人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀复习练习题

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第2讲 等差数列的通项及性质7大题型
【考点分析】
考点一：等差数列的基本概念及公式
①等差数列的定义：（或者）．
②等差数列的通项公式：，通项公式的推广：
③等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有（）．
考点二：等差数列通项的性质
①通项下标和性质：在等差数列中，当时，则．
特别地，当时，则．
②等差数列通项的性质：，所以当时，等差数列的通项为关于的一次函数，即．
【题型目录】
题型一：等差数列通项公式运用
题型二：等差中项问题
题型三：等差数列通项的性质
题型四：整体看成等差数列问题
题型五：等差数列通项公共项问题
题型六：几个连续实数成等差数列问题
题型七：等差数列通项新文化试题
【典型例题】
题型一：等差数列通项公式运用
【例1】（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（    ）
A．195 B．196 C．197 D．198
【例2】（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列中，，，若，则（    ）
A．671 B．672 C．673 D．674

【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列，若，，则（    ）
A． B． C． D．

【例4】（2022·全国·高二课时练习）数列的首项为，为等差数列，且，若，，，则等于（    ）
A． B． C． D．

【例5】（2022全国高二课时练习）在等差数列中，若a1＝84，a2＝80，则使an0，且an＋10的n为（    ）
A．21 B．22 C．23 D．24

【例6】（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（       ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【例7】（2022·全国·高二课时练习）若数列为等差数列，，，则（    ）
A． B．0 C． D．

【例8】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若，则（    ）
A． B． C． D．

【例9】（2022全国高二课时练习）（1）在等差数列中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
（2）已知等差数列中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.

【例10】（2022全国高二专题练习）在等差数列中，，且
（1）求数列的首项､公差；
（2）设，若，求正整数m的值.

【题型专练】
1．（2021·全国·高二单元测试）已知等差数列满足，则中一定为零的项是（    ）
A． B． C． D．

2．（2021·全国·高二专题练习）已知等差数列中，，，则等于（    ）
A． B．
C． D．

3．（2021·江苏·高二专题练习）在等差数列中，已知，，，则（    ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广东·佛山市南海区狮山高级中学高二阶段练习）在数列中，，，则的值为（    ）
A．52 B．51 C．50 D．49
5．（2022·全国·高二课时练习多选题）已知数列是首项为3，公差为的等差数列，若2023是该数列的一项，则公差d可能是（    ）
A．2 B．3 C．5 D．6

6．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆的半径为，，过点的条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，且公差，则的取值可能是（   ）
A． B． C． D．

7．（2021·江苏·高二专题练习）(多选)等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（    ）
A．公差d＝－4
B．a2＝7
C．数列{an}为递增数列
D．a3＋a4＋a5＝84

8．（2022·全国·高二单元测试）已知数列为等差数列，，，则公差d为______．

9．（2022·全国·高二课时练习）等差数列2，4，6，…的第18项为______．

10．（2022·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果，那么______．
11．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列为递增数列，若，，则数列的公差d的值为______．

12．（2022·全国·高二课时练习）若，且两数列a， ， ，b和a，，，，b都是等差数列，则________．

13．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前三项分别为，，，则此数列的通项公式为______．

14．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列满足，则____________．

15．（2020·全国·高二课时练习）已知等差数列{an}，且a3＋a5＝10，a2a6＝21，则an＝____________．
16．（2021·全国·高二专题练习）若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则＝________．
17．（2022·全国·高二课时练习）存在条件：①，；②，；③，．在这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足______．求数列的通项公式．

题型二：等差中项问题
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知，，则a，b的等差中项为（    ）
A． B． C． D．

【例2】（2022甘肃·秦安县第一中学高二期中）如果三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的角是多少度（    ）
A．30° B．60° C．90° D．45°

【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ）
A．8 B．6 C． D．3

【例4】（2022·全国·高三专题练习（理））数列{an}满足，且，是函数的两个零点，则的值为（    ）
A．4 B．－4 C．4040 D．－4040
【题型专练】
1．（2022·全国·高三专题练习）下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（    ）
A． B．
C．数列的通项公式为 D．

2．（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一阶段练习）与的等差中项为（    ）
A．2 B． C． D．1

3．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）若b是2，8的等差中项，则______；

4．（2021·全国·高二课时练习）已知数列8，a，2，b，c是等差数列，则___________.

题型三：等差数列通项的性质
【例1】（2022·广东肇庆·高二阶段练习）已知数列是等差数列，且满足，则（    ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列满足，则（    ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列满足，且，则（    ）
A． B． C． D．
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，，，则等于（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9

【例5】（2022·全国·高三专题练习）下面结论正确的个数为（    ）
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.
(2)数列为等差数列的充要条件是对任意，都有.
(3)数列为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.
(4)已知数列的通项公式是(其中p，q为常数)，则数列一定是等差数列.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


【题型专练】
1．（2021·江西·高三阶段练习（文））设是等差数列，且，，则（    ）
A． B． C． D．

2．（2022·重庆·高三阶段练习）已知数列为等差数列，，则（    ）
A．9 B．12 C．15 D．16
3．（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知数列是等差数列，且满足，则（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，若，则的值为（    ）
A．4 B．6 C．8 D．10

5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知等差数列中，、是的两根，则（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则______．


7．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试）在等差数列中，若，则________．

8．（2021·河北衡水·高三阶段练习）已知等差数列中，分别是方程的两个根，则__________．

9．（2022·全国·高三专题练习）若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为___________.

10．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列{an}中，a1＋a3＋a8＝，那么cos(a3＋a5)＝________.

11．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列，满足，，求数列的通项公式．

题型四：整体看成等差数列问题
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列，为等差数列，且公差分别为，，则数列的公差为（    ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·全国·高二课时练习）定义：在数列中，若对任意的都满足（d为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（    ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知数列，均为等差数列，若，，则（    ）
A． B． C． D．
【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若，则（    ）
A． B． C． D．

【例5】（2022·全国·高二课时练习多选题）已知等差数列，若，，则（    ）
A．数列的公差
B．数列的公差
C．
D．

【题型专练】
1．（2021·江苏·高二单元测试多选题）在数列中，若（，，为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（    ）
A．若是等差数列，则是等方差数列
B．数列是等方差数列
C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列
D．若数列是等方差数列，则数列（，为常数）也是等方差数列

2．（2022·全国·高二课时练习）已知是等差数列，且，，则______．

3．（2022·全国·高二课时练习）已知数列中各项为非负数，，，若数列为等差数列，则______．
4．（2022·全国·高二课时练习）数列中，，，若数列是等差数列，则__________．
题型五：等差数列通项公共项问题
【例1】（2022·全国·高二课时练习）在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则等于（    ）
A．289 B．295 C．301 D．307

【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知两个等差数列5，8，11，…，302与3，7，11，…，399，则它们所有公共项的个数为（    ）
A．23 B．24 C．25 D．26

【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ）
A．134 B．135 C．136 D．137

2．（2022全国高二单元测试）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为（    ）
A． B． C． D．
题型六：几个连续实数成等差数列问题
【例1】（2022·江苏·高二课时练习）若直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列，则三边的长分别为（    ）
A．5，8，11 B．9，12，15
C．10，13，16 D．15，18，21

【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（    ）
A．-2，4，10，16 B．16，10，4，-2
C．2，5，8，11 D．11，8，5，2

【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知5个数组成一个单调递减的等差数列，且它们的和为5，平方和为165，则这个等差数列的第1项为___________.
【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列前三项的和为－3，前三项的积为8．求等差数列的通项公式．


2．（2022·全国·高二单元测试）（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数.
（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数.



题型七：等差数列通项新文化试题
【例1】（2022·全国·高二课时练习）中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（    ）
A．戊分得34文，己分得31文 B．戊分得31文，己分得34文
C．戊分得28文，己分得25文 D．戊分得25文，己分得28文




【例2】（2022全国高二课时练习）中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸＝10分).
节气
冬至
小寒(大雪)
大寒(小雪)
立春(立冬)
雨水(霜降)
惊蛰(寒露)
春分(秋分)
晷影长/寸
135.0
125.
115.1
105.2
95.3
85.4
75.5
节气
清明(白露)
谷雨(处暑)
立夏(立秋)
小满(大暑)
芒种(小暑)
夏至

晷影长/寸
65.5
55.6
45.7
35.8
25.9
16.0

已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为（    ）
A．105.6寸 B．48寸 C．57.6寸 D．67.2寸



【例3】（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（    ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱




【例4】（2021·江苏·高二专题练习）《周髀算经》规定“一衡之间万九千八百三十三里三分里之一”，就是相邻两衡间距离（半径差）为里，给出了计算各衡直径的一般法则，即“预知次衡径，倍而增内衡之径，二而增内衡径，得三衡径”.这段话的意思是说想求出二次衡的直径，须把半径差二倍加上内一衡（最小圆圈）的直径，次三衡以及以后的都这样要求.已知内一衡径=238000里000步（当时300步为1里），则次三衡径为（    ）

A．396666里200步 B．357000里000步
C．317333里100步 D．277666里200步
【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则（    ）
A．冬至的日影子长最长，为15.5尺
B．立夏比谷雨的日影子长多1尺
C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列
D．清明的日影子长为8.5尺


2．（2022·全国·高二课时练习）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至､立春､春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为___________尺.



3．（2021·全国·高二课时练习）现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.





4．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为（    ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺




5．（2022·全国·高二课时练习）2021年是中国共产党建党100周年，《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长、、、、（单位：）成等差数列，对应的宽为、、、、（单位：），且长与宽之比都相等，已知，，，则（    ）
A．124 B．126 C．128 D．130