第27讲 圆锥曲线中定直线问题-【同步题型讲义】2023-2024学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

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第27讲 圆锥曲线中定直线问题
【典型例题】
【例1】（2022·重庆八中高三开学考试）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.
【答案】(1)(2)是，证明见解析
【分析】（1）依题意，根据椭圆的定义可知的轨迹是以、为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），从而求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为：，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到，再求出直线、的方程，联立求出交点的横坐标，整理可得求出定直线方程.
（1）
解：因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，
所以，
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以的轨迹的方程为；
（2）
解：设直线的方程为：，，，
联立方程得：，
则，，
所以，
又直线的方程为：，
又直线的方程为：，
联立方程，解得，
把代入上式得：，
所以当点运动时，点恒在定直线上
【例2】（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(kb>0）的离心率为，短轴的下端点A的坐标为（0，－1）.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设B，C是椭圆E上异于A的两点，且|AB|=|AC|，BC 的中点为G ，求证：点G在定直线上运动.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可得，再根据离心率及，即可求出，从而得解；
（2）设直线BC的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，设的中点，即可得到，且 ，当时，轴，当时，由AG⊥BC ，得，即可得到，从而得到，即可得解；
(1)
解：由椭圆E短轴的下端点A的坐标为，得，即；
由，得，
代入上式，解得，从而，
所以椭圆E的方程为.
(2)
解：若 轴，不符合题意；
若 与 轴不垂直，设直线BC的方程为，代入并整理，得

一方面，必须；
另一方面，设，，则，
设的中点 ，则 ，
且 ，
①当时，轴，显然点G在y轴上.
②当时，由AG⊥BC ，得，
则即 ，化简得，
代入，得，解得.
所以 ，，即，
故点（）在定直线上运动.
综上，当轴时，显然点G在y轴上运动；当BC与不平行不垂直时，点G在直线上运动.
9．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，证明：直线，的交点在一定直线上，并求出该直线方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析；直线
【分析】(1)根据题意可得，进而解出，，即可得出椭圆方程；
(2)设直线的方程为：，设，，联立椭圆方程消去得到关于的一元二次方程，根据韦达定理表示出；利用直线的点斜式方程求出直线、的方程，两直线方程联立方程组并消去，整理化简即可得出结果.
(1)
由题得：，，，
解得：，，
故椭圆的方程为．
(2)
设直线的方程为：，设，，
联立，得，，
由韦达定理得，，∴．
因为，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立消去，得，
整理得
，
所以直线，的交点一定在直线上．
10．（2021·安徽宿州·三模（文））已知点，，动点满足，点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知圆上任意一点处的切线方程为：，类比可知椭圆：上任意一点处的切线方程为：．记为曲线在任意一点处的切线，过点作的垂线，设与交于，试问动点是否在定直线上？若在定直线上，求出此直线的方程；若不在定直线上，请说明理由．
【答案】（1）；（2）动点在定直线上．
【分析】（1）根据椭圆的定义得到点的轨迹为以 ，为焦点，长轴长为4的椭圆，进而求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设，得到直线的方程，进而得到，联立方程组，求得动点在定直线上；当时，求得，即可得到动点在定直线上．
【详解】（1）由题意，点，，动点满足，
根据椭圆的定义知点的轨迹为以 ，为焦点，长轴长为4的椭圆
设椭圆方程为：，则，所以，
曲线的方程为：．
（2）设，可得直线的方程为：
当时，，
所以的斜率为，可得，
由与的方程联立，消得，
可得，解得，
所以动点在定直线上，
当时，可得，此时，，
联立方程组，可得，此时在直线上，
综上所述，动点在定直线上．
【点睛】解答圆锥曲线的定点、定直线问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
11．（2021·全国·高二专题练习）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足.
（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆的左焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程.
【答案】（1）；；（2）证明见解析，.
【分析】（1）根据椭圆的一个焦点与抛物线焦点重合，可得，的关系，又根据联立椭圆与抛物线可得第一象限交点的横坐标，进而可得关于的方程，解方程求的值，进而可得椭圆和抛物线的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去得到，由直线与椭圆相切可得其判别式等于0，整理得，代入求得的坐标，然后写出直线的方程为，联立方程组，求得，则说明点在定直线上.
【详解】（1）∵椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，
∴，解得，∴椭圆方程为，
，解得，，
∵点在第一象限，∴点的横坐标为，
又∵，∴，解得.
∴椭圆，抛物线；
（2）由①，
由直线与椭圆相切可得且，
整理得，
将代入①式得，
即，解得，∴，
又，∴，则，
∴直线的方程为，
联立得.
∴点在定直线上.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.
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