高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示精品综合训练题

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第3讲 空间向量及其运算的坐标表示
考点分析
考点一：空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.
注：空间中一般建立右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
考点二：空间中点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
考点三：空间直角坐标系中对称问题
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是；
点关于横轴(x轴)的对称点是；
点关于纵轴(y轴)的对称点是；
点关于竖轴(z轴)的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是.
考点四：空间中向量的坐标运算及距离公式
①空间中知道两点求向量：若，则

即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②空间中知道两点求距离：若，则

考点五：空间两点中点坐标的运算
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.
考点六：向量加减法、数乘、数量积的坐标运算
若，则
①; ②;
③; ④
考点七：空间向量的模及两向量夹角的坐标计算公式
若，则
①
②
考点八：空间向量平行和垂直的条件
若，则
①
②
规定：与任意空间向量平行或垂直
典型例题
题型一：空间向量的坐标表示
【例1】（2022·江苏·高二课时练习）已知，，，若，则点B的坐标为（       ）．
A．（－1，3，－3） B．（9，1，1）
C．（1，－3，3） D．（－9，－1，－1）
【答案】B
【分析】由，设结合空间向量的坐标，得(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，即可求B的坐标.
【详解】设，由得：(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，
∴,可得，所以点B的坐标为（9，1，1）.
故选：B
【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在空间直角坐标系中，求出点关于轴和轴对称的坐标，再利用向量的坐标表示即可得解.
【详解】依题意，点关于轴对称点，关于轴对称点，
所以.
故选：A
【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知，，是空间直角坐标系中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且，则点的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设由得方程，即得解.
【详解】由题得点，设
所以，
所以点的坐标为.
故选：B
【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果.
【详解】
∵在基底下的坐标为
∴
设在基底下的坐标为
则
对照系数，可得：
解得：
∴在基底下的坐标为
故选：C
【例5】（2022·福建三明·高二期末（多选题））已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（       ）

A．点的坐标为（2，0，2） B．
C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B;
利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D.
【详解】
根据题意可知点的坐标为，故A错误；
由空间直角坐标系可知： ,故B正确；
由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确；
点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确，
故选：BCD
【例6】（2022·全国·高二课时练习）若四边形ABCD是平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据为平行四边形，得到，设，将向量用坐标表示后，代入上式即可求解.
【详解】为平行四边形，,设，则，
，解得.
故选：D.
【题型专练】
1．（2021·北京·人大附中高二期中）在空间直角坐标系中，已知，，点满足，则点的坐标是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，根据可得点的坐标.
【详解】设，则，
由得即，
故选：C.
2．（2022·全国·高二单元测试）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果.
【详解】∵在基底下的坐标为∴
设在基底下的坐标为
则，对照系数，可得：
解得：∴在基底下的坐标为
故选：C
3.（2022·江苏常州·高二期中）平行六面体中，，则点的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间向量的坐标表示，即得.
【详解】
设，
∵，又，
∴，
解得，即.
故选：B.
4.（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（       ）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量运算求得，从而确定正确选项.
【详解】
由题可知，为的中点，
∴，
∴坐标为.
故选：D

5．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习（多选题））如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
求出等边三角形的高的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可判断．
【详解】
在等边中，，所以，则，，则.
故选：ABC
6．（2022·全国·高二课时练习）已知，的起点坐标是，则的终点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量坐标的求解方法，结合已知数据，求解即可.
【详解】
设的终点坐标为，由题可得：，
故可得，即的终点坐标为.
故答案为：.
7．（2022·江苏·高二课时练习）已知点，，，则点的坐标为______．
【答案】##0,0.5,1
【解析】
【分析】
先求出向量的坐标，设点，得出的坐标，根据条件得出方程组可得答案.
【详解】
点，，则
设点，则
由，则 ，即x=0y=12z=1，
所以点的坐标为
故答案为：
8．（2022·江苏·高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____，的坐标为____，的坐标为_______．

【答案】              
【解析】
【分析】
由题设确定的空间坐标，再利用向量的坐标表示求、、的坐标.
【详解】
如题图示，，
∴，
，
.
故答案为：，，.
题型二：空间向量的直角坐标运算
【例1】（2021·湖南·郴州市第三中学高二期中）在空间直角坐标系中，，，则向量（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算和坐标表示，计算即可．
【详解】因为，，
所以向量．
故选：B.
【例2】（2022·浙江宁波·高一期中）已知向量，，则的坐标为（          ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算直接求解即可
【详解】
，，∴．
故选：B．
【例3】（2022·重庆·高二期末）在四面体中，，则以下选项正确的有（       ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据空间向量坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式、空间向量垂直的性质和数量积坐标公式逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以本选项正确；
B：因为，，
所以有，，
因此本选项正确；
C：因为，，
所以有，因此本选项不正确；
D：因为，，
所以，因此本选项不正确，
故选：AB
【例4】（2022·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间向量的坐标运算直接计算.
【详解】
由题意得，，所以，
所以，所以的坐标为．
故选：B．
【例5】（2022·江苏南通·模拟预测）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，设，由正六边形的性质可知，再根据空间向量数列积公式，即可求出结果.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，且，

由正六边形的性质可得，，
设，其中，
所以，，
所以，所以的取值范围.
故选：A.
【题型专练】
1.（2021·广东·潮州市湘桥区南春中学高二阶段练习）若，则=（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量线性关系的坐标运算求即可.
【详解】.
故选：D
2.（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（       ）
A．4 B． C．2 D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可
【详解】
如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，
所以，，
，

故选：A

3.（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知，，则_______.
【答案】6
【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式即可求解.
【详解】由，，得
，，
.
.
故答案为：.
4．（2022·湖南益阳·高二期末（多选题））已知四面体的所有棱长都是分别是棱的中点，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量数量级的坐标运算计算即可.
【详解】
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，
，
，，
，.
故选：ACD

5．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）棱长为1的正方体，在正方体的12条棱上运动，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法求得的表达式，进而求得的取值范围.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，，
，设（且只在正方体的条棱上运动），
则，
，
由于，所以.
当时，取最小值；当时，取最大值.
故答案为：

6．（2022·全国·高二课时练习）已知空间三点，，，四边形是平行四边形，其中，为对角线，则______．
【答案】
【分析】设，根据，求出点的坐标，即可求出.
【详解】空间三点，，，四边形是平行四边形，
设，，，，
，，，解得，，，，
.
故答案为：.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为1，P为上一点，且.建立如图所示的空间直角坐标系，求点P的坐标.

【答案】
【解析】
【分析】
由图可得，设，然后根据求解即可.
【详解】
由图可得，设
因为，所以，所以
所以，解得，即


题型三：空间向量的三点共线与四点共面问题
【例1】（2022·全国·高二课时练习）若、、三点共线，则（       ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据求解即可.
【详解】
∵，，
由题意得，则，
∴、，∴，
故选:A．
【例2】（2022·江苏·高二课时练习）向量，，，中，共面的三个向量是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量共面满足的坐标关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】
A：若共面，则，即，
即，显然不存在满足题意，故不共面；
同理，B，C中的三个向量也不共面；
D：若共面，则，即，
即，故存在满足题意，则共面.
故选：D.
【例3】（2022·云南省泸西县第一中学高二期中）已知空间向量，若共面，则(       )
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据共面向量，得到对应关系，求出的值即可．
【详解】
若、、共面，则，
即，1，，，，
故，故，
故选：B．
【例4】（2022·福建龙岩·高二期中）已知空间中三点，，．
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，进而求出m、n，即可得结果.
（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得，讨论的情况，即可求范围.
(1)
由题设，，又，，三点共线，
所以存在使，即，可得，
所以.
(2)
由，
由（1）知：当时，有；
而，又，的夹角是钝角，
所以，可得；
又时、，故，满足题设；
综上，.
【例5】（2022·全国·高二课时练习）证明，，，四点共面，你能给出几种证明方法？
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
方法一、根据即可证明；方法二、根据即可证明.
【详解】
证明：方法一、因为，，，，
所以，，，
所以，
所以四点共面；
方法二、因为，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以四点共面.
【题型专练】
1．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（理））已知空间三点，，，若三点共线，则（       ）．
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
求出向量与向量的坐标，根据三点共线，可得向量与向量共线，由此即可求出结果.
【详解】
因为，，且三点共线，
所以向量与向量共线，
所以，得．
故选：C.
2.（2022·陕西榆林·高二期末（理））已知，， ，若、、三个向量共面，则实数
A．3 B．5
C．7 D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
由空间向量共面原理得存在实数，，使得，由此能求出实数．
【详解】
解：，， ， 、、三个向量共面，
存在实数，，使得，即有：
，
解得，，
实数．
故选：．
【点睛】
本题考查空间向量共面原理的应用，属于基础题．
3.（2022·浙江·效实中学高二期中）（1）设，，则______；
（2）若与，，（，，三点不共线）四点共面，且对于空间任一点，都有，则______．
【答案】         
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量线性运算的坐标表示可求的坐标，
（2）由已知可得：，利用四点共面的充要条件列方程即可求解.
【详解】
（1）因为，，所以，
所以.
（2）对于空间任一点，都有，
则即，
因为点与，，（，，三点不共线）四点共面，
所以，可得，
故答案为：；.
4.（2022·全国·高二单元测试）已知，，．若、、三向量共面，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，存在实数x，y，使，列出方程组，即可求得答案.
【详解】
因为不平行，且、、三向量共面，
所以存在实数x，y，使，
所以，解得，
故答案为：
5．（2022·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）已知向量，，．
(1)当时，求实数x的值；
(2)若向量与向量，共面，求实数x的值．
【答案】(1)或.
(2).
【解析】
【分析】
（1）由空间向量的坐标运算，建立方程，求解即可；
（2）设，根据空间向量的坐标线性运算建立方程组，求解即可．
(1)
解： ，
因为，所以，即，解得或；
(2)
解：因为向量与向量，共面，所以设．
因为，，所以所以实数x的值为.
题型四：空间向量模长坐标表示
【例1】（2022·全国·高二专题练习）若，，则（       ）
A． B． C．5 D．10
【答案】A
【分析】先求出,再利用向量的模长计算公式即可
【详解】因为
所以
故选:A
【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知向量，，则在的方向上的数量投影为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接由数量投影的公式求解即可.
【详解】
由题意知：在的方向上的数量投影为.
故选：C.
【例3】（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量，，则（       ）
A． B．40 C．6 D．36
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量线性关系的坐标运算求，再利用向量模长的坐标公式求模长.
【详解】
由题设，则.
故选：C
【例4】（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高二期末（多选题））在空间直角坐标系中，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据空间向量的垂直的坐标运算可判断A；计算空间向量的模长可判断BC；根据空间向量的数量积的坐标运算可判断D.
【详解】
，故A错误；
，故B正确；
因为，，所以，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：BD.
【例5】（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（       ）

A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件建立空间直角坐标系，令，用表示出点E，F坐标，再由两点间距离公式计算作答.
【详解】
依题意，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，
设，则，设，有，
线段EF长最短，必满足，则有，解得，即，
因此，，当且仅当时取“=”，
所以线段EF长的最小值为.
故选：B
【题型专练】
1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二开学考试（文））已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（　　）
A． B． C．5 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出B（3，4，0），由此能求出||．
【详解】
解：∵点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，∴B（3，4，0），
则||＝＝5．
故选：C．
2．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得，再根据投影向量的模的公式求解即可
【详解】
由题，，故在上的投影向量的模
故答案为：
3．（2022·江苏常州·高二期中）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，，点N为B1B的中点，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，建立适当的空间直角坐标系，即可求解.
【详解】
如图所示，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，

因为，点为的中点，
所以，
所以，，
故．
故答案为：.
4．（2022·全国·高二单元测试）若向量，，且，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量模长坐标运算可构造方程求得结果.
【详解】
，，
解得：或，又，.
故答案为：.
5．（2022·湖南·高二课时练习）已知长方体的四个顶点分别为，，，，求其余各顶点的坐标以及对角线的长．
【答案】，，，，面对角线长为，体对角线长为.
【解析】
【分析】
根据向量的相等关系，求出各顶点坐标，根据模长公式求出面对角线与体对角线的长.
【详解】
由题意得：设，则由得：，即，所以，又由，求得：，，，其中，故，所以面对角线长度为，，所以
题型五：空间向量平行垂直坐标表示
【例1】（2021·全国·高二单元测试）在空间直角坐标系中，若三点，，满足，则实数a的值为（       ）．
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】先求出的坐标，再由，得，解方程可求出实数a的值
【详解】因为，，，
所以，，，
所以，
因为，所以，
所以，解得，
故选：C
【例2】（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知向量，，，且向量与互相垂直，则的值是（       ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【分析】先求出的坐标，再根据数量积为0可求的值.
【详解】，
因为向量与互相垂直，故，故，
故选：B
【例3】（2022·全国·高二课时练习）若四边形ABCD是平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据为平行四边形，得到，设，将向量用坐标表示后，代入上式即可求解.
【详解】
为平行四边形，,设，则，
，解得.
故选：D.
【例4】（2021·安徽省潜山第二中学高二阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出与的坐标，依题意，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：因为，，
所以，，
因为与垂直，
所以，解得；
故选：C
【例5】（2022·四川省蒲江县蒲江中学高二阶段练习（理））设、，向量，，且，，则（          ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
【例6】（2022·甘肃省民乐县第一中学高二期中（理））空间中，与向量同向共线的单位向量为（       ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【分析】由已知条件，先求出，从而即可求解.
【详解】解：因为，所以，
所以与向量同向共线的单位向量，
故选：C.
【例7】（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果.
【详解】
分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，，
由得，即，
由于，所以，，
所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，
由图知：，
故选：B.


【题型专练】
1.（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）设x，,向量，且，则的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的垂直和平行列出相应的方程组，解得的值，可得答案.
【详解】
由得： ，解得，
故，
故选：A.
2．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（       ）
A．且 B．且
C．且 D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据空间向量垂直平行的性质判断即可
【详解】由题，因为，故，又，故
故选：C
3．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知，，，若，则（       ）
A． B． C．11 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间向量共线的性质进行求解即可.
【详解】
，，
因为，所以，
解得，，故.
故选：B
4．（2022·全国·高二）已知向量，若，则实数x的值为（       ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】解方程即得解.
【详解】解：因为，所以.
故选：D
5．（2022·全国·高二课时练习）如果，，三点在同一直线上，那么__________，__________．
【答案】     3     4
【解析】
【分析】
由且，利用空间向量共线的坐标表示求参数a、b即可.
【详解】
由题设，且，而，
所以，可得.
故答案为：3，4.
6．（2022·山东省郓城第一中学高二开学考试）已知向量 ， 若 ，则实数________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用列方程，即可求解.
【详解】
因为向量，且，
所以，
解得：.
故答案为：.
7.（2022·湖北·高二期末）已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出坐标，根据给条件表示出坐标，利用向量模的坐标表示计算作答.
【详解】
因，，则，
因与同向，则设，因此，，
于是得，解得，则，
所以向量的坐标为.
故答案为：
8．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知四点、、，点M是直线OC上的动点，当取得最小值时，求点M的坐标．
【答案】
【解析】
【分析】
根据M、O、C三点共线可设，从而表示出M的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可表示出，结合二次函数的性质即可求其最小值时λ的值，从而求得M的坐标．
【详解】
由题意，设，则，即，
则，，
∴，
当且仅当时，取得最小值，此时点M的坐标为．
9．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（　　）


A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法确定M的轨迹满足，求出的最小值，可求出面积的最小值.
【详解】
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则 ，，，，
设 ，则 ，，
因为 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， 取最小值 ，
易知，且平面，平面
故，故
所以的最小值为．
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习（理））在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，然后利用空间向量表示出的关系，从而可求得结果
【详解】
如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，（）
则，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为t >0
所以实数t的取值范围是，
故答案为：

11．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知点，，点P在直线AB上．
(1)若，写出点P的坐标；
(2)若点O是坐标原点，且，写出点P的坐标．
【答案】(1)或；
(2).
【解析】
【分析】
(1)由点在直线上得，表示出P的坐标，根据求出即可.
(2)根据求出即可.
(1)
，
∵点在直线上，∴，，.
由得，
，或.
(2)
，
，，，.
题型六：空间向量夹角坐标表示
【例1】（2022·四川内江·高二期末（理））已知，，则（       ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用空间向量的夹角余弦值公式即可求得.
【详解】解：，，
.
故选：B.
【例2】（2022·全国·高二）已知，，且，则向量与的夹角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的坐标运算求出，再由夹角公式求解即可.
【详解】由，解得，
所以，，所以，
因为，所以.
故选：C
【例3】（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知，则在上的投影向量为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：B
【例4】（2022·全国·高二课时练习）边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，以向量法去求的大小即可解决.
【详解】
由题意可得平面，，则两两垂直
以O为原点，分别以OB、OA、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系

则，，，，

又，则
故选：B
【例5】（2021·安徽省六安中学高二期中（文））已知，，向量与的夹角，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量夹角的坐标表示直接计算可得.
【详解】因为向量与的夹角，所以
又，解得.
故选：B

【例6】（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高二期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，以B为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为，，则下列结论中正确的是（       ）

A．点P的坐标为 B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据空间直角坐标系，得出点 的坐标,分别计算即可求值，得出答案.
【详解】
由题意可得，，，，
所以，.
设，则，即，
取，可得.
因为，，且
所以平面PAB，即
所以平面平面PAB，
所以，所以.
综上所述，B，C错，A，D正确.
故选：AD
【例7】（2022·河北石家庄·一模）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（       ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得余弦值，即可求出的最大值.
【详解】
由题意可知三棱柱为直三棱柱，且，
以为坐标原点， 分别为轴，建立如图所示的直角坐标系，如下图所示：

因为，则，
由于动点在“堑堵”的侧面上运动，则存在实数使得，
又，所以，
所以，
又，所以，
化简可得，即，
又，
又，所以，,
所以，
又，函数在上单调递减，且，
所以的最大值为.
故选：B.
【题型专练】
1.（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（       ）
A．1 B． C．或 D．17或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，结合空间向量的数量积的运算公式和空间向量的夹角公式，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，向量，，
可得，，，
因为与的夹角为，可得，即，
整理得，解得或.
故选：D.
2．（2022·江苏·马坝高中高二期中（多选题））若，，与的夹角为120°，则的值为（       ）
A． B．17 C．1 D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
由空间向量夹角的坐标表示求解
【详解】
由题意得
解得或
故选：BD
3.（2022·福建宁德·高二期末多选题）已知，，，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为
【答案】BD
【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.
【详解】因为，所以，不垂直，A错，
因为，所以，B对，
因为，所以，所以不是钝角，C错，
因为在方向上的投影向量，D对，
故选：BD.
4.（2022·全国·高二课时练习）已知、、，则______.
【答案】60°##
【解析】
【分析】
先求出，，再由向量夹角公式求解即可.
【详解】
由题意知：，，
则，故.
故答案为：.
5．（2022·全国·高二单元测试）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由条件可得的坐标，然后逐一判断即可.
【详解】因为，，，
所以
所以，，
所以不共线.
故选：AC
6．（2022·全国·高二课时练习）已知、、，与的夹角为 ，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得向量的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】
由题意得，，
故 ，
解得 ，
故答案为：
7．（2022·全国·高二单元测试）若空间两个单位向量、与的夹角都等于，则______．
【答案】.
【解析】
【分析】
利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
因为是单位向量，所以有，
因为与的夹角都等于，
所以，
所以有，
，
故答案为：
8．（2022·福建龙岩·高二期中）已知空间中三点，，．
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，进而求出m、n，即可得结果.
（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得，讨论的情况，即可求范围.
(1)
由题设，，又，，三点共线，
所以存在使，即，可得，
所以.
(2)
由，
由（1）知：当时，有；
而，又，的夹角是钝角，
所以，可得；
又时、，故，满足题设；
综上，.