高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线优秀同步训练题

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第22讲 抛物线中的5种最值问题
题型目录
题型一：过焦点的弦通径最小
题型二：利用基本不等式求抛物线最值问题
题型三：利用抛物线定义转化为三点共线问题求最值
题型四：利用直线与抛物线相切求最值
题型五：抛物线与圆结合最值问题
典型例题
题型一：过焦点的弦通径最小
【例1】（2022·广东揭阳·高二期末）已知直线l过抛物线C的焦点，l与C交于A，B两点，若的最小值为6，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为___．

【例2】（2022·福建·厦门外国语学校高二期末多选题）已知抛物线C：，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A､B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，O为坐标原点，下列说法正确的是（       ）
A．线段AB长度的最小值为4 B．以AB为直径的圆与直线y=-1相切
C．的取值范围为[-3，+∞） D．∠AMO=∠BMO

【题型专练】
1．（2022·江西·南昌二中高三开学考试（理））设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于M，N两点， ，求C的方程；

2．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测多选题）过抛物线的焦点F的直线l与C交于A，B两点，设、，已知，，则（       ）
A．若直线l垂直于x轴，则 B．
C．若P为C上的动点，则的最小值为5D．若点N在以AB为直径的圆上，则直线l的斜率为2


3.（湖南省部分校2022-2023学年高三上学期入学检测数学试题）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（       ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：

题型二：利用基本不等式求抛物线最值问题
【例1】（2022·广东茂名·高二期末）已知点F为抛物线的焦点，A为抛物线的准线与y轴的交点，点B为抛物线上一动点，当取得最大值时，点B恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，以为直径的圆过点，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．1


【题型专练】
1．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（       ）
A．1 B． C． D．


题型三：利用抛物线定义转化为三点共线问题求最值
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．

【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．

【例3】（2022·福建泉州·高二期中）在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（       ）
A．当时，的最小值为3 B．当时，的最小值为4
C．当时，的最大值为1 D．当轴时，为定值

【例4】（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）设是抛物线上的一个动点，点是焦点．
(1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值．

2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．


3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4

4．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．

题型四：利用直线与抛物线相切求最值
【例1】（2022·湖北·黄冈中学三模）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则________；设点是抛物线上的任意一点，点是的对称轴与准线的交点，则的最大值为________.

【例2】（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知抛物线的焦点为，点，点是抛物线上的动点，则的最小值为___________．

【题型专练】
1．（2022·全国·高二专题练习）已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为_____.



2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校三模（文））已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最大值是_______.



3.（2022·安徽·高三开学考试）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点为抛物线上一动点，当取得最大值时，直线的倾斜角为（       ）
A． B． C．或 D．或

题型五：抛物线与圆结合最值问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（       ）
A．1 B．2 C． D．

【例2】（2022·全国·高二单元测试）已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（       ）
A．的最小值为1 B．的最小值为
C．的最小值为4 D．的最小值为

【例3】（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
【例4】（2022·江西抚州·高二期末（理））如图，抛物线：的焦点为，圆：，为抛物线上一点，且，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______.

【题型专练】
1．（2021·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试（文））已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.



2．（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.



3．（2022·重庆市实验中学高二期末）已知抛物线及圆，过的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为___________.



4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，且与圆上的点的距离的最小值4．
(1)求；
(2)若点在圆上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．