       ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则､的长度相等且方向相同
C．若向量､满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则.


2.（2022·全国·高一）如图，在三棱锥中，设，若，则=（            ）

A． B．
C． D．








3.（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）

A． B．
C． D．


4．（2022·全国·高二课时练习）已知为正方体且，，，则______．


5.（2022·全国·高二课时练习）平行六面体中，若，，，那么______．

6．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：

(1)的相等向量，的负向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.
题型二：共线、共面向量定理的应用
【例1】（2022·全国·高一单元测试）给出下列四个命题，其中是真命题的有（       ）
A．若存在实数，，使，则与，共面；
B．若与，共面，则存在实数，，使；
C．若存在实数，，使则点，，A，共面；
D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．


【例2】（2022·全国·高二）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（       ）
A．P∈AB B．P∉AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对


【例3】（2022·江苏常州·高二期中）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（       ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．与点位置有关



【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________.





【题型专练】
1．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）下列命题中正确的是（       ）
A．若∥，则∥
B．是共线的必要条件
C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面
D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件


2.（2021·河南·范县第一中学高二阶段练习）下列命题不正确的是（       ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有
B．“”是“、共线”的充要条件
C．若、共线，则与所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．


3．（2022·江苏·高二课时练习）A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若，则P，A，B，C四点（       ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面


4．（2022·全国·高二课时练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ）
A．2 B． C．1 D．


5.（2022·全国·高二课时练习）已知A，，三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与A，，一定共面的是（       ）
A． B．
C． D．


6．（2022·全国·高二课时练习）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．



题型三：空间向量的数量积
【例1】已知单位正方体，求下列各式的值：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.









【例2】（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ）

A．1 B． C． D．


【例3】（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，若E､F分别是AB､AD的中点，则___________，___________，___________，___________.




【例4】（2022·全国·高二课时练习）在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，则点与平面的位置关系是______；当最小且最小时，______．




【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）三棱锥中，，，，则______．



2.已知正方体的棱长为1，求：

（1）；（2）；（3）；（4）．



3.（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面体ABCD中，，，则______．

4.已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）

A．
B．
C．
D．

题型四：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
【例1】（2022·江苏·高二课时练习）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．


【例2】（2022·全国·高二）在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（            ）

A． B． C． D．



【题型专练】
1．（2022·湖南·高二期末）如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（       ）


A．30° B．45° C．60° D．90°
2.已知空间四边形中，，则______．



3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，若点E、F分别是AB、AD的中点，则______．


4．（2022·全国·高二期末）若向量，，，夹角为钝角，则的取值范围是______.




5．（2022·全国·高二课时练习）如图，平行六面体中，，，与AB、AD的夹角都为求：

（1）的长；   
（2）与AC所成的角的余弦值．








题型五：利用空间向量的数量积求线段的长度
【例1】如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为_______.



【例2】如图，三棱锥各棱的棱长都是，点是棱的中点，点在棱上，且，记，，．求的最小值．



【题型专练】
1．（2022·辽宁·辽河油田第一高级中学高二期末）在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（       ）
A． B． C． D．








2．（2022·全国·高二（多选题））在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，则下列选项正确的是（       ）

A． B．
C．若，则 D．若直线与交于点O，则


3．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.



4.如图在平行六面体中，，，则的长是______．